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1、基于小波分析的飞行器音频特征提取摘要在现代战争中，随着电子干扰、反辐射导弹、隐身技术等技术的发展，作为空中预警系统主要部分的雷达越来越容易遭受攻击，而被动音频探测技术是雷达探测技术的有效补充，它利用接收到的战场目标运动时发出的音频信号作为研究对象，自己不发出信号，从而具有较强的隐蔽性。小波的数学理论和发在科学技术界引起一场轩然大波。在数学家眼中，它被认为是调和分析，即现代傅立分析这一重要科学半个世纪以来的工作之结晶；在其它科学技术领域，特别是在信号分析、图像分析、量子物理和非线性科学等部门，它被当作近年来在工具和方法上的重大突破。本文应用现代信号处理手段研究了目标音频信号的小波变换的特征信息提
2、取方法。基于二种战场目标的音频频谱特性采用基于小波理论的小波分解尺度细节信号时域能量的特征提取算法，利用这种算法获得了较低维的特征向量。关键词：声目标；小波分析；MATLAB；特征提取Target acoustic signal based on wavelet feature extractionAbstractIn modern warfare, with the electronic jamming, anti-radiation missiles, stealth technology and other technologies, as major part of the airbo
3、rne early warning radar system more vulnerable to attack, and passive audio detection technology is an effective supplement to radar technology, it the use of battlefield targets received audio signals when the movement as the object of study, they do not send a signal, which has a strong covert. Wa
4、velet mathematical theory and made in science and technology community caused a great disturbance. In the mathematicians eyes, it is considered to be harmonic analysis, that modern Fourier analysis of this important scientific work of the crystallization half-century; in other fields of science and
5、technology, especially in signal analysis, image analysis, quantum physics and non-linear science and other departments, it is treated as tools and methods in recent years in a major breakthrough. This paper studies the application of modern signal processing means of the target audio signal wavelet
6、 transform feature information extraction methods. Based on two kinds of battlefield targets based on characteristics of the audio spectrum of the wavelet decomposition scale wavelet theory the detail signal energy in time domain feature extraction algorithm, using this algorithm to obtain a lower-d
7、imensional feature vector.显示对应的拉丁字符的拼音字典Key words: acoustic target; wavelet analysis; MATLAB; feature extraction朗读显示对应的拉丁字符的拼音字典目录摘要IAbstractII目录III1 绪论11.1 研究的背景及意义11.2 小波分析的研究概况41.3 本文的主要研究内容62 小波分析原理72.1 从傅立叶变换到小波变换72.2 连续小波变换及其离散化93 小波分析的matlab实现143.1 多分辨分析与Mallat算法143.2 Daubechies(dbN)小波系173.3
