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1、第3章 静定结构的受力分析,3-1 梁的内力计算回顾,3-2 静定多跨梁,3-3 静定平面刚架,3-4 静定平面桁架,3-5 组合结构,3-6 三铰拱,3-7 隔离体方法及其截取顺序的优选,3-8 刚体体系的虚功原理,3-9 用求解器确定截面单杆(略),3-10 用求解器求解组合结构(略),3-12 小结,3-11 用求解器求解一般静定结构(略),第3章 静定结构的受力分析,3-1 梁的内力计算的回顾,截面的内力分量及其正负号规定,轴力FN以拉力为正 剪力FQ以绕微段隔离体顺时针转者为正 弯矩M弯矩图的纵坐标画在杆件受拉纤维一边，不标正负号,轴力=截面一边的所有外力沿杆轴切线方向的投影代数和。
2、剪力=截面一边的所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和。弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和。,荷载与内力之间的微分关系：如图，由平衡条件可导出,截面法：将杆件在指定截面切开，取其中一部分为隔离体，利 用平衡条件，确定此截面的三个内力分量。,荷载与内力之间的增量关系：如图，在集中荷载作用处取 微段为隔离体，由平衡条件可导出：,荷载与内力之间的积分关系：如图，从直杆中取出荷载连 续分布的一段，由积分可得：,积分关系的几何意义：B端的轴力=A端的轴力-该段荷载qx图的面积。B端的剪力=A端的剪力-该段荷载qy图的面积B端的弯矩=A端的弯矩+此段剪力图的面积,6.分段叠加法作弯矩图,图(a)结
3、构荷载有两部分：跨间荷载q和端部力偶MA、MB,端部力偶单独作用时，弯矩图为直线，如图(b):,跨间荷载q单独作用时，弯矩图如图(c):,总弯矩图为图(b)基础上叠加图(c)，如图(d):,弯矩图的叠加指纵坐标的叠加，不是图形的简单拼合。,任意直段杆的弯矩图：以(a)中的AB端为例，其隔离体如图(b)。,与图(c)中的简支梁相比，显然二者的弯矩图相同。因此：作任意直杆段弯矩图 就归结为作相应简支 梁的弯矩图。AB段的弯矩图如图(d)。,例3-1 试作图示简支梁的内力图。,解：（1）作剪力图,（2）作弯矩图,CE段有均布荷载，利用叠加法作弯矩图D截面的弯矩值为：,由数学计算：CE段Mmax=36
4、.1kNm,公路桥使用的静定多跨梁,计算简图为,梁AB和CD直接由支杆固定于基础，是几何不变的基本部分短梁BC依靠基本部分的支撑才能承受荷载保持平衡附属部分,3-2 静定多跨梁,木檩条构造静定多跨梁,计算简图,支撑关系,静定多跨梁的组成次序：先固定基本部分，后固定附属部分静定多跨梁的计算原则：先计算附属部分，后计算基本部分,例3-2 试作图示静定多 跨梁的内力图。,基本部分与附属部分间的支撑关系,计算时拆成单跨梁,先计算附属部分FD，再计算梁DB，最后计算梁BA。,例3-3 图示两跨梁，全长承受均布荷载q。试求铰D的位置，使负弯矩的峰值与正弯矩的峰值相等。,解：计算AD及DC两部分，作弯矩图(
5、a)。,（a）,跨中正弯矩峰值为,支座B处负弯矩峰值为,二者相等：x=0.172l最后弯矩图如图(b)。,（b）,若该用两个跨度为l的简支梁，则弯矩图为,二者的弯矩峰值比为：0.086/0.125=68.8%,静定多跨梁与一系列简支梁相比：材料用量可少一些 构造要复杂一些,刚架的特点：结点全部或部 分是刚结点，结构内部有较 大的空间。,图(a)为简支梁的弯矩图，图(b)为刚架的弯矩图，在相同荷载作用下，刚架横梁跨中弯矩峰值减小。,3-3 静定平面刚架,2.刚架的支座反力,图示三铰刚架有四个未知反力,整体平衡方程求FyA 和FyB,利用右半边刚架作隔离体，则,图示刚架为多跨刚架刚架的组成次序为：
