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1、实现从朴素经验到形式化的跨越策略分析人教版第五册有余数除法的思考与实践【内容摘要】学生的朴素经验通常是模糊的，不精确的，恰恰又蕴含着数学本质的思想方法。数学是在具体、半具体、半抽象、抽象中间的铺排，是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡。在实际的教学中，教师通常忽视学生朴素经验与数学符号、数学模型之间的“过程抽象”，造成从学生的朴素经验到数学形式化的断层现象。本文将以有余数除法为载体，分析教学中的若干现象，研读各种版本教材提供的素材和教学线索，提出要实现从朴素经验到形式化的跨越，首先要优化重组教材，以学生朴素经验为基础设计教学，同时在活动过程中要从学生的感性经验入手，突出表象操作，注重数、形、
2、义的结合。【关 键 词】朴素经验 形式化 有余数除法一、例说：对现象的举例与反思在数学学习中，学生的朴素经验可能来自他们的生活经验，也可能来自以往学习经验的积累，更可能是一种直觉体验。这种经验之所以称之为朴素，因为它常常是模糊的，不精确的，可又恰恰蕴涵着数学本质的思想方法。数学是在具体、半具体、半抽象、抽象中间的铺排，是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡，学生的朴素经验是数学形式化的源头。然而在实际的教学中，我们经常忽视学生朴素经验与数学符号、数学模型之间的“过程抽象”，造成从学生的朴素经验到数学的符号表征的断层现象。下面我从有余数除法的两则教学片断说起：现象一：活动单一化，忽视“过程抽象”
3、出示例题：有15盆花，每组摆5盆，可以摆几组？1.学生独立计算，师板书：155=3（组）2.师：说一说你是怎样算的？生1：因为15里面有3个5。生2：三五十五师：做像这样的除法我们通常用乘法口诀来口算。那么你听说过笔算除法吗，也就是列竖式来计算除法？你会写除法竖式吗？（学生互动，教师巡视，指名板演。）3.师生共同介绍除法竖式。生1：里面写的是被除数，“/”左边写的是除数。生2：被除数下面的数是3和5相乘的积。生3：竖式下面有一个“0”。生4：0上面有一条横线。生5：我是用口诀：三五十五算出商是3，就写在上面。师：那么3写在哪里呢？生6：3写在15的上面。师：是写在数字“1”上面呢，还是数字“5
4、”上面呢？生7：写在数字“5”的上面。商被除数商和除数的积被乘数减去商和除数乘积的差除数师说明相同数位要对齐，并介绍被除数、除数、商的位置，以及其它部分的来源和计算步骤。（边介绍边演示，如右。）师：你能来说说计算顺序吗？学生说运算顺序。反思：在这里，老师引导学生以直接的方式学习概念的符号化知识，这是一种接受现成结果的表达方式，忽视的是符号知识背后的过程形态的知识。从除法竖式的符号表示到除法竖式的算理表达过程，学生只是经历了一种规范语言演绎表达的“形式抽象”过程，很难从本质上内在地体悟除法竖式的抽象意义。如果把数学规范语言表达的“过程抽象”，等同于学生本真语言表达提升为数学规范语言表达的“过程抽
5、象”，这样学生就很难真实地经历从朴素经验到数学符号数学化过程。现象二：活动形式化，忽视“过程抽象”师：用12根小棒摆三角形，可以摆几个？生：可以摆4个，123=4（个）。师：那么用13根小棒可以摆几个三角形？请你们摆一摆，并用数学语言表达这个摆的过程。（学生活动，生生交流）反馈。生：用13个小棒可以摆4个三角形，还剩下1根。师（根据学生的回答写出有余数除法的横式：133=4（个）1（根）：你们知道这个算式里的“1”叫什么数吗？揭示余数的概念。反思：在这里，老师把学生在教学活动中的“活动体验”，等同于学生参与知识形成过程的“过程体验”。虽然学生经历了学具操作，也经历了所谓的“数学语言”表达过程，
