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1、激光衍射粒径测量中的Chin-Shifrin反演算法第19卷第2期2011年2月光学精密工程OpticsandPrecisionEngineeringVo1.19No.2Feb.2O1l文章编号1004924X(2011)02032309激光衍射粒径测量中的ChinShifrin反演算法杨福桂,王安廷,明海,徐胜利(1.中国科学技术大学光学与光学工程系,安徽合肥230026;2.中国科学技术大学近代力学系,安徽合肥230026)摘要:建立了以线阵CCD作为探测组件的激光衍射粒径测量系统用于颗粒群直径分布的测量.在数值计算的基础上,分析了传统ChinShifrin积分变换粒径分布反演算法存在的两
2、个问题:小粒径反演结果的发散和多假峰现象,并结合理论分析给出了这两种现象的物理图像.提出了修正积分变换公式以解决小粒径反演结果发散的问题并针对Chin-Shifrin变换的具体应用,通过对比散射光强角分布特征,研究了Fraunhofer衍射对Mie散射近似的有效角度范围.计算结果显示,最大近似角度是随着粒径参数上升单调下降的,但积分变换的精度是不断提高的.最后,应用改进的Chin-Shifrin反演算法处理了实验测量数据,结果表明,改进的反演算法的精度较高,适合工业领域的应用.关键词:Fraunhofer衍射;Mie散射;反演算法;粒径分布;线阵CCD中图分类号:TN247文献标识码:Adoi
3、:10.3788/0PE.2Ol11902.0323ChinShifrininversionalgorithmformeasuringofparticlesizedistributionbylaserdiffractionmethodYANGFugui,WANGAnting,MINGHai,XUShengli(1.DepartmentoJOpticsandOpticalEngineering,UniversityofScienceandTechnologyoJChina,Hefei230026,China;2.DepartmentofModernMechanics,UniversityofSc
4、ienceandTechnologyofChina,Hefei230026,China)Abstract:Byusinga1inearCCDasthedetectormodule,ameasuringsystemforparticlesizedistributionwasestablishedbylaserdiffraction.Basedonnumericalcomputation.thetwoproblemsinChinShifrinintegrationparticlesizeinversionalgorithm:thedivergenceofinversioninasmallparti
5、clesizeanditsfalsepeaks,wereanalyzedandthecausesofthesephenomenawereexplained.Then,themodificationoftheintegrationformulawasproposedtoresolvethedivergenceproblem.AimingattheparticularapplicationonChinShifrinintegraltransform,theeffectiveanglerangeofFraunhoferdiffractionapproximationtOMiescatteringwa
6、sstudiedbycomparingthepatternofMiescatteringandthatofFraunhoferdiffraction.Thenumericalresultshowthatthevalidanglefordiffractionapproximationdecreasesastheanglebecomeslarge,buttheprecisionoftheinversionhasincreased.Finally,thisimprovedChinShifrininversionalgorithmwasusedtoprocessexperimentaldata.The