8、基于MATLAB的小波分析实现原理174 飞行器音频信号的特征提取214.1 飞行器音频特性分析214.2 目标特征提取23结论29致谢30参考文献311 绪论1.1 研究的背景及意义声探测技术是利用声学与电子装置接收声波，以确定声源位置和类型的一种技术，它是一种重要的军事侦察手段。鉴于无线电在水下衰减速率很快，声探测技术被广泛地运用于水下目标的探测。经过两次世界大战，军事上的迫切需要使得水下声测技术得到空前发展，并形成了一门独立的学科水声学，水下目标识别技术获得了极大的发展。以后的几十年里，随着电子、计算机、信号处理和人工智能等技术的发展，水声学和水声信号处理技术也取得了重大的发展，现代声纳
9、在军事领域和海洋开发领域中发挥着越来越重要的作用。与此同时，飞行器被动音频探测技术也在不断的发展。飞行器被动音频探测产生于第一次世界大战。并在炮兵作战中立下过汗马功劳。随着雷达、红外、激光等侦察技术的兴起，声探测曾一度受到冷落。近年来，由于雷达面临着电子干扰、反辐射导弹、低空突防和隐身技术这四大威胁，越来越容易遭受攻击。因此，人们又开始重视被动式声探测系统，重新激起对声探测技术的兴趣。飞行器主要包括民航客机，战斗机，无人机，武装直升飞机，各种导弹等。声探测与识别的主要任务就是对空中飞行器目标进行位置、速度等参数的探测，并且对飞行器进行类型识别，敌我识别等。目前在军事方面，声探测技术主要应用在声
10、纳和雷达系统等对军事目标的定位和跟踪方面上，以及在反坦克武器和反武装直升机等智能雷弹系统上。声探测技术可以在主动方式下工作，也可以在被动方式下工作。国外的智能探测系统大多采用被动声探测技术或被动声与红外复合技术实现声目标的识别，定位与跟踪。被动声探测技术在军事上的应用，最早是在第一次世界大战，首先应用于声纳。声测定位系统利用声波原理并以被动方式工作时，具有以下特点:不受视线和能见度的限制，能探测到遮蔽物后面的目标声源；不受电子干扰，在恶劣的环境条件下也能全天候，无人值守的工作。在近年来，兴起将被动声探测技术应用于武器系统的智能化引信中，以实现对目标的跟踪定位与识别，主要用于研制智能反坦克地雷和
11、反武装直升机地雷的引信中。国外对引信中应用声探测技术的报道文献多是概要的，很少涉及到其中的技术细节，据此可以推测出这项技术目前在国外也是严格保密的。但从实践论证及国外己公开的资料中可以看出，在引信中应用声探测技术在理论上和实际应用上都已证明是可行的。另外，世界局部战争表明，武装直升机凭借其独特的优越性，在支援和配合部队作战方面，发挥了日益重要的作用。它具有机动性好和火力强的特点，能以贴地飞行方式越过山丘，并利用地形地物隐蔽近敌，可随时改变飞行高度和飞行方向，即能俯冲攻击又能悬停攻击，而且命中率很高，是对地作战理想的有效武器。以武装直升机为代表的低空飞行目标自问世以来发展异常迅猛。然而，现有防空
12、武器系统(如导弹、高炮等)在对付超低空飞行的高性能武装直升机攻击方面己显得无能为力，主要是由于预警、跟踪系统难以及时捕获以地形、地物为隐蔽的超低空飞行中的直升机。这时，声探测技术将起到关键性的作用。近年来，随着科学技术的不断发展，现代数字信号处理，人工神经网络，模糊技术，光纤技术，红外技术，微电子技术，计算机技术与人工智能，自适应信号处理技术，阵列技术及其他各种相关技术的出现，为声信号目标识别探测技术的进一步发展提供了有力的技术支持，并使其得到了进一步的应用。模式识别技术诞生于20世纪20年代，随着40年代计算机的出现，50年代人工智能的兴起，模式识别在60年代迅速发展成一门学科。它所研究的理
13、论和方法在许多科学和技术领域中得到了广泛的重视。模式识别系统，主要包括学习(训练)与识别(匹配)两个过程。其中每个过程都包括预处理、特征选择与提取两部分。通常，学习(训练)过程是在一定的模板(标准)样本基础上，依据某一分类规则来设计分类器。而识别(匹配)过程是将未知模式与已训练好的分类器进行匹配来识别未知模式的类别。在军事上，模式识别技术已经在雷达和声纳上得到了比较广泛的应用。近年来，随着语音（声音）识别技术的发展，语音（声音）识别技术也在军事领域上得到了广泛的应用。模式识别系统中，神经网络分类器是常用的一种分类器。人工神经网络(artificial neural networks)是人们在模
14、仿人脑处理问题的过程中发展起来的一种新型智能信息处理理论，它通过大量的称为神经元的简单处理单元构成非线性动力学系统，对人脑的形象思维、联想记忆等进行模拟和抽象，实现与人脑相似的学习、识别、记忆等的信息处理功能。神经网络具有很强的逼近非线性函数的能力，即非线性映射能力，具有并行运算，分布式信息存储，容错能力强以及具备自适应学习能力等一系列优点。声目标识别属于模式识别的范畴，主要分为数据获取、预处理、特征提取和分类决策四个部分，系统框图如图1.1所示。图1.1 飞行器音频目标识别系统框图武装直升飞机和某战斗机的声音信号都是典型的非平稳信号，因此利用小波分析提取信号的特征具有比较好的效果。小波变换的
15、思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出，最早应属于1910年Haar提出的规范正交基(这是一组非正则基)。1938年，Littlewood-Paley对傅立叶级数建立了L-P理论，即按二进制频率成分分组。1965年Galderon发现了再生公式，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到组成一个正交系的理论。1981年，Stormberg对Haar系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1982年Battle在构造量子场论中采用了类似Galderon再生公式的展开形式。小波概念的真正出现应算于1984年，法国地球物理学家Morlet在进行地震数据分析时提出的。随后他与法国物理学家Gross
