探讨导数在函数单调性中的应用毕业论文.doc

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1、 本科生毕业论文探讨导数在函数单调性中的应用院 系：数学与计算机科学学院 专 业：数学与应用数学 班 级：2009级数学与应用数学(1)班 学 号：200907110129 姓 名： 指导教师： 完成时间：2013年5月20日 探讨导数在函数单调性中的应用摘要函数是贯穿于中学数学的一条主线，它不仅是研究导数的一个重要载体，而且涉及高中数学诸多的数学思想和方法，又是初等数学与高等数学的衔接部分其中函数的单调性是函数的重要性质之一，也是研究函数图象增、减性态的主要方法应用导数求解函数的单调性具有很多优势，它在函数单调性中的应用极好的解决了用函数单调性的定义判断、证明函数的单调性运算量大，过程繁琐，

2、求解中需要很多变形技巧等缺点本论文通过四章内容的书写，应用了数形结合、导数法，定义法等数学思想方法，通过归纳、整理清晰地呈现了导数求解函数单调性的优势本篇论文主要涉及四章内容，第一章介绍了函数及其单调性的相关定义及概念，第二章介绍了导数的基础知识，第三章主要介绍了导数在函数单调性以及极值中的应用，主要以例题的形式进行归纳整理，第四章简单介绍了应用导数求解函数单调性需要注意的几个方面，其中论文核心内容为第三章导数在函数单调性以及极值中的应用关键词函数导数函数单调性证明 Abstract Function is a thread that runs through the middle schoo

3、l mathematics, it is not only an important carrier of derivative, and it is relates many thought to the high school mathematics method of mathematics, it is the connection part of elementary mathematics and higher mathematicsThe monotonicity of the function is one of the important properties of func

4、tions, the main method of image enhancement, but also a function reduction behaviorMonotonicity derivation function has many advantages, It is excellent in function in the solution of the judgment, with the monotonicity of the function to prove monotonicity computation function, complicated process

5、many defects such as deformation, solving skills needsThis thesis by four chapters written application, the combination of number and shape, derivative method, the definition method of mathematical thought and method, through induction, collation clearly presented derivation function advantageThis t

6、hesis mainly consists of four chapters, the first chapter introduces the function and its monotonicity, the second chapter is the basic knowledge of derivative, the third chapter is the application of derivative in the function of the main contents of the third chapter, application of derivative fun

7、ction monotonicity Keywords function derivative of function monotonicity proof目录 1 引言12 函数及其单调性22.1 函数的定义22.2函数的性质22.2.1函数的单调性22.2.2函数的极值33 导数的基础知识63.1 导数的定义63.1.1函数的平均变化率63.1.2 导数的定义63.2导函数83.3导数的几何意义83.4 几种常见函数的导数104 导数在函数单调性以及极值中的应用134.1 导数与函数单调性的关系134.1.1 探讨函数的单调性与其导数正负的关系134.1.2 运用导数判断，求证函数的单调性

8、及单调区间144.2 导数与函数极值的关系244.2.1极值判别244.3 应用导数求函数单调性常见的错误及分析264.3.1求函数单调区间忽视定义域而致错264.3.2导数为零的点不一定是极值点265 结 论27谢 辞29参考文献301 引言函数是贯穿于中学数学的一条主线1，它不仅是研究导数的一个重要载体，而且涉及高中数学诸多的数学思想和方法，又是初等数学与高等数学的衔接部分为了描写现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数随着对函数研究的不断深化，产生了微积分，而导数是微积分的核心概念之一恩格斯说过：在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作是人类精神的最高

9、胜利了，如果在某一个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一功绩，那就是这里导数是课改以后新教材中的新增内容之一，在高中教材中起着承上启下的作用：承上是它的加入为高中数学注入了新的活力，使中学数学解题方法有了新的突破，它的应用潜移默化的改善了学习者的思维习惯；启下是它的加入完善了高中阶段教学内容，使高中学生具有一般人才必备的基础知识，为接下来进一步学习高等数学和其他自然科学作了必要的铺垫，同时在中学数学与大学数学之间起着衔接作用本篇论文从高中知识入手，从易到难，在题目中突出导数的作用，应用导数解题探究，突出导数在新课程以及在求函数单调性中具有的一切优势和作用导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出

10、和定义始终贯穿着函数思想新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作了初步探究本论文主要探究了导数在函数的单调性及极值中的应用，由于利用函数单调性的定义判断、证明函数的单调性往往运算量很大，求解过程中需要很多变形技巧，一般较为复杂，对于初学者而言利用函数单调性的定义判断、