7、experimenta1resultshowsthattheimprovedinversionalgorithmhashighprecisionandissuitableforapplications收稿日期:20101008;修订日期:20101030.基金项目:国家自然科学基金资助项目(No.10902109,No.90816014)324光学精密工程第19卷inindustry.Keywords:Fraunhoferdiffraction;Miescattering;inversionalgorithm;particlesizedistribution;linearCCD引言微小颗粒直径
8、分布测量技术在许多领域都有重要应用,例如尘埃分析,工业领域中的燃烧控制及医学产品研制等,而光学测量方法有着实时,无接触,可重复的特点,亦受到广泛重视.一般地,被测量对象被假设是各向同性球形颗粒群,这时Mie散射理论或者其衍射近似形式可以用于描述颗粒前向散射分布.根据前向散射光的光强角分布,结合Chin-Shifrin(C-S)积分变换反推得到颗粒直径分布的信息口.,即为激光衍射颗粒直径测量方法.尽管目前基于该技术的商业设备已经在市场上推广,如英国的Malvern公司,但是在方法改进及反演算法上仍有较多问题,特别是在使用价格低廉处理系统的线阵CCD代替传统对数放大的二极管探测器阵列时,提高信噪比
9、,拓展测量范围显得非常必要.激光衍射测量技术存在的主要问题还有衍射有效近似范围及CS反演算法对应的粒径测量范围.衍射有效近似范围是指在与颗粒直径相关的某个小角度范围内Fraunhofer衍射可以很好地近似Mie散射.Hodkinson,Vargas-Ubera等研究了不同折射率,粒径分布类型对应的光强角分布近似的情况,但尚未深入研究有效区间与颗粒直径之间的关系.C-S积分变换反演算法存在比较严重的问题,包括小粒径处的结果发散及多假峰;Knight8等人指出该问题的主要原因是实验测量数据是小角度范围内,远小于积分变换要求的0.,然而并没有给出很好的解决方法.因此,研究这个积分变换的内在机理有助于
10、寻求解决上述问题的方法;同时对于特定的实验系统,研究使用基于C-S算法的激光衍射粒径测量方法的有效粒径测量范围也具有重要意义.本文从数值计算及实验测量的两个角度研究激光衍射粒径测量技术.首先,介绍了基本的Mie散射和Fraunhofer衍射理论,并在数值计算的基础上,探讨了衍射近似的有效范围问题.分析了C-S积分粒径分布反演算法存在的两个问题:小粒径反演结果的发散和多假峰现象,并给出了这两种现象的原因.接着,提出修正积分变换公式以解决小粒径反演结果发散的问题;针对CS变换的具体应用,通过对比散射光强角分布特征,研究了Fraunhofer衍射对Mie散射近似的有效角度范围,计算结果显示最大近似角
11、度是随着粒径参数上升单调下降的,但积分变换的精度是在不断提高的.最后,为了实现对颗粒群直径分布的测量,建立了以线阵CCD作为探测组件的激光衍射粒径测量系统,并应用改进的CS反演算法处理实验测量数据.实验结果表明,改进的反演算法精度高,适合工业领域的应用.2基本理论2.1Mie散射理论一束波长为的方向线偏振平行光入射,激光颗粒图1Mie散射电场矢量分解Fig.1DecompositionofelectricvectorsofMiescattering经半径为的球形颗粒衍射后,在空间(r,)处产生的强度分布可表达为:I(0,)一lE(,)l.+IE(,)l,(1)式中,E.分别为垂直和平行于由入射
12、方向和散射方向确定的散射平面的两个偏振分量:PE(,)一一es2(cos)COS,(2),:FE(,)一一e-ikrS1(cos0)sin,(3)其中,S(),S()为复振幅函数:第2期杨福桂,等:激光衍射粒径测量中的ChinShifrin反演算法325s)一c.+c刚),(4)sz一(c.+(c.,(5)这里,b为Mie系数;7c,是与Legendre多项式相关的函数;定义粒径参数.5C一兀n,折射率复m,则:一暑糍鬻缎7c”(cos)一P(cosrl口),(8)Slc.s)品c.s),(9)Q式中RiccatiBessel函数(),()分别可以用一类贝塞尔函数和二类汉克尔表示:一(等J.+
13、1/2(z),(10)(等)H(),(11)以上是球状颗粒Mie散射的基本理论结果.2.2Fraunhofer衍射近似Mie散射理论是一种严格的电磁场理论,计算量非常大.然而粒径参数l时,Fraunhofer衍射理论可以作为一种很好的近似,极大地降低了计算量.严格的计算嘲显示,此时式(8),(9)可近似为(c.s)一(+1)J.(“+)+Jz(十丢)臼),(12)(c.s)一1“(“+1)L(+专)一J(+),(13)这样,n一6一1/2,从而有s()一sz()一n=l(“+1)J.(“+),(14)变求和为积分,得到s舢)=sz一(+0(+一+=.z,进而有I(O(),式中.是入射光强度,这