16、mann共同进行研究，发展了连续小波变换的几何体系，这使我们能够将一个信号分解成空间和尺度(即时间和频率)的形式，同时又不失原有信号所包含的信息。小波分析中正交函数系构造方法正是基于这种思想进行的。 1986年Jaffard, Lemarie, Meyer与从事信号处理的Mallat合作，提出了多尺度分析的思想。另一个具有突破性的进展是1987年，Mallat巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此之前提出的各种具体小波的构造方法，给出了构造正交小波基的一般方法和与FFT相对应的快速小波变换算法,也就是Mallat算法，并将它应用于图像的
17、分解和重构中。1988年，Daubechies发表了长篇论文，证明了具有有限支集正交小波基的存在，并且计算出不同长度的离散小波基，引起了广大数学家、观察学家、物理学家甚至某些企业家的重视，由此将小波分析的理论发展于实际应用推向了一个高潮。小波基最大的特点是具有可变的时频乘积窗口，它采用了非均匀分布的分辨率；在信号低频段采用高的频率分辨率和低的时间分辨率，在信号高频段则采用低的频率分辨率和高的时间分辨率。这充分体现了自适应分辨率分析的思想。由于小波基具有可变的时频乘积窗口，它能很容易的对奇异信号进行分析。目前，国外已将它应用于地震分析和语音识别，可以进行地震预测和语音合成。由于小波基具有较小的时
18、频窗口乘积，通过信号的多分辨率分解，能将能量更加的集中。小波变换由于其高压缩比，加上能有效的解决方块效应和蚊式噪声，将取代离散余弦变换(DCT)变换，成为研究的主要方向。专家们预测，未来的视频技术将是小波技术的应用天地。1.2 小波分析的研究概况小波理论包括连续小波和二进小波变换，在映射到计算域的时候存在很多问题 ，因为两者都存在信息冗余，在对信号采样以后，需要计算的信息量还是相当的大，尤其是连续小波变换，因为要对精度内所有的尺度和位移都做计算，所以计算量相当的大。而二进小波变换虽然在离散的尺度上进行伸缩和平移，但是小波之间没有正交性，各个分量的信息搀杂在一起，为我们的分析带来了不便。真正使小
19、波在应用领域得到比较大发展的是Meyer在1986年提出的一组小波，其二进制伸缩和平移构成的标准化正交基。在此结果基础上，1988年S.Mallat在构造正交小波时提出了多分辨分析的概念，从函数分析的角度给出了正交小波的数学解释，在空间的概念上形象的说明了小波的多分辨率特性，给出了通用的构造正交小波的方法，并将之前所有的正交小波构造方法统一起来，并类似傅立叶分析中的快速傅立叶算法，给出了小波变换的快速算法Mallat算法。这样，在计算上变得可行以后，小波变换在各个领域才发挥它独特的优势，解决了各类问题，为人们提供了更多的关于时域分析的信息1。形象一点说，多分辨分析就是要构造一组函数空间，每组空
20、间的构成都有一个统一的形式，而所有空间的闭包则逼近。在每个空间中，所有的函数都构成该空间的标准化正交基，而所有函数空间的闭包中的函数则构成的标准化正交基，那么，如果对信号在这类空间上进行分解，就可以得到相互正交的时频特性。而且由于空间数目是无限可数的，可以很方便地分析我们所关心的信号的某些特性。下面我们简要介绍一下多分辨分析的数学理论。定义：空间中的多分辨分析是指满足如下性质的一个空间序列：（1）调一致性：，对任意（2）渐进完全性：，（3）伸缩完全性：（4）平移不变性：（5）Riesz基存在性：存在，使得构成的Risez基。关于Riesz的具体说明如下：若是的Risez基，则存在常数A，B，且
21、，使得： (1.1)对所有双无限可平方和序列，即 (1.2)成立。满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析，如果生成一个多分辨分析，那么称为一个尺度函数。可以用数学方法证明，若是的Riesz基，那么存在一种方法可以把转化为的标准化正交基。这样，我们只要能找到构成多分辨分析的尺度函数，就可以构造出一组正交小波。多分辨分析构造了一组函数空间，这组空间是相互嵌套的，即 (1.3)那么相邻的两个函数空间的差就定义了一个由小波函数构成的空间，即 (1.4)并且在数学上可以证明且，为了说明这些性质，我们首先来介绍一下双尺度差分方程，由于对，所以对，都有，也就是说可以展开成上的标准化正交基，由于，那么
22、就可以展开成 (1.5)这就是著名的双尺度差分方程，双尺度差分方程奠定了正交小波变换的理论基础，从数学上可证明，对于任何尺度的，它在j+1尺度正交基上的展开系数是一定的，这就为我们提供了一个很好的构造多分辨分析的方法。在频域中，双尺度差分方程的表现形式为： (1.6)如果在=0连续的话，则有 (1.7)说明的性质完全由决定。1.3 本文的主要研究内容 本文主要侧重于基于小波分析的飞行器音频特征提取。首先对直升机、某型号战斗机两类声目标的音频特性进行了分析，在此基础上，从能量角度考虑，对利用小波分析进行特征提取的算法进行了详细的研究。最后，根据特征提取算法，提取出了相应的特征向量。 2 小波分析
