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1、小波变换及其在图像处理中的应用研究培养单位：理学院学科专业：电信科本科生：钟惠敏指导老师：吴薇 杨洪庭2006年6月目录摘要IABSTRACTII1绪论11.1概述11.2小波分析与多辨分析的历史11.3本课题研究的意义和目的32 小波分析的基本理论42.1 从傅立叶变换到小波变换42.1.1 傅里叶变换42.1.2 短时傅里叶变换52.1.3 小波变换52.2 连续小波变换52.2.1一维连续小波变换52.2.2 高维连续小波变换72.3 离散小波变换72.4 小波包分析82.4.1 小波包的定义92.4.2 小波包的性质102.4.3 小波包的空间分解102.4.4 小波包算法113 几种
2、常用的小波124 小波变换在图像处理中的应用144.1 小波分析用于图像压缩144.1.1 基于小波变换的图像局部压缩144.1.2 小波变换用于图像压缩的一般方法154.1.2.1 利用二维小波分析进行图像压缩154.1.2.2 二维信号压缩中的阈值的确定与作用命令164.1.3 基于小波包变换的图像压缩174.2 小波分析用于图像去噪194.3 小波分析用于图像增强204.3.1 图像增强问题描述204.3.2 图像钝化214.3.3 图像锐化224.4 小波分析用于图像融合234.5 小波分析用于图像分解235 全文总结25致 谢26参考文献27附录28摘要小波分析在图像处理中有非常重要
3、的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。除了连续小波(CWT)、离散小波(DWT)，还有小波包(Wavelet Packet)和多维小波。二维小波分析用于图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。小波分析用于图像压缩具有明显的优点。基于小波分析的图像压缩方法很多，比较成功的有小波包、小波变换零树压缩、小波变换矢量量化压缩等。小波变换用的不是时间-频率域，而是时间-尺度域。因此，寻找具有唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本的问题。小波分析之所以在信号处理中有着强大的功能，是基于其分离信息的思想，分离到各个小波域的信息除了与其
4、他小波域的关联，使得处理的时候更为灵活。关键词： 小波分析 图像压缩 图像去噪 图像增强 AbstractWavelet analyze is very important in digital image processing, including the image compression, the image goes chirp , image fusion, image dissection, image enhancement etc. Wavelet analyze is development and the analytic continuation of the Fouri
5、er . Besides Continuously Wavelet (CWT ) , dispersed wavelet (DWT ) , Wavelet Packet and wavelet of multidimension. Two-dimentional wavelet analyze , used in image compression is a important aspect of wavelet analysis application. Wavelet analyze is very useful in picture compression. There are many
6、 methods based on the wavelet analysis image compression , wavelet packet, the wavelet compression and so on. The reason that the wavelet analysis has the formidable function in the signal processing is its thought of separation information.Keywords： Wavelet analyze Image compression Image fusion Im
7、age enhancementTwo-dimentional Wavelet1绪论1.1概述小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法。其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET的流量控制等。从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确
8、定位故障信号。这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起来的。在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能
9、依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分(信号较平稳)可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下(频率变化不大)可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。 全文介绍了小波变换的
10、基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，它们的主要性质包括紧支集长度、滤波器长度、对称性、消失矩等，都做了简要的说明。在不同的应用场合，各个小波函数各有利弊。小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。1.2小波分析与多辨分析的历史小波理论包括连续小波和二进小波变换，在映射到计算域的时候存在很多问题 ，因为两者都存在信息冗余，在对信号采样以后，需要计算的信息量还是相当的大，尤其是连续小波变换，因为要对精度内所有的尺度和位移都做计算，所以计算量相当的大。而二进小波变换虽然在离散的
