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1、一类方阵高次幂的计算方法 摘 要 本文是在总结方阵高次幂多种实用计算方法的基础上,根据其中一种方法,对一类特殊矩阵的高次幂计算进行了研究,并得到了相应的计算公式.关键词 方阵高次幂; 标准形; 定理; 最小多项式; 矩阵计算中图分类号 O151.21Calculation Method for a Class of the Square Matrix High Power Abstract: On the basis of summarizing a variety of practical calculation method of the matrix high power, a clas
2、s of special matrix of high power calculation is studied according to one of the methods, and corresponding calculation formulas are obtained.Keywords: Matrix High Power; Standard Form; Theorem; Minimal Polynomial; Matrix Calculation1 引言方阵求高次幂的问题是高等代数中的常见问题之一,也是学习矩阵函数的基础之一1,在高等代数题解、矩阵稳定性讨论及预测、控制等方面有
3、广泛的应用.它的求法原理贯穿于代数教学过程的始终,可以用到矩阵各方面的知识2.目前,已有许多学者对方阵高次幂的求法进行了研究.计算方阵高次幂的常用方法有标准形法、定理法、最小多项式法、数学归纳法、二项式展开法等.在矩阵高次幂计算中,针对不同类型,选择适当的计算方法,可以降低计算难度.2 预备知识 2.1 几个定义及定理定义13 次数最低的首项系数为1的以为根的多项式称为的最小多项式.定理11 每个阶复矩阵都与一个阶矩阵相似.即存在阶可逆阵,使得.定理22 若已知矩阵可对角化,即存在可逆阵,使,其中为对角阵,则其对角线上元素为矩阵的特征值.定理33(定理) 设是数域上一个矩阵,是的特征多项式,则
4、.2.2 已有方阵高次幂的计算方法方法12 矩阵对角化法由定理2可知,则.从而把求的方幂的问题就转化为求过渡矩阵和对角阵的幂的问题.该方法只适用于可对角化的矩阵,故要先判断阶方阵是否有个线性无关的特征向量.方法21 标准形法由定理1易得,从而有.该方法对于高阶矩阵比较困难.因为该方法不仅要解出矩阵的特征值,还要解出相应的特征向量,这对高阶矩阵是较困难的.方法34 哈密顿凯莱()定理法设是数域上阶方阵,其特征多项式为,为求,令,做带余除法:.由定理3知:,并且的次数小于的次数,进而可得.方法4 最小多项式法由于矩阵的最小多项式整除以为根的任一多项式,且是唯一的.由定理知,的最小多项式是的特征多项
5、式的因式.利用多项式理论,我们可以得到次数比的次数低的余式,从而达到降次的目的1.与用标准形计算方阵高次幂的方法相比,利用定理与最小多项式降次求幂的方法计算量小(求出特征值不必再求出对应的特征向量).另外,利用最小多项式降次的方法又比利用定理降次的方法所需参数的个数少,所以更方便.方法55 数学归纳法适合类型为,它是有规律可循的.先计算,找出规律,再归纳出,并利用数学归纳法证明结论.方法62 乘法结合律法当阶矩阵的秩时,矩阵可以写成维列向量和维行向量的乘积,即.然后利用矩阵乘法的结合律有:,其中是矩阵,即是一个数.所以有.该方法只适用于矩阵的秩为1的情况.方法76 二项式展开法若是主对角线上元
6、素相同的某些特殊阶矩阵时(如三角阵等),则考虑先将分解为,其中为幂零阵(即对有),或为秩的矩阵,并且,其中常数等于列向量与行向量内积的值.根据数量阵与任何矩阵乘法可交换,利用二项式定理展开得.3 主要结论及证明命题1 形如,令,于是,且,.则.证明 ,令,则,且,.于是.又 ,得.所以.命题2 形如,令,于是,且,.则.证明 ,令,则,且,.于是.又 ,得.所以 .4 初步应用例1 设矩阵,计算.解法1 由于.故矩阵的特征多项式,所以的最小多项式为的因式.显然,于是的最小多项式为.所以令,从而得 .所以 .解法2 由于,令,则,且,.从而 .待添加的隐藏文字内容1又 ,得.所以 .解法3 令,
7、则,且,.由命题1得 .例2 设矩阵,计算.解 令,则,且,.由命题1得 .例3 设矩阵,计算.解 据题意知,.令,则,且,.由命题2得 .致谢 本篇论文是在周建仁老师的悉心指导下完成的,在此谨向周老师表示由衷的感谢.参 考 文 献1余跃玉.阶方阵高次幂的计算方法J.四川文理学院学报,2011,21(2):22-24.2李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法M.北京:科学出版社,2008.3北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数M.北京:高等教育出版社,2003.4陈 军,韩静媛,矩阵高次幂的简单求法J.承德民族师专学报,2007,27(2):2-3.5刘爱兰.矩阵高次幂的计算方法J.上海电力学院学报,2007,23(1):93-96.6全生寅.矩阵高次幂的实用计算方法(I)J.青海大学学报(自然科学版),2001,19(4):76-80.7王 文,魏春强,方阵的次幂计算J.高师理科学报,2011,31(4):22.8胡洁萍,杨树林,田益民.矩阵乘法巧算及其拓广应用J.北京印刷学院学报,2012,20(4):60-62.9全生寅.矩阵高次幂的实用计算方法(II)J.青海大学学报(自然科学版),2002,20(3):53-56.