23、原理小波分析属于时频分析的一种，传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换、分数阶傅立叶变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是应传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳
24、信号在分析窗函数g（t）的一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，并移动分析窗函数，使在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数。因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。小波变换是一种信号的时间尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的
25、瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜，利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。2.1 从傅立叶变换到小波变换在信号处理中重要方法之是傅立叶变换，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。傅立叶变换的定义为：如果时间函数，在区间内只有有限个第一类间断点，即在内满足Dirichlet条件，如果还有，则的傅里叶变换为： (2.1)加窗傅立叶变换的定义为： (2.2)其中2.2中，g(x)为窗函数加窗傅里叶变换可以获得时间局部化的信息，它是时频定位的一种标准方法。在对离散信号分析中，人们对它可能更加熟悉。设,则(2.2)变为： (2.3)如果窗函数g和其相应的傅里叶变换均集中
26、在零点附近，那么加窗傅里叶变换将很好地显示出f在t和附近成分，因此加窗傅里叶变换可以在整个时频平面上描述信号。对很多信号来说，傅立叶分析非常有用。因为它能给出信号令包含的各种频率成分。但是、傅立叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态(或者瞬变)持性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的升始或结束。这些特性是信号的最重要部分。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但却不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任
27、何频域信息。而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。如柴油机缸盖表面的震动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，仅从时域或频域上来分析是不够的。这就促使去寻找一种新方法，能够将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。这就是所谓的时频分析法，也称为时频局部化方法2。
28、由于标准傅立叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在这种能力，Dennis Gabor于1946年引入了短时傅立叶变换。短时傅立叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为 (2.4)其中*表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数，f(t)是进入分析的信号。在这个变换中，起着频限的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，是f（t）“逐渐”进行分析。因此，g（t）往往被称之为窗口函数， 大致反映了f（t）在时刻时、频率为的“信号成分”的相对含量。这样信号在窗函数上的展
29、开就可以表示为在、这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，和分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然，希望和都非常小，以便有更好的时频分析效果，但还森堡测不准原理指出和是互相制约的，两者不可能同时都任意小（事实上，且仅当为高斯函数时，等号成立） 由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说短时傅立叶变换实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g(t)。
30、因此，短时傅立叶变换用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率（即要小），而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率（即要小）。而短时傅立叶变换不能兼顾两者。2.2 连续小波变换及其离散化小波变换提出了变化的时间窗，当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗。定义：设，其傅立叶变换为，当满足允许条件(完全重构条件或恒等分辨条件) (2.5)时，我们称为一个基本小波或母小波。将母函数经伸缩和平移后得 (2.6)称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。对于任意的函数的连续小波
