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1、 矩阵的特征值与特征向量的若干应用 Several applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix专 业: 数学与应用数学作者: 指导老师: 学校二一摘 要本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论, 在此理论基础上做了一定的推广, 并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应用.关键词: 特征值; 特征向量; 矩阵; 递推关系Abstract This article describes some theories of eigenvalues and eigenvectors of the ma
2、trix , based on these theories we do some promotions, and discusses the applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix through their propositions and nature. Keywords: eigenvalue; eigenvector;matrix; recursion relations目 录 摘 要IABSTRACTII0 引言11 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论12 矩阵特征值与特征向量的几个应用52.1 特征值
3、与特征向量确定矩阵的方法证明及应用52.1.1 命题的证明52.1.2 命题的应用72.2 线性递推关系中特征值与特征向量的应用72.2.1 命题的证明72.2.2 命题的应用92.3 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用112.3.1 特征值与特征向量的基本性质112.3.2 性质的应用123 小结15参考文献160 引言为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易
4、, 化繁为简. 本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨. (见参考文献1 2 4)1 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择基之后, 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念, 它们对于线性变化的研究具有基本的重要性定义1.1 设是数域上的一个阶方阵,若存在一个数以及一个非零维列向量,使得 则
5、称是矩阵的一个特征值,向量称为矩阵关于特征值的特征向量现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法, 设是数域上维线性空间, 是它们的一组基, 线性变换就是在这组基下的矩阵是. 设是特征值，它的一个特征向量在下的坐标是. 则由, 这说明特征向量的坐标满足齐次次方程组即 (1.1)由于, 所以它的坐标不全为零, 即齐次线性方程组有非零解. 从而, 齐次线性方程组（1.1）式, 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零, 即我们引入以下定义.定义1.2 设是数域上一级矩阵, 是一个文字. 矩阵的行列式，称为的特征多项式, 这是数域上的一个次多项式.上面的分析说明, 如果是线性变换的特征值, 那么一定是
6、矩阵的特征多项式的一个根; 反过来, 如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根, 即, 那么齐次线性方程组（1.1）式就有非零解. 这时，如果是方程组（1.1）式的一个非零解, 那么非零解向量.满足（1.1）式, 即是线性变换的一个特征值, 就是属于特征值的一个特征向量因此, 确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步：1、 在线性空间中取一组基, 写出在这组基下的矩阵;2、 求出的特征多项式在数域中全部的根, 它们也就是线性变换的全部特征值;3、 把所有得的特征值逐个代入方程组（1.1）式, 对于每一个特征值, 解方程组（1.1）式，求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几
7、个线性无关的特征向量在基下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量 矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值, 而相应的线性方程组（1.1）式的解也就称为的属于这个特征值的特征向量例1 设线性变换在基，下的矩阵是 ，求的特征值与特征向量解 因为特征多项式为 ,所以特征值-1（二重）和5把特征值-1代入齐次方程组得到它的基础解系是 ，因此，属于-1的两个线性无关的特征向量就是，而属于1的全部特征向量就是，取遍数域中不全为零的全部数对. 再用特征值5代入, 得到，它的基础解系是 因此, 属于5的一个线性无关的特征向量就是 ，而属于5的全部特征向量就是, 是数域中任意不等
8、于零的数 例2 在空间中, 线性变换 在基下的矩阵是的特征多项式是 因此的特征值只有0, 通过解相应的齐次线性方程组知道, 属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数. 这表明微商为零的多项式只能是零或非零常数(见参考文献1)2 矩阵特征值与特征向量的几个应用2.1 特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用已知矩阵的特征值与特征向量确定3 阶对称矩阵的公式设 3阶对称矩阵的特征值为, 且对应的特征向量为, 则.本文给出推广到阶对称矩阵的一类计算公式.2.1.1 命题的证明命题1 设阶对称矩阵的特征值为其中， 对应的特征向量为，.则可取， 且为的重特征值证明 不妨设, , 因为两两正交