6、但这些都是基于学生经验的，也是学生的已有基础。从整个教学片断看，教学仅停留于此，老师根据学生回答得出的有余数除法的横式以及余数的概念，是概念结果表达的“符号抽象”，而不是概念建构形成的“过程抽象”，没有足够的关注“生活”到“数学”抽象，疏忽由“动手操作”到“符号表征”关键的一步，学生很难真实地经历从朴素经验到数学符号数学化过程。二、思考：对教学的困惑与反思意识决定行动，理念决定行为。很多时候，对教学的困惑让我们忽左忽右，摇摆不定。比如在有余数除法的教学中，就时常有下面这些问题困扰着我们。思考一：有余数除法的认识有必要提前吗？与其说有余数除法是计算课，还不如说成概念课现实，因为余数的产生、竖式的
7、介绍、余数比除数小等知识点远远盖过了试商、调商计算技能方面。在实际教学中，我们是否需要打破教材的整体布局后勾勒自己的单元教学体系目标，将有余数除法的认识提前？这需要我们进行取舍。思考二：“除法竖式”的产生有必要让学生去经历探究吗？列竖式来计算除法，学生是第一次遇到。除法竖式的写法及计算步骤与以往学习的加、减法竖式甚至学生有所了解的乘法竖式完全不同。有人说除法竖式是一个约定俗成的规定，不需要学生去经历探究，就像片断一呈现的教学思路一样，数学学习里必要的接受学习也是需要的；也有人说除法竖式的教学应结合具体的情境，让学生切实体会到余数的实际含义与表现形式。我们一起来看学生的几个错例：有32个人，每5
8、人一组，可以分成几个组？还多几人？325=6（组）2（组）答：可以分成6组，还余2组。2573023026如上所示的单位问题、余数问题和位数问题等等，学生表现出来的形式虽各不相同，但实质都是对余数意义的理解、除法竖式的理解不够深刻。到底“除法竖式”的产生有没有必要让学生去经历探究？我想我们心中自有答案。思考三：我们需要为学生提供怎样的操作材料？在操作材料的选择上，我们总感到“用花布置会场”的情境很难让学生真正地感悟到“分了以后余下来的必要性”，事实上也是如此，不管是几盆花，都可以摆成一组。那么，我们需要为学生提供怎样的操作材料呢？思考四：哪些教学传统值得我们去继承与发展？作为有余数除法的试商课
9、本没有编排例题，只是在例2后面在“做一做”中出现了以下两题，特别在离开具体的情景后，面对算式，课本未对试商的方法加以强调，学生对有余数除法的计算存在一定的困难。那么，必要的程式化训练如“3（ ）16，括号里最大能填几”需要吗？在有余数除法这部分内容里，哪些教学传统值得我们去继承与发展？三、解读：对教材的整理与分析缘何会有上面所述的教学现象的产生？缘何会有这么多困惑缠绕着我们？教材是我们展开教学的重要依据，教材为我们提供了怎样的思路呢？有余数除法是人教版新课标教材第五册第四单元的内容(如表1)。依据教材的编写意图，这一单元学习的主要内容有两个：一是有余数除法的意义和用竖式计算有余数的除法；二是用
10、有余数的除法解决生活中的简单问题，即“解决问题”。表1 人教版教材提供的教学素材与线索教材素材具体情境承载知识目标例1：搬15盆花，每组摆5盆，可以摆几组？布置会场表内除法竖式的含义例2：一共有23盆花，每组摆5盆，最多可以摆4组，还多3盆。有余数除法竖式及余数的含义例3：上例中一共有16盆花，可以摆几组？还多几盆？如果是17盆、18盆24盆、25盆呢？余数和除数的关系例4：有32人跳绳，6人一组，可以分成几组，还多几人？跳绳解决问题这里我们暂且不讨论用有余数的除法解决生活中的简单问题，单从余数的意义和计算有余数的除法角度看，课时划分的问题一直困扰着我们。教材中安排的三个例题我们无非这样尝试：