11、尺度上进行伸缩和平移，但是小波之间没有正交性，各个分量的信息搀杂在一起，为我们的分析带来了不便。真正使小波在应用领域得到比较大发展的是Meyer在1986年提出的一组小波，其二进制伸缩和平移构成的标准化正交基。在此结果基础上，1988年S.Mallat在构造正交小波时提出了多分辨分析的概念，从函数分析的角度给出了正交小波的数学解释，在空间的概念上形象的说明了小波的多分辨率特性，给出了通用的构造正交小波的方法，并将之前所有的正交小波构造方法统一起来，并类似傅立叶分析中的快速傅立叶算法，给出了小波变换的快速算法Mallat算法。这样，在计算上变得可行以后，小波变换在各个领域才发挥它独特的优势，解决
12、了各类问题，为人们提供了更多的关于时域分析的信息。形象一点说，多分辨分析就是要构造一组函数空间，每组空间的构成都有一个统一的形式，而所有空间的闭包则逼近。在每个空间中，所有的函数都构成该空间的标准化正交基，而所有函数空间的闭包中的函数则构成的标准化正交基，那么，如果对信号在这类空间上进行分解，就可以得到相互正交的时频特性。而且由于空间数目是无限可数的，可以很方便地分析我们所关心的信号的某些特性。下面我们简要介绍一下多分辨分析的数学理论。定义：空间中的多分辨分析是指满足如下性质的一个空间序列：(1)调一致性：，对任意(2)渐进完全性：，(3)伸缩完全性：(4)平移不变性：(5)Riesz基存在性
13、：存在，使得构成的Risez基。关于Riesz的具体说明如下：若是的Risez基，则存在常数A，B，且，使得： (1.1)对所有双无限可平方和序列，即 (1.2)成立。满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析，如果生成一个多分辨分析，那么称为一个尺度函数。可以用数学方法证明，若是的Riesz基，那么存在一种方法可以把转化为的标准化正交基。这样，我们只要能找到构成多分辨分析的尺度函数，就可以构造出一组正交小波。多分辨分析构造了一组函数空间，这组空间是相互嵌套的，即那么相邻的两个函数空间的差就定义了一个由小波函数构成的空间，即并且在数学上可以证明且，为了说明这些性质，我们首先来介绍一下双尺度
14、差分方程，由于对，所以对，都有，也就是说可以展开成上的标准化正交基，由于，那么就可以展开成 (1.3)这就是著名的双尺度差分方程，双尺度差分方程奠定了正交小波变换的理论基础，从数学上可证明，对于任何尺度的，它在j+1尺度正交基上的展开系数是一定的，这就为我们提供了一个很好的构造多分辨分析的方法。在频域中，双尺度差分方程的表现形式为： (1.4)如果在=0连续的话，则有 (1.5)说明的性质完全由决定。1.3本课题研究的意义和目的小波分析克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情
15、况下，在低频部分(信号较平稳)可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下(频率变化不大)可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中的一个重要领域，图像和信号处理又是电子信息技术领域的重要方面。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要组成部分。现在，对性质随时间稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但在实际应用中，绝大多数信
16、号是非稳定的，小波分析正是适用于非稳定信号的处理工具。图像处理是针对性很强的技术，根据不同应用、不同要求需要采用不同的处理方法。采用的方法是综合各学科较先进的成果而成的，如数学、物理学、心理学、信号分析学、计算机学、和系统工程等。计算机图像处理主要采用两大类方法：一类是空域中的处理，即在图像空间中对图像进行各种处理；另一类是把空间与图像经过变换，如傅立叶变换，变到频率域，在频率域中进行各种处理，然后在变回到图像的空间域，形成处理后的图像。图像处理是“信息处理”的一个方面，这一观点现在已经为人所熟知。它可以进一步细分为多个研究方向：图片处理、图像处理、模式识别、景物分析、图像理解、光学处理等等。
17、小波分析用在图像处理方面，主要是用来进行图像压缩、图像去噪、图像增强(包括图像钝化和图像锐化)、图像融合、图像分解。2 小波分析的基本理论2.1 从傅立叶变换到小波变换小波分析属于时频分析的一种，传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换、分数阶傅立叶变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调
18、幅-调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是应传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，使在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数。因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。小波变换是一种信号的时间尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不边但其形状可改变，时间窗和频
19、率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜，利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。2.1.1 傅里叶变换在信号处理中重要方法之一是傅立叶变换，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。对很多信号来说，傅立叶分析非常有用。因为它能给出信号里包含的各种频率成分。但是,傅立叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态(或者瞬变)特性，如漂移、趋势项