14、便是严格的Fraunhofer衍射公式.结果表明颗粒直径比较大时,小角度内的强度分布并不依赖于颗粒折射率.2.3C-S积分反演算法如果散射物体位数密度为()的颗粒散射群,并使用衍射近似,光强的角分布为.j,这是一类Fredholm积分方程,Chin等人的研究表明,通过基于BatemanTitchmarshFox积分变换声()一27rId/dttJ;(rt)(r)dr,(17)(s)一J.J(st)Yp(st)t(t)dr,(8)可以得到颗粒直径分布的解析表达式:)一(xO)Y(xO)xO0Io0.-ld00CW.1T3(19)J和Y分别是第一类和第二类的第一级Bessel函数.可见只要衍射近似
15、成立,即可根据上述CS积分表达式获得粒径的分布信息.3C-S积分反演算法问题3.1C-S算法工作机理严格的理论分析处理这类Bessel函数比较复杂.为了分析该积分变换的性质,这里的处理集中于数值模拟分析和函数近似解析分析两种途径.观察式(19)的反演积分,积分部分可以切割成两部分:hcs(z)一J1()Y1(z),(20)s()一31),(21)式中前一项称为积分核,它是独立于测量数据的,后一项微分函数是与散射光强角分布相关的微分部分.根据Bessel函数的性质,获得积分核的渐进表达式:326光学精密工程第19卷fx/rrIk一111(22)其中非常重要的信息就是在自变量比较大的时候,积分核是
16、一个周期为丌,振幅为1/的正弦函数.图2计算了3个函数曲线图像,当>丌时,正弦曲线拟合是合适的,当<1.16时,直线拟合是合适的.O.5图2积分核及其渐进函数比较Fig.2Comparisonbetweenkernelofintegralequationanditsasymptoticvalues接着,考虑单分散分布的Fraunhofer衍射对应的Ecs()曲线情况.图3计算了粒径参数为100,01O.强度分布为01O.时,Ecs()和hcs()的变化曲线图.图3积分核与微分函数对比Fig.3Comparisonbetweenkernelofintegralequationandd
17、ifferentiationterm结果显示,在整个反演积分区间具有相同粒径参数的积分核h()和微分函数E.()两个函数的值仅存在微小差别.随着采样粒径参数z偏离真实值,积分核函数h会收缩或者展宽,从而引起积分值的降低,由此可以获得粒径分布曲线的形貌.这一部分的数值模拟计算表明cs反演算法工作的物理图像是利用Ec()的振荡特性,通过构造函数去h.()拟合微分函数E(),进而实现粒径分布反演.3.2C-S算法存在的问题CS积分变换方程要求的积分角度从零到无穷,然而在实际测量中,受到探测器有限尺寸及测量动态范围的限制,探测器仅仅能够测量比较小的角度区间的强度分布.此时在应用CS反演算法进行颗粒直径
18、分布反演的过程中,这种有限的积分角度区间引起的反演粒径分布会产生两方面的问题:(1)小粒径采样值位置反演的不收敛;(2)除了真实粒径分布峰值位置之外,还存在多个强度较弱的假峰.图4计算了粒径参数一200的单分散分布的反演结果,积分角度区间选择两个,S口重0ZA1.一50100150200250300(a)最大积分角为6.(a)Maximalintegralanglein6./,.一5Ol0O1502oo250300(b)最大积分角为5.(b)maximalintegralanglein5.图4不同积分角度区间的积分变换结果Resultsofintegraltransformfordiffere
19、ntmaximalangles.圳.0第2期杨福桂,等:激光衍射粒径测量中的ChinShifrin反演算法327分别为06.和05.,可以发现采样粒径参数<50时,强度值随着粒径参数的减小而急剧增加,同时除了37200处存在峰值外,图4(a)中在.27163/133/103/73/43及图4(b)中在一156/120/85/49等位置也都存在峰值.假峰位置的改变表明这些假峰与积分变换的角度区间相关.实际上,ChinShifrin反演算法是应用积分核hcs拟合的方法实现在真实粒径处的积分强度最强,而积分方程前的系数对反演结果的意义影响不大.然而,随着37的减少,与粒径参数成二次反比例的系数