11、三个例题各为一课时；例1、例2一课时，例3一课时；例1一课时，例2、3一课时。不管怎样划分，都是沿顺了“没有余数除法有余数除法余数比除数小”的教学进程，因为教材就是这样编排的。那么教学是不是就这一条路可走呢？我们能不能觅得其他佳径呢？在网络如此发达的今天，要寻觅到一套或者几套其他版本的电子课本，不是一件难事。研究各版本教材提供的素材和教学线索，有助于我们打开视界，理清思路，从而更好地把握教学。下面就是现行各个版本教材中关于有余数除法的资源，如表2：表2 各个教版教材提供的教学素材与线索版别年级教材素材具体情境承载知识目标浙教版二上（除法竖式出现在正式学习有余数除法之前。）纯数学情境会模仿写一写
12、表内除法的竖式，初步感受乘法竖式与除法竖式的关系。例1：有20个乒乓球，如果每6个装1盒，最多可以装盒，还剩个。大家来圈点子，每份一样多，并写出除法算式。（13个点；17个点；23个点；19个点）在计算中找规律。分兵乓球点子图余数的意义和有余数除法横式的意义；余数和除数的关系；渗透“商除数+余数=被除数”的检验方法。例2：30个立方体照右边这样放，分别可以放几堆？用算式表示。 立方体用竖式计算有余数除法；有余数除法的试商方法。北师大版二下例1：每盘放5个苹果，20个可以放几盘？分苹果表内除法竖式的含义。例2：每盘放4个橘子，14个橘子可以放几盘？分橘子有余数除法竖式的意义；余数与除数的关系。例
13、3：55个草莓平均放在8个盘子里，每盘放几个，还剩几个？分草莓有余数除法的试商方法。苏教版二下例1：把10枝铅笔分别几个小朋友，每人分得同样多，可以怎么分？在小组里分一分，说一说。如果每人分3枝，会怎么样？每人分4枝、5枝、6枝呢？分铅笔余数的意义和有余数除法的横式意义理解；余数和除数的关系。例2：7个桃，每盘放3个，放了几盘？还剩几个？分桃子有余数除法的竖式意义和试商方法。青岛版二下主题图上的食物有9个面包，10碗面，14个橘子，11瓶饮料，18瓶牛奶，15个苹果，12根火腿肠，13个香蕉。例1：9个面包平均分给4人，怎样分呢？其他食品怎样平均分？18瓶酸奶可以平均分给几人？（先定每人分几瓶
14、。）（野营）分食物余数的意义和有余数除法的横式意义理解；余数与除法的关系。例2：根据信息自己提出问题，并解答。48个野果平均分给9人；55个蘑菇平均分给8人；野营小队共17人，每个帐篷住3人；每人分4条，22条鱼可以分给多少人？野营有余数除法竖式意义的理解和试商的方法。西师版三上与两位数除以一位数在同一个单元：例1：拿出20个小圆片分一分，填一填，每5个分一分，可以分成（ ）份；每7个分一分，可以分成（ ）份。分小圆片余数意义的理解；有余数除法的横式意义理解；沟通整除和有余数除法的联系。例2：一共有57个羽毛球，每6个装1筒，可以装几筒？还剩几个？装羽毛球有余数除法竖式意义的理解和余数意义的理
15、解。例3：65袋大米，每7袋装1车，可以装几车？还剩几袋？运大米余数和除数的关系；结合错例掌握试商方法。在有余数除法的编排上，传统教材突出的是“结果”、是“计算”，新教材则“重视过程和体验”。解读这些教材，共性之处在于：尊重学生的朴素经验，基于“平均分”展开，注重操作，注重学生的过程体验。无论哪个版本的教材，都是基于平均分基础上的“分物”，都注重操作，围绕操作将直观的结果与相应的表象为支撑，从而认识余数，理解除法竖式的意义。注重传统的继承与发展，结合现实情境理解试商原理，注重试商方法的渗透。它们的个性也很鲜明：同一个知识点，浙教版教材编排在二上年级，而北师大版、青岛版、苏教版编排在二下，西师版