20、、突然变化以及信号的开始或结束。这些特性是信号的最重要部分。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但却不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息。而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重
21、要。如柴油机缸盖表面的震动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，仅从时域或频域上来分析是不够的。这就促使去寻找一种新方法，能够将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。这就是所谓的时频分析法，也称为时频局部化方法。2.1.2 短时傅里叶变换由于标准傅立叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在这种能力，Dennis Gabor于1946年引入了短时傅立叶变换。短时傅立叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为 (2.1)其中*表示复共轭， f(t)是进入分析的信号。在这个变换中，
22、起着频限的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，是f(t)“逐渐”进行分析。因此，g(t)往往被称之为窗口函数， 大致反映了f(t)在时刻时、频率为的“信号成分”的相对含量。这样信号在窗函数上的展开就可以表示为在、这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，和分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然，希望和都非常小，以便有更好的时频分析效果，但和是互相制约的，两者不可能同时都任意小(事实上，且仅当为高斯函数时，等号成立) 。 由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶不具有局部分析能力的缺陷，但
23、它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说短时傅立叶变换实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g(t)。因此，短时傅立叶变换用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率(即要小)，而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率(即要小)。而短时傅立叶变换不能兼顾两者。2.1.3 小波变换小波变换提出了变化的时间窗，当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗。小波变换用
24、的不是时间-频率域，而是时间-尺度域。尺度越大，采用越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。2.2 连续小波变换2.2.1一维连续小波变换定义：设，其傅立叶变换为，当满足允许条件(完全重构条件或恒等分辨条件) (2.2)时，我们称为一个基本小波或母小波。将母函数经伸缩和平移后得 (2.3)称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。对于任意的函数的连续小波变换为 (2.4)其重构公式(逆变换)为 (2.5)由于基小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件 (2.6)故是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式，
25、在原点必须等于0，即 (2.7)为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波的傅立叶变化满足下面的稳定性条件： (2.8)式中0AB从稳定性条件(2.8)可以引出一个重要的概念。定义(对偶小波) 若小波满足稳定性条件(2.8)式，则定义一个对偶小波，其傅立叶变换由下式给出： (2.9)注意，稳定性条件(2.8)式实际上是对(2.9)式分母的约束条件，它的作用是保证对偶小波的傅立叶变换存在的稳定性。值得指出的是，一个小波的对偶小波一般不是唯一的，然而，在实际应用中，我们又总是希望它们是唯一对应的。因此，寻找具有唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本的问题。连续小波
26、变换具有以下重要性质：(1)线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。(2)平移不变性：若f(t)的小波变换为，则的小波变换为。(3)伸缩共变性：若f(t)的小波变换为，则f(ct)的小波变换为。(4)自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。(5)冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：(1)由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号f(t)的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。(2)小波变换的核函数即小波函
27、数存在许多可能的选择(例如，它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。小波变换在不同的(a，b)之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之一。2.2.2 高维连续小波变换对，公式 (2.10)存在几种扩展的可能性，一种可能性是选择小波使其为球对称，其傅立叶变换也同样球对称， (2.11)并且其相容性条件变为 (2.12)对所有的。 (2.13)这里，=，其中且，公式(2.6)也可以写为 (2.14)如果选择的小波不是球对称的，但可以用旋转进行同样的扩展与平移。例如，在二维时，可定义 (2.15)这