20、会急剧增大,这样必然导致积分值小粒径参数位置急剧上升.解决这个问题的最简单的方法就是去掉积分公式前的系数,积分公式变为rj1()一一2nklJ1()Y1(xO)aOo0.J0UL,(23)图5是修正后的积分结果,可以发现发散问题可以得到完好解决,但是大粒径参数的波动性在一定程度上会增强,但这不影响真实峰值强度在反演粒径区间最大的特性.口.笪E8Z图5改进CS积分变换解Fig.5ImprovedCSintegraltransformsolution多峰值问题则归因于h和E的波动性质.调整采样粒径参数时,h波形会展宽或者收缩,当.和E.波形重叠比例达到局域最大时,积分强度也是局域最大的,此时会导致
21、假峰的出现.这种物理图像可以从理论上找到解释.为了定量获得分布函数对积分反演变换的影响,采用hcs渐进函数分析积分变换公式,这种做法是合理的,因为积分函数的积分区间一般远大于xO=1.16,由此可以获得:h()一一oos()昌n(,drdO0一hn)一一2Ioos(2)jIn()I(,lJaLJo一2nkfoCOS(2)()奇(,O)dOd,(24)而E特性曲线在整个区间内与h曲线相仿,仍使用近似函数:r.r.T()一一2nkjCOS(细)j()J(出dO00017一JJ一27c志Icos(2370)l”()cos(2z臼)dxdO.(25)假设颗粒分布函数n(z)一(zz.),有限积分区间为
22、O,则有:1(z)一Clcos(2xO)cos(2xo)dO一C1r!二!+兰!一2L2(zzo)2(z+.270)csinc()nc(),(26)反演结果的波动特性是两个sine函数叠加的结果.根据sinc函数的特性,式(26)中后一项的主极强位置在一一z.,对第一个sine函数在.处的影响主要来自于次级强,强度较弱.这时真实主峰位置距侧瓣第i假峰位置满足为:.f1.23n/Omi一1J一z0.,(27)I(1.23+i),r/0>1这个近似结果和图5的模拟结果非常相近.当颗粒参数比较小时,后一项对前一项的影响会逐步增强,一般来说,z.0要求大于6,而主峰间距为2.,这样后一项的次级峰
23、仍无法对主峰产生影响.上面理论与模拟实验表明,反演结果的波动性或者说假峰问题是源于积分区间的截断误差,降低波动性的方法是在保证有效衍射近似的基础上尽可能地增大角度积分区间.4有c_r-作角度区间确定衍射近似的有效范围直接决定了Chin328光学精密工程第19卷Shifrin积分公式的可行性.HodKinsonl6指出当激光波长为0.5/zm时,衍射近似对于直径大于5/,m的颗粒散射成立.Jones则提出无吸收的颗粒直径可以拓展到3m.然而特定粒径对应的衍射近似有效角度范围仍未有定论.衍射近似条件和有限的角度积分区间是限制C-S算法粒径反演效果的关键.第3部分的机理数值研究表明,在积分角度区间内
24、E必须有足够多波动周期,才能获得小误差的反演结果.如果算法对于某一粒径范围的反演有成效,则在每一粒径对应衍射近似成立的角度区间内&必须保持足够数目的波动周期.对比Mie散射和Fraunhofer衍射近似的强度分布的方法被广泛用来计算衍射近似的角度区间.考虑到Mie散射还与折射率系数有关,计算中选择m一1.3,1.5,1.7三个值计算Mie散射曲线.在近似角度区问内,折射率引起Mie散射曲(a)32=50(b)z:100(c)z一500(d)一1000图6不同粒径参数,折射率对应的散射光强分布Fig.6Scatteringintensitydistributionfordifferent
25、sizeparametersandrefractiveindexes线的变化要比较小,而且曲线形貌要同Fraunhofer衍射相似.图6给出了粒径参数分别为5O,100,500,1000的计算结果.可以发现随着粒径参数的降低,最大有效近似角度不断下降,但是E包含的周期数在不断增加.为了清晰表达这种趋势,图7(a)和图7(b)分别计算了最大近似角度m.x及r对应的Es周期数随粒径参数的变化曲线.可以发现粒径参数小于200时,近似角度的下降速度比较快.而粒径参数比较大时,曲线变化比较小,且当.27>30时,E的最小周期数为2个,这也是Coston_1认为反演所需的最少周期数.粒径越大对应的周
26、期数越多,这对cS积分反演算法是非常重要的,可以保证大粒径参数的反演结果会更好.对比发现,Liul_】的结果过于严格.第2期杨福桂,等:激光衍射粒径测量中的ChinShifrin反演算法329=&E=Z(a)有效近似角度范围(a)Approximateanglerange(b)近似角度内周期数(b)Periodicityofsineffectiveanglerange图7有效近似角度范围及其包含的E周期数随粒径参数的变化Fig.7Effectiveandapproximateangleranges,andincludedsperiodicity5测量实验与结果实验装置系统如图8,全固态