16、虽然和人教版一样都是编排在三上年级，但这部分知识与两位数除以一位数（如804、363、362）的学习是在同一个单元进行，难度跨越要更大。教学思路也不尽相同，除北师大版和人教版教材沿用“没有余数除法有余数除法余数比除数小”的教学思路外，其他版本的教材都是将余数认识提前，在学生感知余数的意义和有余数除法的横式意义的基础之上，再进行除法竖式的教学，沟通横式与竖式之间的联系。虽然每个版本都围绕具体情境展开教学，但我认为浙教版的“点子图”、西师版的小圆片更具操作性。浙教版和苏教版更注重操作过程的展开，学生思维轨迹的记录。相形之下，人教版的教材似乎要逊色一些。四、操作：对教学的设计与实践由着日常教学现象的
17、分析和教材的深层解读，由着以上两个层面的思考，我们应该如何设计我们的教学呢？以下是我对有余数除法的教学的教学资源设计和教学活动展开这两个维度的探索与实践。资源的设计：求联，求活，求实1.基于多种版本教材资源重组教材，求“实”从多种版本教材资源中我们也发现，多数教材突破传统，沿用“分物余数的意义有余数的除法的横式意义有余数除法的竖式意义余数与除数的关系试商算理”的思路展开，这种思路很值得我们借鉴。此外，多种版本的教材为我们提供了丰富的素材，我们大可“拿来即用”。结合各个版本教材的素材与线索，我们对教学作了以下调整：第一课时：目标：余数的含义，有余数除法的横式意义理解，余数与除数的关系。素材：用小
18、棒摆正方形，借鉴苏教版教材的思路；引用青岛版的主题图，深化有余数除法横式的意义理解。如图1、2：第二课时：目标：理解除法竖式的意义，沟通横式与竖式的联系，试商方法。各个版本的新教材都设计了一定的现实情境引出有余数的除法，但我认为这些情境都不如用小棒来摆图形来得实在、有效。同时，将有余数除法的教学提前，为余数的产生、有余数除法算式、竖式的经历和体验的充分性上作了较大的时空保障，有了重点突破、深入之感，可以有效促进朴素经验向符号表征的跨越。素材：借鉴西师版和浙教版的关于试商的素材，如图3、4补充基本训练：（ ）322，（ ）里最大能填几。如何估商和试商是除法竖式计算的难点，而人教版教材恰恰忽视了这
19、一点。西师版教材从错例入手，结合现实情境估商，浙教版在结合现实情境试商基础上，提出思维模型739（里最大能填几）。在课堂上补充这些内容，将有效地突破教学的难点。2.基于学生的朴素经验设计教学，求“活”动手操作：搭一个正方形要几根小棒？8根小棒能搭几个正方形？操作，并用算式表示，板书横式。如果有9根小棒搭正方形，结果会怎么样？追问：出示一袋小棒，猜猜可能可以搭几个？会出现哪些情况？这些小棒如果还有剩余的话，可能会剩下几根？（结合具体的数学猜测）画图验证：小棒的根数在2040之间，可不可能剩下4根？5根呢？比5根更多呢？学生自己猜一个数，画图验证。反馈，学生尝试写有余数除法的横式（如224），讨论
20、中认识横式各部分所表示的现实意义。尝试写除法竖式，讨论中了解除法竖式每一步表示的现实意义。学生解决这类问题原始方法，往往就含有我们苦苦寻找的最本质的内容。学生用到的是“分”，写成的算式是“减”，在这样的基础上怎么写成教材上的竖式？显然要结合“分实物”、“口算”、“连减算式”这些学生已有的经验，让学生经历这个过程。这一点，各种版本的教材给了我们很好的诠释。在教学中，除了让学生在具体情景中感知有余数的除法的意义之外，应该加强学生观察、想象、操作等活动，经历除法竖式的体验过程，沟通学生分物、口算、笔算之间的联系，理清这其中的顺序和因果关系，理解有余数除法的意义和算法。如下面的教学设计片断：有形的操作
21、支撑起无形的数学方法，适时适度的操作介入，是朴素经验走向数学形式化的点睛之笔。3.在知识的纵横体系中设计教学，求“联”“有余数的除法”是学生学习整数除法计算的一个重要的承上启下的单元。在二年级学生已经完成了表内乘、除法的学习，之后将陆续学习两位数除以一位数、三位数除以一位数、三位数除以两位数等，有余数除法是继续学习除法的笔算打好基础。在这个单元的学习中，结合具体情景，感知有余数的除法的意义是重点也是难点，因为它是口算和笔算有余数除法的基础，只有学生正确理解了有余数的除法的意义时，才能正确的口算和笔算有余数的除法，才能正确的理解除法和余数之间的关系。活动的展开：从朴素经验到形式化跨越形式化是数学