6、先固定右边，再固定左边计算反力的次序应为：先算左边，再算右边,考虑GE部分,再考虑整体平衡,刚架中各杆的杆端内力截面法,图(a)刚架取三个隔离体如图(b)、(c)、(d),对三个隔离体应用平衡条件得,校核：结点D的三个平衡条件,4.刚架的内力图各杆的内力图合在一起,（1）求支座反力如图(a),（2）作M图，求各杆端弯矩,（3）作FQ图，求各杆端剪力,（4）作FN图，求各杆端轴力,（5）校核：结点C,例3-4 另一种方法作图示刚架的FQ、FN图。,（1）先作M图，以杆件为隔离体 利用杆端弯矩求杆端剪力,以AC杆为隔离体求得,以CB杆为隔离体求得,（2）求杆端轴力，取结点为 C隔离体,例3-5 作
7、图示门式刚架的内力图。,解：（1）求支反力,（2）作M图，如图(a)。,（3）作FQ图，取隔离体如图(d)、(e)。,由隔离体平衡条件求杆端剪力，并作图(b)。,（4）作FN图，取隔离体如图(f)、(g),由结点平衡条件求杆端轴力，并作图(c)。,（5）校核：取结点C验算平衡条件,显然满足！,例3-6 试作图示两层刚架的M图。,解：组成次序-先固定下部，再固定上部（1）先求约束力和支反力，如图(a)。,（2）作M图,桁架的特点和组成 由杆件组成的格构体系，荷载作用在结点上，各杆内力主要为轴力。,钢筋混凝土组合屋架,武汉长江大桥采用的桁架形式,3-4 静定平面桁架,桁架内力计算时的假定（1）桁架
8、的结点都是光滑的铰结点（2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心（3）荷载和支座反力都作用在结点上,桁架的计算简图,桁架(a)中的任意杆件，只在两端受力，CD只受轴力作用,平面桁架的分类,（1）简单桁架 由基础（图(b)）或一个基本铰接三角形（图(a)）开始，每次 用不在一条直线上的两个链杆连接一个新结点而组成的桁架。,（2）联合桁架 由几个简单桁架联合组成几 何不变的的铰接体系。,（3）复杂桁架 不属于前两类的桁架,2 结点法、截面法及其联合应用,图(a)杆AB的杆长l及其水平投影lx 和竖向投影ly组成一个三角形。,图(b)杆AB的轴力FN及其水平分量Fx 和竖向分量Fy组成一个三角形,两个三
9、角形是相似的，因而,结点法：取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平 衡条件计算各杆的轴力。轴力为正表示拉力，轴力 为负表示压力。,例3-7 图示一施工托架的计算简图，在所示荷载作用下，试求各 杆的轴力。,解（1）求支反力，如图,（2）作结点A的隔离体图,（3）作结点C的隔离体图,（4）作结点D的隔离体图,（5）利用对称性 桁架和荷载都是对称的，桁架中的内 力也是对称的。各杆的轴力如图,（6）校核：取结点E,结点单杆的概念,（1）结点只包含两个不共线的未 知力杆，则每杆都是单杆。,（2）结点只包含三个未知力杆，其 中有两杆共线，则第三杆是单 杆。,结点单杆的性质,（1）结点单杆的内力可由该
10、结点的平衡条件直接求出。,（2）当结点无荷载作用时，结点单杆的内力必为零（称为零杆），如图,桁架除红色杆件内力不为零，其余各杆都是零杆。,（3）可以依靠拆除单杆的方法将整个桁架拆完，则此桁架即可 应用结点法将各杆内力求出。计算顺序按拆除单杆的顺序 进行。,图(a)单杆拆除次序如数字所示，各杆内力可用结点法求出。,截面法：用截面切断拟求内力的杆件，从桁架中截出一部分为 隔离体，利用平面力系的三个平衡方程，计算所切各 杆的未知轴力。,例3-8 试求图示桁架中1、2、3三杆的轴力。,解：先求支反力如左图，作截面m-m，切断1、2、3 杆，取右边为隔离体如图(a):,截面单杆的概念,（1）截面只截断三