9、,，所以为的特征向量, 为的对应于的特征向量, 且因为即矩阵的列向量组可由向量组线性表示, 故矩阵的秩, .所以为的特征值又可证为的重特征值, 设, 即 .因为, 秩, 故不妨设是向量组的极大线性无关组, 则有 若,则有做第三种初等变换将第j列化为令而行列式是的最高次幂为的多项式为的特征值,综上可知命题成立（参考文献2 4）2.1.2 命题的应用例3 设3阶对称矩阵的特征值, ,，对应于的,的特征向量依次为,求矩阵解 由公式=.例4 设3阶对称矩阵的特征值，, 对应于的特征向量为求矩阵 解 由公式 综上, 运用该命题根据已知条件, 可简捷快速地求出矩阵, 给我们带来极大的方便2.2 线性递推关
10、系中特征值与特征向量的应用用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论（见参考文献14 15）2.2.1 命题的证明 命题2 设阶线性循环数列满足递推关系，其线性方程组为可表为矩阵形式 （2.1）令， ，则（2.1）式可写成， （2.2）由（2.2）式递推得，其中, 于是求通项, 就归结为求, 也就是求.如果可对角化, 即存在可逆矩阵, 使得, 则, 由于从第一列开始每一列乘以入加到后一列上, 可得若是的一重特征值, 显然有, 则线性齐次方程的基础解系中只含有一个解向量. 因此当有个特征值时, 这个特征值对应的特征向量分别, 以这个特征向量为列构成的方阵记为, 则是可逆的, 并且, 其中2.2
11、.2 命题的应用例6 计算阶行列式 解 将按第一行展开得,其中与分别是元素与的余子式, 再将它们分别按第一列展开得: ,则是阶线性循环数列. 将方程组表示成矩阵形式为： 令，由上式递推得： （2.3）由，解的特征值为，再由特征方程, 解得对应的特征值, , .的特征向量分别为，令，则 由（2.3）式可得： ，将代入上式得：. 2.3 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用设为阶方阵, 如数与维非零列向量使关系式成立, 则称数为方阵的特征值, 称为的对应于的特征向量; 称为特征多项式, 称为特征方程（见参考文献3 10）2.3.1 特征值与特征向量的基本性质性质1 设为阶方阵, 为的个特征值, 则性
12、质2 方阵可逆的个特征值都不为零性质3 设为方阵的特征值, 为的多项式, 则为的特征值性质4 不为方阵的特征值性质5 (凯莱哈密顿定理) 设阶方阵的特征多项式为，则 性质6设阶方阵的个特征值为, 且为对应的个线性无关的特征向量, 记, 则.性质7 设为阶实对称阵, 是它的个特征值, 则(1) 当且仅当都大于零时, 正定；(2) 当且仅当都小于零时, 负定； (3) 当且仅当都非负, 但至少一个等于零时, 是半正定；(4) 当且仅当都非正, 但至少一个等于零时, 是半负定；(5) 当且仅当中既有正数, 有又负数时, 是不定的2.3.2 性质的应用(1) 求方阵的行列式 以及 的多项式 的行列式例
13、7 已知三阶矩阵的特征值为1, 1, 2, 设 , 求: ; ; .解 由性质1可得. 因, 由性质3 可知的特征值为 , , 故. 的特征多项式为 令, 得 ，故.(2) 判断方阵及的可逆性.例8 设,问当为何值时, 可逆.解 因,故，为的三个特征值, 由性质4可知, 当时, 可逆(3) 求方阵, 的逆阵及的次幂.例9 设，求; ; .解 ，由性质5 有,故. 由, 可知0不是的特征值, 由性质2知可逆. 而,故. 故 . （4）求方阵的多项式.例10 设,计算. 解 由于，而，显然.由性质5可知，所以.(5) 判断实对称阵的正定性.例11 设阶实对称阵正定, 则存在矩阵, 使, 且也是正定
14、矩阵.证明 因为实对称阵, 故存在正交矩阵, 使,其中为的个特征值. 因正定, 故有, 于是 令,则有,又因,即与对角阵相似, 相似矩阵的特征值相同,故为的个特征值, 因, 由性质7知正定.3 小结本文利用特征值与特征向量的一些命题和性质来探讨特征值与特征向量在一些解题计算中的应用，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便.致谢 本文是在 的指导和帮助下完成，在此向汪老师表示衷心的感谢! 参考文献1 大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数（第三版）M北京：高等教育出版社，20032 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第4 版) M . 北京:高等教育出版社,2003.3 朱
15、金寿,陈晓江,扬爱芳. 线性代数M . 华中理工大学出版社1995.4 李淑花. 关于一类线性代数习题的快速解法J. 高等数学研究.5 谢国瑞. 线性代数及应用M. 北京:高等教育出版社,1999.6 戴华. 矩阵特征值反问题的若干进展J. 南京航空航天大学学报,1995.7 钱吉林.高等代数题解精粹M.北京：中央民族大学出版社.8 陈文灯,黄先开.理工类数学复习指南M.北京:世界图书出版公司北京公司,2003.9 朱凤娟特征值与特征向量逆问题的研究J滨州学院学报2007.6 .10 英S.巴比特. 科技工作者用矩阵方法M .北京：化学工业出版社.1984.126-137.11 蓝以中.高等代数简明教程（上册）M .北京大学出版社.12 tephen H.Friedbeng等.Linear Algebra(4th Edition) M.Prentice Hall/Pearson，1998.13 Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl;1975.14 奚传志，矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用J，枣庄师专学报，1991（2）.15 熊全淹，线性代数M.北京；高等教育出版社，1987.4.