22、本质特征之一。数学知识符号化、形式化的过程往往经历了感性操作（动手操作）表象操作（动脑操作）理性操作（数学形式化算式）三个阶段。这个过程中，感性操作是依托，表象操作是纽带，理性操作是目标。1.从感性经验入手，化抽象为直观数学的本质方法常常隐含在朴素的经验和学生已有的知识中。对于有余数除法而言，学生的经验在于对物体进行平均分的活动经验、对有余数除法的模糊认识、乘加乘减、连续减法、表内除法解决问题的经验等。教学中，就可以从学生的这些感性经验入手，通过动手操作，化抽象为直观。片断一：余数意义和有余数除法横式的意义师：8根小棒可以摆几个正方形？你能用算式表示吗？生：84=2（个）师：9根小棒可以摆几个
23、呢？和刚才有什么不一样？生1：没有用完。生2：还多出1根。师：如果我们拿10根、11根、12根小棒分别摆正方形，结果会怎么样？请你们摆一摆，并把结果记录在下面的表格里。（学生独立活动。）总根数摆一个的根数的个数余下根数89101112师（展示学生的活动成果）：用12根小棒，可以摆2个正方形，还余下4根，你认为可能吗？生1：不对，不可能多出4根。生2：余下的4根还可以再摆一个。师：那可能余下5根、6根，甚至更多吗？生：不可能的，因为这样的话还可以继续往下摆。师：那余下的根数可能会是几根呢？最多不超过几？生1：可能会是1，2，3.生2：最多不会超过4。师：其实余下的根数，在数学上有个名称叫余数。1
24、1根小棒能摆2个正方形，还余下3根。你能用算式来表示吗？生1：24=8（根），8+3=11（根）生2：1124=3（根）生3：1144=3（根）生4：114=2（个）还剩3根生5：114=2（个）加上3根师生交流评价这些方法，师板书规范的有余数除法的横式，让孩子说说每一个数的名称、表示的意义。学生在搭小棒写算式的过程中激活他们自身已有的感性经验。学生面对搭摆出的结果，如何在算式中表示，他们每人都有自己的不同的方法。学生最原始的算法往往体现了最基本的原理，从他们的策略中可以发现他们的思维轨迹。教师展示学生的成果，并说出每个数字或符号所表求的意思，这样学生就能主动地将“感性经验”加工、抽象成“数学
25、符号”的原型，教师在此基础上，引导把这些方法进行优化，把除法算式跟小棒联系起来，化抽象为具体，又在具体中提升出抽象内涵，从而成功地实现“朴素经验”到“数学形式化”的跨越。2.突出表象操作，为抽象搭建桥梁教学中经常会出现动手操作之后依然有学生对符号化算式不理解的现象，那是因为忽视表象操作。忽视了表象操作的作用无疑是人为的给学生学习数学、形成数学形式化拆去了阶梯。片断二：理解余数与除数的关系师：如果我们拿刚才的11根小棒，来摆、，可以摆几个？还余下几根呢？请你们先在脑子里搭一搭，再动手画一画，看看和脑子里想的是不是一样？然后用算式表示出来。生1： | | 113=32生2： | 115=21师：如
26、果我们继续拿12根、13根、14根、15根来摆、，可以摆几个？还余下几根呢？请你们先在脑子里搭一搭，再用算式表示出来。（生独立活动，交流反馈）师：如果我们来搭三角形，余下的根数可能比3多吗？搭五边形呢？你发现了什么？（生自由说，讨论得出余数必须比除数小。）在这里，通过脑中搭丰富了学生的活动经验，使动手操作之后的动脑操作（表象操作）真正成为学生积极参与数学活动、形成数学形式化的有效中介，使他们更好地理解余数比除数小的关系。在教学中，如果我们能立足于教学实际，更多地运用表象操作，将使学生的数学学习从直观到抽象找到纽带和桥梁，更稳固地维系着感知操作和符号表征，促进朴素经验到数学形式化的跨越。3.注重