11、个杆，且此三个杆不交于一点（或不彼此平行），则其 中每一个杆都是截面单杆。,（2）截面所截杆数大于三，但除一根杆外，其余各杆 都交于一点（或都彼此平 行，则此杆是截面单杆。,截面单杆的性质截面单杆的内力可从本截面相应的隔离体的平衡条件直接求出。,AF杆是截面单杆,三个桁架都是联合桁架：两个简单桁架用三个连接杆1、2、3装配而成。对图中所示的截面，连接杆1、2、3都是截面单杆，可以直接求出其轴力。,结点法和截面法的联合应用,图示桁架求1、2的轴力用截面m-m，取左边隔离体由 得到包括Fy1和Fy2两个未知量的方程。,由结点G的平衡，可以建立Fx1和Fx2的关系，从而就可建立Fy1和Fy2的关系，
12、联立求解。,例3-9 试求图示桁架中1、2、3三杆的轴力。,解：先求支反力如图取截面m-m以右部为隔离体求FN4。,作截面n-n，取左部为隔离体，求FN2。,取结点E为隔离体,图(a)为下撑式五角形屋架，上弦为钢筋混凝土制成，下弦和腹杆为型钢。,图(b)为图(a)的计算简图,3-5 组合结构,组合结构的计算步骤先求出各链杆的轴力再作梁式杆的内力图应尽可能避免截断梁式杆,注意：杆FA和杆FC不是链杆，所以FD不是零杆,由I-I左部隔离体求不出杆的轴力,例3-10 试作图示下撑式五角形屋架的内力图,解：（1）求链杆的轴力 作截面I-I取左部隔 离体，如图(b)。,由结点D和E，求得所有链杆的轴力如
13、图(b)。,（2）梁式杆的内力图 杆AFC的受力情况如图(c)。,将结点A处的竖向力合并后，受力图如图(d)。,任一截面的剪力和轴力可按公式计算，Fy为该截面所受竖向力的合力。,AFC杆的内力图为,内力分析（1）高跨比f/l值愈小，轴力FNDE愈大，屋架轴力愈大。（2）f1与f2的关系f确定后，内力状态随f1与f2的比例不同而改变。,f1=0，为下撑式平行弦组合结构，上弦全部为负弯矩。,f1加大时，上弦正弯矩增大，f1=（0.40.5)f时,最大正负弯矩的数值大致相等。,f2=0，为带拉杆的三铰拱式屋架，上弦全部为正弯矩。,拱的特点：在竖向荷载作用下有水平反力或称推力，如图(a)。,图(b)为
14、有拉杆的三铰拱，推力就是拉杆内的拉力。,3-6 三铰拱,1.三铰拱的支座反力和内力,（1）支座反力计算 图(a)所示三铰拱有四个支座反 力，拱的整体平衡求竖向反力。,图(b)为跨度和荷载都与三铰拱相同的简支梁,由MC=0，考虑铰C左边所有外力,显然,（2）内力计算：试求指定截面D的内力,图(c)为简支梁相应截面D左边的隔离体，图(d)为三铰拱截面D左边的隔离体，可得,由图(e)得D截面剪力和轴力为,（3）受力特点 竖向荷载作用下，梁没有水平反力，而拱则有推力。由于有推力，三铰拱截面上的弯矩比简支梁的弯矩小。竖向荷载作用下，梁截面没有轴力，而拱截面有较大的轴向压力。,例3-11 图示三铰拱的轴线
15、为抛物线：试求支座反力，并绘制内力图。,解（1）反力计算 由计算公式,（2）内力计算：将拱沿跨度方向八等分，算出每个截面的内力。以x=12m的截面D为例。,截面D的几何参数,截面D的内力由计算公式,拱的内力图为,同跨度同荷载简支梁的弯矩图,图(d)中虚曲线为FHy值，两条曲线的差值为三铰拱的弯矩值。简支梁的最大弯矩为24.5kNm三铰拱的最大弯矩为2kNm,2.三铰拱的压力线,已知三铰拱中某截面D左边(或右边)的合力FRD，即可确定该截面的内力,rD截面形心到合力作用线的距离D合力FRD与D点拱轴切线间的夹角确定截面内力归结为确定截面一边所有外力合力的问题。,截面合力图解作法,1）确定各截面合