11、证明函数的单调性题目时往往半途而废，失分率较高，这对于大部分初学者来说很难攻克2，但是导数在函数单调性中的应用却极好的解决了上面的问题，在求解题目时，它具有运算量小，简便快捷的优势3，因此导数成了分析和解决这类问题的有效工具，并且人们将它广泛应用于函数单调性的判断、证明以及曲线切线的求解、函数的极值和最值等多个方面2 函数及其单调性2.1 函数的定义定义1设,均是非空的数集，若按照某种确定的对应关系，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，这样的对应关系:为集合到集合的一个函数，记作 ,其中的取值范围称为函数的定义域，是函数值，函数值的集合称为函数的值域由此可知函数是特殊的

12、映射2.2函数的性质函数的性质有单调性、奇偶性、周期性、有界性、凹凸性、极大值和极小值等，本篇论文主要讨论函数的单调性以及函数的极值2.2.1函数的单调性定义2一般地，设函数的定义域为，若对于定义域内某一区间上任意两个自变量和，当时，恒有()()，那么就说在此区间上是增函数定义3一般地，设函数的定义域为，若对于定义域内某一区间上任意两个自变量和，当时，恒有()()，那么就说在此区间上是减函数定义4若在某个区间上是增（减）函数，那么就说函数在这个区间具有单调性，这个区间叫做函数的单调区间下面通过简单的几个例题简单的求函数的单调区间：例 1 求下列函数的单调区间.(1)； (2)解(1)函数的单调

13、递增区间为：函数的单调递减区间为：(2)函数的单调递增区间为： 函数的单调递减区间为：这是函数的单调性定义的简单应用，后面将应用于大量的例题中2.2.2函数的极值定义5函数在点附近的所有点都有,则称是函 数的一个极大值，记作：;定义6函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有 ,则称是函数的一个极小值，记作：;极大值与极小值统称为极值，称为极值点例2 已知函数是函数的一个极值点，其中(1)求与的关系表达式；(2)求的单调区间；(3)当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围解析 利用导数判断函数的单调性其主要题型以函数单调区间的求解、单调性的证明，求参变量的取值范围为主而熟练掌

14、握导数与函数单调性的关系是解题的突破口这类题目的解决，关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，第1小题根据极值点处导数为零，可确定与的关系；第2小题求函数的单调区间可根据导数法得到，列出表格，答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论解(1) 由是的一个极值点知即所以 (2)由(1)可知又由知当变化时，与的变化如下：100递减极小值递增极大值递减由上表可知：在区间和上递减；在区间在区间上递增.(3)由已知条件得 即 即当 时有 设 此函数开口向上,由题意知式恒成立所以 即 解得 又 所以 即的取值范围为.通过例题可以看出对于这部分知识的学习，可以认识到新课程中增加

15、了导数内容的作用，在学习中要明确导数作为一种工具在解答函数的单调性，极值等方面起着不可替代的作用，需要抓住导数基础知识学习3 导数的基础知识3.1 导数的定义3.1.1函数的平均变化率定义7对于函数有自变量，若自变量在处的增量为，那么函数值也相应的有增量()-()其比值叫做函数从到+之间的平均变化率，即 若则平均变化率可表示为: 称为函数从3.1.2 导数的定义 定义8如果函数处函数值的增量与自变量的增量的比值，当有极限，就说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作,即由定义可知处连续是可导的必要条件且由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：(1)求函数的改变量(2)

16、求平均变化率(3)取极限，得导数例3用定义分别求函数在处的导数解析解有关这类题目时必须熟记导数的定义和解题的一般方法，按三步走的步骤就能得到准确结果解 (1) 因为所以 所以 因此 (2) 因为,所以 所以因此3.2导函数定义9如果函数开区间内的每一点都可导，就说开区间内可导这时，对于开区间内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间内构成一个新的函数，我们把这一个新函数叫做开区间内的导函数，记作：或（需指明自变量时记作：）即 =3.3导数的几何意义定义10若函数处可导，则它在该点的导数等于曲线点处切线的斜率若处可导，则曲线处的切线方程为： 导数的几何意义主要用于求解函数的切线问题