27、数、形、义的结合，从具体到抽象在经历知识的形成过程中，注重数、形、义的结合使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学知识的本质。片断三：理解除法竖式的意义我们学过加法和减法的竖式，你想学除法竖式吗？你能把115=21这个算式改写成除法竖式吗？独立活动后，展示结果：10115211-1011你认为哪种方法最能反映刚才我们摆小棒的过程？说明在数学里，我们一般用第二种方法，减号省略不写。老师在黑板上规范地书写竖式过程，学生模仿。说一说，竖式中的11、5、2、10、1分别表示什么？老师指横式、竖式中的数，请你在画的图中指一指相应的小棒：101115=21同桌互相说说每
28、个数表示的意义，质疑：为什么商是2，可以是3吗？10是怎么算出来的，表示什么？ 1是怎么算出来的，表示什么？下面这两个竖式对吗？10125611012150如果用15根小棒摆，可以摆几个？先列横式，再列竖式。这个竖式和刚才的有什么不一样？“0”怎么算出来的，表示什么？以教师报横式、竖式的数字，学生指、说、圈图形相应的部分的形式，从情境中来到情境中去，促使学生理解横竖式中各数表示的意义，沟通了图、数、义之间的联系，沟通乘法和除法之间的联系，沟通了整除和有余之间的联系，沟通了学生操作经验和数学符号之间的联系，使孩子对除法竖式的每一步如何产生以及所表示的意义一清二楚，赋予了一个枯燥的数学竖式现实意义
29、。数字、图形和意义完美结合，让学生有话可说、有物可指、有图可圈，就像是抽象的数字与意义之间架起了一座桥梁，促进了学生的朴素经验到数学形式化的跨越。四、启示：对研究的提炼与延伸数学是学生自己的数学，“除了学生自己，任何人都无法代替他们”。教师要跳出成人的思维定势，蹲下身用学生的经验触摸数学。从特殊到一般，从微观到宏观，通过有余数除法的研究，我觉得自己收获了很多，同样也得到很多启示。启示一：研究教材的思路1.对教材进行横向研读。在学习和理解课程标准的基础上，对某一主题的教学内容尽可能多地参考不同版本的教材，以更好地分析、消化和处理教材中的相关学习内容。阅读不同版本的教材对教师而言有一个显而易见的好
30、处，即教师不再把教材神圣化，而实现了和课程标准的直接“对话”。2.对教材进行纵向研读。在学习和理解课程标准的基础上，将某一教学内容置于完整的学科知识体系中考虑，通过与之相关的前后几块教学内容的比较，明确教学内容的本质特点，清晰教学内容在整个学科体系中的位置。启示二：研究教学的思路1.让学生经历“感知操作形象表征符号表征”的横向数学化过程。学习活动应让学生先从外部形式的活动开始，在操作过程中促进学生思维活动的发展，让学生由直接感知转化为表象，进而构建初步抽象逻辑。我们应基于学生的朴素经验，让学生综合运用观察、操作、表述、游戏、小组讨论等多种活泼生动的活动形式，调动学生的多种感官，在活动中引起学生
31、内部思维活动，在此基础上让学生尝试用数学语言表征，经历基于动作的思维向基于图像的思维再向基于符号与逻辑的思维转换，实现朴素经验到数学形式化的跨越。2.突出不同数学语言形态之间互译的纵向数学化过程。文字语言、图形语言和符号语言之间的互译，不是一时一刻的问题，在数学的整个数学过程中，无时无处不在，我们应予以足够的重视，突出不同数学语言形态之间互译的纵向数学化过程，实现朴素经验到数学形式化的跨越。 主要参考文献：1杨凯明,斯苗儿.秉承传统，关注细节用有余数的除法解决问题的教学实践与深层解读J. 教学月刊(小学版) 2008(1).2吴亚萍,张冲.分数认识的结构教学研究J.小学数学教师2009(6).3孙家芳,任景业.除法竖式的教学与思考J.小学数学教师2009(7-8).4高月琴,朱国荣.请在学生“朴素理解”与“形式化”之间缓缓而行J.小学数学教师2009(7-8).