16、力的大小和方向数解法确定支座A、B反力FRA和FRB。,按FRA、FP1、FP2、FP3、FRB顺序画出闭合力多边形如图(b)。四个射线FRA、12、23、FRB分别表示AK1、K1K2、K2K3、K3B四段中任一截面所受的合力大小和方向,2）确定各截面合力的作用线过A点作射线FRA的平行线AF即为合力FRA的作用线过F点作射线12的平行线FG即为合力12的作用线AFGHB组成索多边形三铰拱的压力线（压力多边形）,三铰拱的合理轴线：固定荷载作用下使拱处于无弯矩状态的 轴线（压力线与拱轴线重合）,竖向荷载作用下，三铰拱合理轴线的纵坐标与简支梁弯矩图的纵坐标成正比。,例3-12 试求图示三铰拱的合
17、理拱轴线。,解 合理拱轴线,图(b)简支梁的弯矩为,拱的推力为,例3-13 设三铰拱受均匀水压力作用，试证明其合理轴线是圆弧曲线,证：推导曲杆内力的微分关系，见左图。由微段平衡条件得：,设拱处于无弯矩状态,将(c)代入(b)得,拱的合理轴线为圆弧,例3-14 设在三铰拱的上面填土,填土表面为一水平面，试求在填土重量下三铰拱的合理轴线。设填土的重力密度为，拱受竖向分布荷载q。,解：将 对x微分两次,将q代入(a)得,(b)的解答为,隔离体的形式、约束力及独立平衡方程如图,铰结点为隔离体两个未知力两个独立平衡方程,杆AC为隔离体三个未知力三个独立平衡方程,铰结体系为隔离体四个未知力四个独立平衡方程
18、,3-7 隔离体方法及其截取顺序的优选,2.计算的简化和隔离体截取顺序的优选,图(a)结构和荷载都是左右对称的，反力与内力也是对称的，隔离体如图(b)。,图(a)是按照I，次序组成的，受力分析按照相反的次序截取单元，如图(b)所示。,虚功原理：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。,虚设位移求未知力：图(a)所示杠杆，在B点作用已知荷载FP，求杠杆平衡时在A点需加的未知力FX。,作虚位移如图(b)，虚功方程为,则,为方便计算，设X=1，如图(c)。,3-8 刚体体系的虚功原理,例3-15 图示机构在F点作用已知荷载FP
19、。试求机构平衡时在B 点需加的力FX。已知CA、CB、CD、CE、FD、FE各线 段的长度为a。,解（1）建立虚功方程,（2）建立位移之间的几何关系，由图,（3）求未知力FX，将几 何关系代入虚功方程,（4）结论：几何关系的推导是关键 计算中只出现主动力,图(a)为一静定梁，拟求支座A的反力FX。,2.应用虚功原理求静定结构的约束力单位支座位移法,撤除与FX相应的约束，把静定结构变成机构，如图(b)。可用虚功原理求支座未知反力。,结论：撤除与FX相应的约束，结构变成机构，约束力变成主动力 机构可能发生的刚体体系位移当作虚位移，写出虚功方程 确定几何关系，求FX几何方法求解静力平衡问题。,例3-
20、16 试求图示静定多跨梁在C点的支座反力FX。设荷载FP1 和 FP2 等于常数FP。,解（1）撤除支杆C，FX变成主 动力，体系变成机构，如图(b),（2）取图(c)虚线所示机构的刚 体体系位移作为虚位移，设x=1。,（3）由虚功方程求得,例3-17 试求简支梁截面C的弯矩MC。,解（1）撤除与MC相应的约束，MC 变成主动力，如图(b)。,（2）取虚位移如图(c)，可见,（3）令图(b)的主动力在图(c)的虚 位移上作功，虚功方程为,解得,例3-18 试求图示简支梁截面C的剪力FQC。,解（1）撤除与FQC相应的约束，FQC 变成主动力，如图(b)。,（2）取虚位移如图(c)。,（3）令图
21、(b)的主动力在图(c)虚位移 上作功。虚功方程为,解得,静定结构常见的五种形式可分为三组（1）梁和刚架由受弯直杆（梁式杆）组成。（2）桁架和组合结构桁架由只受轴力的链杆组成，组合结构由 梁式杆和链杆组成。（3）三铰拱拱是在竖向荷载作用下有水平支座反力的结构，主 要受压。,静定结构受力分析方法有两种（1）取隔离体、建立平衡方程的方法（2）虚设位移、建立虚功方程的方法,3-12 小结,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,