17、，求解过程中主要注意事项是熟记导数的几何意义，以达到准确下面我们在例题中看看导数的几何意义的具体用法：例4 已知曲线(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程解析 解这类题目必须审清题意，注意“在某一点”和“过某一点”的区别，避免没有审清题意而犯错误解 (1) 因为点在曲线上所以 所以在点处的切线的斜率所以曲线在点处的切线方程为即 (2) 设曲线与过点的切线相切与点则切线的斜率 所以切线方程为 即 因为点在切线上所以 即 所以 所以 所以 解得 故所求的切线方程为 或(3) 设切点为，则切线斜率所以切点为，所以切线方程为 和即 和介绍了导数的定义

18、和几何意义后，下面我们利用导数的定义证明本论文中常用的几个函数的导数其他函数的导数只给出来不作详细的证明3.4 几种常见函数的导数1若(为常数)，则证明 因为 0所以 故表示函数图像上每一点处的切线的斜率都是02若，则在这里只对的情况进行证明(1)求函数的导数（证明） 证明 因为 所以 (2) 求函数的导数（证明）证明因为 1所以 (3) 求函数的导数（证明）证明因为 所以 表示函数图像上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化另一方面，从导数作为函数在一点的瞬间变化率来看，表明：当0时，随着的增加，减少的越来越慢；当0时，随着的增加，反之增加的越来越快3若；4若；5若；6若；7若

19、 (且)；8若 学习了导数的基础知识之后，如何将导数的数学思想方法渗透到学生的解题过程中去，并使他们改变一贯利用函数的定义解题的思维，是数学老师的主要任务数学思想方法是数学新课程的重要目的，是发展学生智力的关键所在，是培养学生数学创新意识的基础，也是一个人数学素养的重要组成部分新课改后，导数作为高考的热点考察内容之一，要求学生不仅掌握导数的概念，导数的几何意义等基础知识，还要学会导数在函数单调性和极值，曲线的切线等问题的应用.下一章节的内容本论文将详细的探讨导数在函数的单调性以及极值中的应用.主要用大量的实例通过定义法和导数法的对比，凸显出导数法在求解相关问题中的优越性.4 导数在函数单调性以

20、及极值中的应用4.1 导数与函数单调性的关系4.1.1 探讨函数的单调性与其导数正负的关系yO例 5观察下面个函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系y=xyO Oy 4.1.1-1 4.1.1-2 4.1.1-3图4.1.1-1函数（）,通过观察其图像发现在定义域上是单调递增的，其导数图4.1.1-2函数，通过观察图像发现其函数在定义域上不是纯单调函数，当0时，函数是单调递减的，此时导数0；当0时，函数是单调递增的，此时导数图4.1.1-3 函数，过观察其函数图像，发现函数在定义域上均是单调递减的，且当0时，；当0时，通过上面的观察与探讨发现函数的单调性与其导数的符号有如下关系：在某个

21、确定的区间内如果那么函数在这个区间内单调递增如果那么函数在这个区间内单调递减如此得到如下的定理：若在上连续，在内可导，则在单调递增（减）的充要条件为：在内（）4.1.2 运用导数判断，求证函数的单调性及单调区间运用导数判断，求证函数的单调性与导数的符号关系判断函数的单调性，是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的数学思想，也充分表明了导数是研究函数单调性的一个必不可缺的，重要的工具例6判断下列函数的单调性，并求出单调区间(1)；(2).解析(1)、(2)两道题目我们可以应用函数的单调性的定义来求解，也可以应用导数法来求解在这里我们应用导数与函数单调性的关系求解

22、首先求解，然后由的符号判断函数的单调性，确定单调区间解 (1) 因为 所以 当0时有 0得 1即1时，函数 单调递增；当0时有0得 1即1时,函数单调递减4.1.2-1 4.1.2-2函数的图像如图 4.1.2-1所示 (2) 因为 所以 所以 所以 所以 0 故函数内单调递减函数的图像为4.1.2-2所示 利用导数分析函数的增、减形态是一种重要手段，而在分析函数的图像、 判断函数的单调性求解函数的极值等方面，利用导数可使问题简单化对于一些高次函数中的问题，用定义解决运算量大、繁琐、困难甚至无法做到，但是导数的应用则会取得预想的效果例7 讨论函数的单调性解析 求解本题有两种方法，一是应用函数单

23、调性定义，二是导数法；而求解的关键在于找到参数的分界点，相比之下导数法更加地简捷一些 解法一 （定义法） 的定义域为因为 所以是奇函数，则在全体实数上关于原点对称设，且,则 当时恒有 则 故在上是减函数当时恒有 则 ，故在上是增函数又因为是奇函数在上具有相同的增减性所以在和上为增函数，在，上是减函数 解法二 （导数法） 因为的定义域为又 所以是奇函数，它在图像在整个定义域上具有对称性，故先讨论函数在上的单调性 求导数得令即 解得因为 又 即所以 即在上是增函数令得故在上是减函数因为是奇函数所以在，上为增函数在，上是减函数通过对解题过程的对比，可以看出：定义法具有一定的开放性，只有扣紧单调数的定