27、Nd:YAG激光器出射直径为1mITl的532FIITI激光束,再经扩束器扩束到4lTlm,激光束经工作区时被标准颗粒群散射,散射光信号被焦距为400mlTl的透镜接收,同时被放置在透镜焦平面上的线阵CCD探测器探测.线阵CCD型号为TCD1501D,像素尺寸为7rn,像素个数为5000.实验样品是由核工业部北京化工冶金研究院提供的标准聚苯乙烯球形微粒,其标号是GBW(E)120007,标称峰值粒径为(36.61.46)m.考虑到激光是相干光源,散射光信号会在空间中形成散斑噪声,为了降低散射光的相干性,实一一一工作区图8粒径测量系统结构示意图Fig.8Frameworkofparticlesi
28、zemeasuringsystem验中使用搅拌器提高标准颗粒的运动速度,同时激光扩束也是降低散斑噪声的有利途径.另外在数据处理时,采用多组数据平均的方法降低测量信号的散斑噪声.1.6l_2三080.400.5l520(a)测量所得到的散射光强角分布(a)AngledistributionofmeasuredscatteringintensityQ(b)反演粒径分布(b)Particlesizedistribution图9实验测量结果Fig.9Experimentalresults图9是样品颗粒的测量结果.虚线是对探测信号进行9阶多项式拟合的结果,散射角低于0.3.时探测光强信号饱和.模拟结果显
29、示标准颗33O光学精密工程第l9卷粒为36.6Fm的最大有效近似角度为3.3.,所以在测量角度范围内可以使用改进的CS算法反演粒径分布.粒径分布区为16O/,m,其峰值位置为36.02/,rn处,与标准值(36.6m)的误差为1.6%,接近实验样品的相对误差.同时,不再存在小粒径位置发散问题,但假峰位置仍然影响着曲线的形貌.上述理论表明这是积分变换的必然结果,该问题的解决方法仍有待于解决.6结论本文研究了颗粒粒径测量ChinShifrin反演参考文献:123E4;E536CHINJH,SLIEPCEVlCHCM,TRIBUSM.Partidesizedistributionsfromangul
30、arvariationofintensityofforwardscatteredlightatverysmallangleJ.J.Phys.Chem.,1955,59:841844.SHIFRINKS.CaleulationofacertainclassofdeftniteintegralscontainingthesquareofafirstorderBesselfunctionC.Tr.Zoachn.Lesotekhnich.Inst.2,1956.SHIFRINKS,KOIMAK()VIB.Calculationofparticlesizespectrumfromdirectandint
31、egralvaluesoftheindicatrixinthesmallangleregionC.Izv.USSRAcad.Sci.Atmos.OceanicPhys.3,1967:749753.(Englishtranslation)VANDE,HUISTHC.LightScatteringbySmallParticlesM.Dover,NewYork,1981.戴兵,贺安之.用线阵CCD测量颗粒尺寸分布的研究l-J.仪表技术和传感器,2002(8):4042.DA1BING,HEAZ.ResearchofusinglineararrayCCDforparticle-sizedistribu
32、tionmeasurementJ.InstrumentTechniqueandSensor,2002(8):4042.(inChinese)H0DKINS()NJR.ParticlesizingbymeansoftheforwardscatteringlobeJ.App1.Opt.,1966,5,839844.算法中存在的若干问题,阐述了假峰及发散现象的根本原因,并针对性的改进了积分变换公式.数值分析对比了不同粒径参数,折射率的Mie散射强度和Fraunhofer衍射强度角分布的形貌,由此获得了针对Cs反演算法的有效衍射近似角度范围.最后实验采用线阵CCD和全固态激光器构成的实验装置成功测量了