31、变换为 (2.7)其重构公式（逆变换）为 (2.8)由于基小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件 (2.9)故是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式，在原点必须等于0，即 (2.10) 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，除了完全重构条件外，还要求小波的傅立叶变换满足下面的稳定性条件： (2.11)式中，。若小波满足上述的稳定性条件式，则定义一个对偶小波，其傅立叶变换由式2.10给出： (2.12)值得指出的是，一个小波的对偶小波一般不是唯一的，然而，在实际应用中，我们又总是希望它们是唯一对应的。因此，寻找具有唯一对偶小波的合适小
32、波也就成为小波分析中最基本的问题。连续小波变换具有很多重要性质。线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。平移不变性：若的小波变换为，则的小波变换为。伸缩共变性：若的小波变换为，则的小波变换为。自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在，一、由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。二、小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择（例如，它们可以是
33、非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至是允许彼此线性相关的）。小波变换在不同的之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之一。飞行器被动音频探测系统获得的音频信号，经过A/D转换，送入计算机时为离散信号。因此，不能采用连续小波变换进行处理。在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移函数b的，而不是针对时间变量t的。这一点与其他的离散化不同。在连续小波中，考虑函数： (2.13)这里，且，是容许的，为方
34、便起见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件就变为 (2.14)通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散化公式分别取作，这里，扩展步长是固定值，为方便起见，总是假定(由于m可取正也可取负，所以这个假定无关紧要)。所以对应的离散小波函数即可写作： (2.15)而离散化小波变换系数则可表示为： (2.16)其重构公式为： (2.17)C是一个与信号无关的常数。然而，怎样选择和，才能够保证重构信号的精度呢？显然，网格点应该尽可能密（即和尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数和离散小波系数就越少，信号重构的精确度也就会越低。上面是对尺度参数a和平移参数b进行离散化的要求。为
35、了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，我们很自然地需要改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样网络。最常用的是二进制的动态采样网格，即，每个网格点对应的尺度为，而平移为。由此得到的小波 (2.18)称为二进小波。二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数，它对应为观测到信号的某部分内容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数即减小j值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减少放大倍数，即加上j值。在这个意义上，小波变换被称为数学显微镜。设函数，如果存在两个常数A、B，且使得稳定性条件处处成立，即
36、 (2.19)则为一个二进小波。若，则称为最稳定条件。而函数序列叫做的二进小波变换，其中 (2.20)上式相应的逆变换为： (2.21)二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是它同正交小波基相比所具有的独特优点。3 小波分析的matlab实现3.1 多分辨分析与Mallat算法理论上讲，可以使用任何形式的小波函数对目标信号进行分解。为了计算方便并减少特征维数，对飞行器音频信号进行特征提取时，利用二进小波变换来提取尺度空间上的能量分布特征。其中二进小波分解的过程可以用Mallat快速