24、义，才能找到此题的突破口；而应用导数只需解不等式就可以了如此我们得到一个结论，并且它会广泛应用于求解函数单调性这类题目及其它的函数题目之中，那就是导数法是一个有力的工具，帮我们解决一些较难的题目例8 判断函数的单调性，并求出单调区间 解析 本题同样可用两种方法解决，运用单调性的定义和导数法 解法一 （导数法） 因为 的定义域是 所以 因为 又 所以 恒大于等于0因此函数在单调增函数 解法二 （定义法） 因为的定义域是且所以是奇函数由于的图像在全体实数上关于原点对称，故先讨论函数在上的单调性设、，且则 因为 所以又因为、 所以所以即因此在上是单调增函数又因为是奇函数，故函数在上与在上的单调性相同

25、所以在整个定义域上是单调增函数 通过对此题解题过程中两种解法的对比，我们发现应用导数法求解简便富有程序化，而定义法在求解过程中，计算量大，需要变形技巧，更需要严密的逻辑推理，因此导数法的应用简单新颖例9 求函数的单调区间 解 因为，令得又 所以当时，;当时，因此的单调增区间是；单调减区间是 显然此函数在上不具备单调性，若利用单调性的定义来解，需找出恰当的临界值（点），但找这个临界值对大部分初学者还是比较困难如果利用导数，则简单得多 例10证明函数在上是减函数 解法一 （定义法）设则 在上由均值不等式得 因为,所以因此故函数在上是减函数 解法二 （导数法）因为当时，,所以所以1-即所以在上是减函

26、数, 由此可见用导数法比用定义法要简单得多. 例11求实数，使得函数在上具有单调性 解 为使函数在上具有单调性，必须或即或恒成立因为时，故当时，恒成立，此时，函数在上是增函数；当时，恒成立，此时，函数在上是减函数例12求函数的值域 解令则且因为又因为所以因此在上是减函数. 所以当时，；当时， 故所求函数的值域为 通过以上例题可以看出，利用导数解决函数的单调性问题，简单快捷，便于掌握，且容易操作，利用导数判断函数的单调性或求单调区间的一般步骤是： (1)确定定义域； (2)求； (3)求方程的根；(4)由的根将分成若干个区间，分区间判断符号； (5)得出结论 导数这一灵活有效地工具，使很多问题变

27、得简单，并且有广泛的应用领域，例如求导还可解决一些实际应用问题因此，熟练掌握和深刻理解利用导数解题的方法是非常必要的当然求导的方法也必须和以前的各种方法密切配合，才能真正体现数学解法的整体性 导数在函数单调性中的应用就以上部分的探讨还不够完善，在以后的学习中，我会继续学习和探讨，以下本论文也简单介绍了导数与函数极值的关系以及在函数在极值中的应用.4.2 导数与函数极值的关系4.2.1极值判别函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征下面我们通过两个定理的证明来讨论极值的充分条件：定理4.2.1（极值的第一充分条件）设在点连续，在某领域内可导(1)若当时，当时，则在

28、点取得极小值(2)若当时，当时，则在点取得极大值证明 下面对(2)进行证明，第(1)题可以类似的证明由定理的条件及单调函数在某个区间上递增(减)的充要条件可知在内递增，在内递减，又由在处连续，故对任意，恒有即在取得极大值若是二阶可导函数，则有如下判别极值定理定理4.2.2（极值的第二充分条件）设在的某领域内一阶可导，在处二阶可导，且(1)若，则在点取得极小值(2)若，则在点取得极大值例13求函数的极值(图像如右图所示) 解 因为 令求得 则随着的变化，和的变化如下表 200递增极大值递减极小值递增所以函数的极大值为，极小值为.这是通过第一充分条件所求的极值，也可以用第二充分条件求解，这里不再求

29、解应用导数求解函数单调性中还有一些初学者所忽略的问题，下面作一简单归纳.4.3 应用导数求函数单调性常见的错误及分析4.3.1求函数单调区间忽视定义域而致错求函数单调区间必须在清楚函数的定义域的前提下作答，否则会因为忽视定义域而致错得不到正解例14 求函数的单调区间错解因为令=0解得或所以函数的单调递增区间为所以函数的单调递减区间为错因求函数的单调区间应首先考虑函数的定义域,错解忽略了这一环节正解因为函数的定义域为又因为，所以函数的单调递增区间为；函数的单调递减区间为4.3.2导数为零的点不一定是极值点导数为零的点不一定是极值点以下有这样的实例 ：例15 当函数为常值函数，即若（为常数），则证