33、颗粒直径为36.4/,m的聚苯乙烯小球的粒径分布.研究结果表明,CS积分反演算法的极限测量在粒径参数z一30附近,具体值因折射率而异.待测粒径越大,测量精度越高,实验中测量的精度为1.6,接近实验样品的相对误差,基本可满足工业粒径测量的要求.7VARGAS-UBERA,GAIED.TherangeofvalidityoftheFraunhoferapproximationintheestimationofparticlesizedistributionsfromfightdiffractionC.4thIberoamericanMeetingon0pticsand7thLatinAmerica
34、nMeetingonOptics,Lasers,andTheirApplications.G.H.Kaufmann.Bellingham,SpimlntSocOpticalEngineering,2001,4419:435438.8KNIGHTJC,BAIID.AnalyticalinversionforlaserdiffractionspectrometrygivingimprovedresolutionandaccuracyinsizedistributionJ.AppliedOptics,1991,30(33):47954799.9KOOJH,HIRIEMANED.Synthesisof
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36、sinparticlesizingbyintegraltransforminversionsJ.AppliedOptics,l997,36(22):55355545.123COSTONSD,GEORGEN.ParticlesizingbyinversionoftheopticaltransformpatternJ.AppliedOptics,1991,30(33):47854794.第2期杨福桂,等:激光衍射粒径测量中的ChinShifrin反演算法331作者简介杨福桂(1985一),男,安徽蚌埠人,博士研究生,2007年于中国科学技术大学获得学士学位,主要从事传统光学成像及物理测量方面的研究
37、.Email:yfgl67王安廷(1977一),男,宁夏固原人,博士后,副教授,1999年于中国科学技术大学获得学士学位,2004年2007年于中国科学技术大学电子科学与技术学科从事博士后研究,在站期间获得中国博士后科学基金资助.2005年2007年先后在美国加州大学Irvine分校和SanDiego分校作访问学者和博士后,主要从事光电子技术,光纤通信与器件和光散射的研究.Email:atwangustC明海(1947一),男,江苏大丰人,1970年毕业于中国科学技术大学,现任中国科学技术大学光子技术研究所所长,安徽省光电子科学与技术重点实验室主任,主要从事光电子技术,近场光学,光纤通信与器件
38、,聚合物光子学的研究.E-mail:minghai徐胜利(1965一),男,安徽合肥人,博士后,教授,1988年于西安交通大学获得学士学位,1991年于中国科学技术大学获得硕士学位,l994年于南京理工大学获得博士学位,现为中国科学技术大学多相与化学反应流实验室主任,主要从事超声速燃烧,高速流动中的多相流与反应流方面的研究.Email:slxu下期预告窄通带高透频率选择表面的研究苏学军,高劲松,朱华新,赵晶丽,冯晓国(1.海军航空工程学院,山东烟台264001;2.中国科学院长春光学精密机械与物理研究所中国科学院光学系统先进制造技术重点实验室,吉林长春130033;3.中国科学院研究生院,北京
39、100039)为使大周期下带宽较窄的频率选择表面(frequencyselectivesurface,简称FSS)结构透过率较高,以Y环单元为基础提出了一种提高通带透过率的新方法,即在周期单元内设置圆形孔径,运用谱域Galerkin方法对这种结构的传输特性进行了数值分析,确定R一0.5mm,单元周期内圆孑L个数为12,中心频点10GHz的透过率提高0.11dB;采用镀膜与光刻相结合的技术制备了相应的试验件,并进行了微波测试,测试值与计算值基本一致.结果表明:开圆孔Y环的中心频点透过率在电磁波垂直入射的情况下为一0.62dB,比对应Y环提高0.21dB,而在3O.和45.倾斜入射的情况下,TE波的透过率分别为一0.66dB和一0.81dB,比对应Y环分别提高了0.32dB和0.27dB,一3dB带宽分别为1GHz和0.8GHz,两种结构的带宽基本一致.因此这种方法是大周期下提高通带透过率的一种行之有效的方法._一