28、里，相容条件变为 (2.16)该等式对应的重构公式为 (2.17)对于高于二维的情况，可以给出类似的结论。2.3 离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。在连续小波中，考虑函数：这里，且，为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件就变为 (2.18)通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散公式分别取作，这里，扩展步长是固定值，为方便起见，总是假定(由于m可取
29、正也可取负，所以这个假定无关紧要)。所以对应的离散小波函数即可写作 (2.19)而离散化小波变换系数则可表示为 (2.20)其重构公式为 (2.21)C是一个与信号无关的常数。然而，怎样选择和，才能够保证重构信号的精度呢？显然，网格点应尽可能密(即和尽可能小)，因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数和离散小波系数就越少，信号重构的精确度也就会越低。实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算CWTa,b值，加之实际的观测信号都是离散的，所以信号处理中都是用离散小波变换(DWT)。大多数情况下是将尺度因子和位移参数按2的幂次进行离散。最有效的计算方法是sMallat于1988年发展的快小波算法
30、(又称塔式算法)。对任一信号，离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部分（称为近似部分）和离散部分(称为细节部分)。近似部分代表了信号的主要特征。第二步对低频部分再进行相似运算。不过这时尺度因子已经改变。依次进行到所需要的尺度。除了连续小波(CWT)、离散小波(DWT)，还有小波包(Wavelet Packet)和多维小波。2.4 小波包分析 短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分(具有等Q结构)。小波包分析能够为信号提供一
31、种更精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。关于小波包分析的理解，这里以一个三层的分解进行说明，其小波包分解树如图2.1。SD1A1DD2AD2DA2AA2DDA3AAD3ADD3DDD3ADA3DDA3AAA3ADA3图2.1 小波包分解树图2.1中，A表示低频，D表示高频，末尾的序号数表示小波分解的层树(也即尺度数)。分解具有关系：S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。2.4
32、.1 小波包的定义在多分辨分析中， ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子j把Hilbert空间分解为所有子空间的正交和的。其中， 为小波函数的闭包(小波子空间)。现在，对小波子空间按照二进制分式进行频率的细分，以达到提高频率分辨率的目的。 一种自然的做法是将尺度空间和小波子空间用一个新的子空间统一起来表征，若令 则Hilbert空间的正交分解即可用的分解统一为 (2.22)定义子空间是函数是函数的闭包空间，而是函数的闭包空间，并令满足下面的双尺度方程： (2.23)式中，即两系数也具有正交关系。当n=0时，以上两式直接给出 (2.24)与在多分辨分析中，满足双尺度方程： (2.25)相比较，和
33、分别退化为尺度函数和小波基函数。式(2.24)是式(2.22)的等价表示。把这种等价表示推广到(非负整数)的情况，即得到(2.23)的等价表示为 ； (2.26)定义(小波包) 由式(2.23)构造的序列(其中)称为由基函数=确定的正交小波包。当n=0时，即为(2.24)式的情况。由于由唯一确定，所以又称为关于序列的正交小波包。2.4.2 小波包的性质定理1 设非负整数n的二进制表示为 ,=0或1。则小波包的傅立叶变换由下式给出： (2.27)式中定理2 设是正交尺度函数的正交小波包，则，即构成的规范正交基。2.4.3 小波包的空间分解令是关于的小波包族，考虑用下列方式生成子空间族。现在令n=
34、1，2，；j=1，2，并对(2.22)式作迭代分解，则有因此，我们很容易得到小波子空间的各种分解如下：空间分解的子空间序列可写作，m=0，1，-1；l=1，2，。子空间序列的标准正交基为。容易看出，当l=0和m=0时，子空间序列简化为=，相应的正交基简化为，它恰好是标准正交小波族。 若n是一个倍频程细划的参数，即令n=+m，则我们有小波包的简略记号，其中，。我们把称为既有尺度指标j、位置指标k和频率指标n的小波包。将它与前面的小波作一比较知，小波只有离散尺度j和离散平移k两个参数，而小波包除了这两个离散参数外，还增加了一个频率参数n=+m。正是这个频率新参数的作用，使得小波包克服了小波时间分辨
35、率高时频率分辨率低的缺陷，于是，参数n表示函数的零交叉数目，也就是其波形的震荡次数。定义(小波库) 由生成的函数族(其中；j，)称为由尺度函数构造的小波库。推论1.1 对于每个j=0，1，2，= (2.28)这时，族|j=，-1，0；n=2，3，且 (2.29)是的一个正交基。随着尺度j的增大，相应正交小波基函数的空间分辨率越高，而其频率分辨率越低，这正是正交小波基的一大缺陷。而小波包却具有将随j增大而变宽的频谱窗口进一步分割变细的优良性质，从而克服了正交小波变换的不足。小波包可以对进一步分解，从而提高频率分辨率，是一种比多分辨分析更加精细的分解方法，具有更好的时频特性。2.4.4 小波包算法
36、下面给出小波包的分解算法和重构算法。设，则可表示为 (2.30)小波包分解算法：由求与 (2.31)小波包重构算法：由与求3 几种常用的小波同傅立叶分析不同，小波分析的基（小波函数）不是唯一存在的，所有满足小波条件的函数都可以作为小波函数，那么小波函数的选取就成了十分重要的问题。1)Haar小波A.Haar于1990年提出一种正交函数系,定义如下： (3.1)这是一种最简单的正交小波，即 (3.2)2)Daubechies(dbN)小波系该小波是Daubechies从两尺度方程系数出发设计出来的离散正交小波。一般简写为dbN，N是小波的阶数。小波和尺度函数吁中的支撑区为2N-1。的消失矩为N。