30、明因为 0所以 表示函数图像上每一点处的切线的斜率都是0这是本论文在用导数的定义在前面所证明过的.这个函数的导数为零但是这个函数却没有增减性，即没有极值点例 16函数为,求它的导数.证明因为 利用前面所提到的几种常见函数的导数可直接求得 由于这个函数的定义域为，它的图像在整个定义域上是单调递增的，当时导数为0，但这个零点并不是它的极值点.在这里我们对另一个知识点驻点给以说明(导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如中，的左右导数符号为正，该点为一般驻点)5 结 论从以上可以看出，数学是一门逻辑性相当强的学科，对学生的思维逻辑能力有很高的要求，而

31、掌握正确的学习方法是学习数学的关键所在导数是研究函数的工具，加入新教材之后，给函数问题注入了新的生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了初学者对函数问题的学习和思考空间所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，初学者需掌握题型命制，它往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，切线，方程的根，参数的范围等问题，难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是这块知识命题的丰富宝藏解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想本文主要通过大量实例探讨了导数在函数单调性与极值求解中的应用问题，导数在中学数学中的应用非常广泛

32、，其思维方法有：利用增（减）函数的定义判断单调性，利用在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立（但在的任意子区间内都不恒等于0）定义法化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握，特别是对于具体函数更加适用本论文所论述的导数在函数单调性中的应用在中学数学学习中有十分广泛的运用，所以掌握导数法的运用十分关键首先，本文将函数和导数的基本知识做了简单介绍，帮助学生对这些知识有更加清晰、细致、系统的认识；其次, 主要是导数法在求解函数单调性中的应用，其中包含了数形结合等数学思想的正确运用； 最后，导数法的数学思想是中学生学习数学必不可

33、少的一种解题思想，它的运用广泛，在解题过程中可以避开函数单调性的定义求函数单调性的繁、难、偏的步骤，运用了新颖的、简单的解题思想，使初学者用起来更为方便，更符合课改的目标要求，且更加有助于培养初学者的创新思维，有助于创新性人才的培养 本论文在设计、归纳整理过程中仍存在许多漏洞，望读者予以指正谢 辞大学四年的学习如白驹过隙般在不经意之间匆匆而过，人生黄金的生活已然接近了尾声，伴随着答辩的临近，我们的大学生活就要和我说再见了回顾这三个多月的论文写作过程，真的让我感慨万千：首先，我要感谢的是我的论文指导教师戴晓娟老师，在我论文的设计过程中给我提供了很多专业性的指导和新颖的建议，戴老师严谨而热情的工作

34、态度给我留下了深刻的印象，若没有戴老师的帮助，这次的毕业论文设计不会这样顺利所以，借此机会我向戴老师致以深深的感谢和敬意其次我要真诚地感谢我学习生涯中其他的老师、同学和朋友，在我的课题研究中，他们或多或少提供的信息是我灵感的来源，在知识和工具上都给了我很大的帮助，所以同样致以感谢最后我要感谢四年的大学生活，四年的历练让我对自己的人生观、价值观有了新的认识，让我对以后将要走的路有了更加明确的方向感在今后的人生路上，我将会更加努力的学习，不辜负老师、朋友以及家人的期望参考文献1李宗岳名师教学设计3新课标第二课堂G西藏：西藏人民出版社2006,6:4942程晓亮，刘影初等数学研究M北京：北京大学出版

35、社2011,1:122-123 3李名德，李胜宏高中数学竞赛培优教程（一试）M浙江：浙江大学出版社2011，1:352-3574刘绍兴，钱佩玲普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-2 A版M人民教育出版社出版发行2005，6：23-355薛金星高中数学基础知识手册G北京：北京教育出版社出版2009，3：686刘绍兴，钱佩玲，章建跃普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-2 A版 教师教学用书M北京：人民教育出版社出版发行2007，5：19-257华东师范大学数学系数学分析.上册 第三版M北京：高等教育出版社2001,6:142.8黄珊数数形结合思想与解题教学研究J数学教学与研究 2009(3) 9于伯宁把学生带进数学乐园在圆锥曲线教学中培养学生的思想品质J2005(11).