37、算法实现。Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进伸缩与平移构成的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1988年S. Mallat在构造正交小波基时提出了多分辨分析(Multiresolution Analysis)的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，将在此之前的所有正交小波基的构造方法以及正交小波变换的快速方法统一起来，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的地位。多分辨分析是建立在信号和系统的分辨率概念基础上的。我们认为每个信号和系统都有一个分辨率，而信号、系统的分辨率是和信号所含的频率
38、量和系统的带宽相关联的。我们由此来定义:带宽越宽，则分辨率越高；反之，则分辨率越低。关于多分辨分析的理解，我们以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图3.1所示。图3.1 音频信号三层多分辨分析树结构图从图3.1可以得出，多分辨分析只是对低频概貌部分进行进一步分解，而高频逼近部分则不予考虑。分解具有关系:S=A3+D3+D2+D1另外强调一点，这里只是以一个3层分解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分A3分解成低频部分A4和高频部分D4，以下再分解依此类推。从上往下分解，随着分解级数的增加，实际上时间分辨率越来越低。理解多分辨分析以及下一节的小波包分析，必须牢牢把握一点，即分解
39、的最终目的是力求构造一个在频率上高度接近空间的正交小波基(或正交小波包基)，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从上面的多分辨分析的树形结构图可以看出，多分辨分析只是对低频空间进行进一步的分解，使时间分辨率越来越低，频率的分辨率变得越来越高。Mallat算法是一种计算离散栅格上小波变换的快速算法。一种离散变换如不能发展出相应的快速算法加以支持，那么往往在实际应用中很难得到推广和发展。Fourier变换之所以在信号分析中发挥如此巨大的作用，就是得力于发展的快速Fourier(FFT)算法的实现。Mallat在Burt and Adeison的图像分解和重构塔式算法(pyra
40、midal algorithm)的启发下，基于它的上述多分辨率框架，提出了塔式多分辨分析与重构算法。而Mallat算法在小波分析中的地位就似FFT在经典Fourier分析中的地位。当信号的采样率满足Nyquist要求时，归一频带必将限制在之间。此时可分别用理想低通与理想高通滤波器与将它分解成(对正频率部分而言)频带在的低频部分和频带在的高频部分分别反映信号的概貌与细节。处理后两路输出必定正交(因为频带不交叠)，而且由于两种输出的带宽均减半，因此采样率可以减半而不致引起信息的丢失带通信号的采样率决定于其带宽，而不是决定于其频率上限。频带的剖分过程对每次分解后的低频部分可再重复进行下去，即:每一级
41、分解把该级输入信号分解成一个低频的粗略逼近(概貌)与一个高频的细节部分。而且每级输出采样率都可以再减半。这样就将原始进行了多分辨率分解。Mallat在Burt和Adelson图象分解和重构的塔式算法启发之下，基于他的多分辨率分析框架，提出了至今在小波分析领域内都很重要的算法Mallat算法。首先假定是一个给定的多分辨率分析，和分别是相应的尺度函数和小波函数。设所要研究的信号(为一确定的整数)。这一假定是合理的，因为物理仪器由于自身的限制，记录下的信号只能是有限分辨率下原始信号的近似。既然,则有按规范正交基的分解如下： (3.1)由于，故而还有另外的分解形式：其中： (3.2)对上面两式进行比较
42、可知： (3.3)此式一般还简记为： (3.4)其中： (3.5)这个过程可以递归进行。由于，故又有分解如下： (3.6)其中： (3.7)以此类推，最后得到： (3.8)其中： (3.9)而 (3.10)称为在分辨率下的连续逼近。为在分辨率下的连续细节。而称相应的数列和分别为在分辨率下的离散逼近和离散细节。可理解为函数在频率不超过的成分。是频率介于和之间的成分。3.2 Daubechies(dbN)小波系本文主要采用Daubechies小波函数对飞行器的被动音频信号进行小波分析。Daubechies函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies构造的小波函数，除了db1(即haar小波)外，其它小波没有明确的表达式，但转换函数h的平方模是很明确的。假设，其中，为二项式的系数，则有 (3.11)其中 (3.12)小波函数和尺度函数的有效支撑长度为，小波函数的消失矩阶数为。大多数不具有对称性；对于有些小波函数，不对称性是非常明显的。正则性随着序号N的增加而增加。同时，函数具有正交性。Daubechies小波函数提供了比Haar函数更有效的分析和综合。Daubechies系中的小波基记为dbN，N为序号，且N=1,2,10。3.3 基于MATLAB的小波分析实现原理MATLAB(Matrix Laboratory)是