37、除N1外(Haar小波)，dbN不具对称性即非线性相位；dbN没有显式表达式(除N1外)。但的传递函数的模的平方有显式表达式。假设，其中，为二项式的系数，则有 (3.3)其中 3)Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biorthogonal函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。Biorthogonal函数系通常表示为biorNr.Nd的形式：Nr=1 Nd=1，3，5Nr=2 Nd=2，4，6，8Nr=3 Nd=1，3，5，7，9Nr=4 Nd=4Nr=5 Nd=5Nr=6 Nd=8其
38、中，r表示重构，d表示分解。4)Coiflet(coifN)小波系coiflet函数也是由Daubechies构造的一个小波函数，它具有coifN(N=1，2，3，4，5)这一系列，coiflet具有比dbN更好的对称性。从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N及sym3N相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN具有和db2N及sym2N相同的消失矩数目。5)SymletsA(symN)小波系Symlets函数系是由Daubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlets函数系通常表示为symN(N=2，3，8)的形式。6)Morlet(morl)小波M
39、orlet函数定义为，它的尺度函数不存在，且不具有正交性。7)Mexican Hat(mexh)小波Mexican Hat函数为 (3.4)它是Gauss函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足 (3.5)由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。8)Meyer函数Meyer小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。 (3.6)其中，为构造Meyer小波的辅助函数，且有 (3.7)4 小波变换在图像处理中的应用4.1 小波分析用于图像压缩4.1.1 基于小波变换的图像局部压缩基于离
40、散余弦变换的图像压缩算法，其基本思想是在频域对信号进行分解，去除信号点之间的相关性，并找出重要系数，滤掉次要系数，以达到压缩的效果，但该方法在处理过程中并不能提供时域的信息，在我们比较关心时域特性的时候显得无能为力。但是这种应用的需求是很广泛的，比如遥感测控图像，要求在整幅图像有很高压缩比的同时，对热点部分的图像要有较高的分辨率，例如医疗图像，需要对某个局部的细节部分有很高的分辨率，单纯的频域分析的方法显然不能达到这个要求，虽然可以通过对图像进行分块分解，然后对每块作用不同的阈值或掩码来达到这个要求，但分块大小相对固定，有失灵活。在这个方面，小波分析的就优越的多，由于小波分析固有的时频特性，我
41、们可以在时频两个方向对系数进行处理，这样就可以对我们感兴趣的部分提供不同的压缩精度。下面这个局部压缩的例子利用了小波变化的时频局部化特性，通过这个例子可以看出小波变换在应用这类问题上的优越性。具体程序见附录 。运行结果如图4.1。图4.1 利用小波变换的局部压缩图像从图4.1可以看出，小波域的系数表示的是原图像各频率段的细节信息，并且给我们提供了一种位移相关的信息表述方式，我们可以通过对局部细节系数处理来达到局部压缩的效果。在本例中，把图像中部的细节系数都置零，从压缩图像中可以很明显地看出只有中间部分变得模糊(比如在原图中很清晰的围巾的条纹不能分辨)，而其他部分的细节信息仍然可以分辨的很清楚。
42、本例只是为了演示小波分析应用在图像局部压缩的方法，在实际的应用中，可能不会只做一层变换，而且作用阈值的方式可能也不会是将局部细节系数全部清除，更一般的情况是在N层变换中通过选择零系数比例或能量保留成分作用不同的阈值，实现分片的局部压缩。而且，作用的阈值可以是方向相关的，即在三个不同方向的细节系数上作用不同的阈值。4.1.2 小波变换用于图像压缩的一般方法二维小波分析用于图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持图像的特征基本不变，且在传递过程中可以抗干扰。小波分析用于图像压缩具有明显的优点。4.1.2.1 利用二维小波分析进行图像压缩基于小波分析的图像压
43、缩方法很多，比较成功的有小波包、小波变换零树压缩、小波变换矢量量化压缩等。下面是一个图像信号(即一个二维信号，文件名为wbarb.mat)，利用二维小波分析对图像进行压缩。一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率(即高频)子图像上大部分点的数值都接近于0，越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。图像压缩可按附录 中的程序进行处理。图像对比如图4.2所示。可以看出，第一次压缩提取的是原始图像中小波分解第一层的低频信息，此时压缩效果较好，压缩比较小(约为1/3)；第二次压缩是提取第一层分解低频部分的低频部分(即小波分解第二层的低频部分)，其压缩比较大(约为1/12)，压缩效果在视觉上也基本过的去。这是一种最简单的压缩方法，只保留原始图像中低频信息，不经过其他处理即可获得较好的压缩效果。在上面的例子中，我们还可以只提取小波分解第3、4、层的低频信息。从理论上说，可以获得任意压缩比的压缩图像。原始图像 分解后低频和高频信息 第一次压缩图像 第二次压缩图像 图4.2 利用二维小波分析进行图像压缩下面再给出用wdenemp函数对一个图像(文件名tire.mat)进行压缩的程序。具体程序清单见附录 。图像对比如图4.3所
