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1、第十一章 流体力学(Mechanics of fluids),内容概要,理想流体流体静力学流体运动学 流迹 流线 流管 定常流动 不可压缩流体作定常流动时的连续性方程流体动力学 伯努利方程 流体的动量和角动量,理想流体,理想流体（ideal fluid）既不可压缩，又无粘性的 流体，是一个理想化模型。,流体静力学,流体静力学主要研究静止或相对静止流体中压力、密度、温度等参数的分布以及流体对器壁或物体的作用 的流体力学分支。,静止流体内的压强,Q点处对应于无限小S面的压强为,问：1、压强是标量还是矢量？2、压强 p与S所取的方位有没有关系？,流体静力学,因为,所以,表明：静止流体内一点的压强只与
2、该点在液体内的位置有关，而与面元的方位无关。,静止流体内的压强,纵向：沿铅直方向的压强分布,得到压强梯度,表明：在重力场中，静止流体内的压强随流体的高度的增加而减少，或随流体深度的增加而增加。,静止流体内的压强分布,静止流体内的压强分布.,压强梯度,横向：等高点的压强相等,静止流体内的压强分布,得,分离变量，积分得：,例 题 1,解：根据 和,静止流体内的压强分布,深度为h处液体压强,任取一面元S，其深度为h。所受的液体压强为p。那么，竖直方向上的分力为：,阿基米德原理(Archimedes principle),问：为什么不是？,式中dV是面元S上方到液面的那部分物体的体积。,所以物体所受到
3、的浮力为:,此式亦可用于压缩性影响可以忽略的气体产生的浮力。,阿基米德原理(Archimedes principle),因此，小车中的左上方处，液体的压强小，而右下方处液体的压强大。,如果在水下释放一软木球，它将垂直等压面向小车的左上方运动。,相对于非惯性系静止的流体,如图，加速运动的小车里，车内液体任一质元受到重力 和惯性力两种体积力，它们的合力为（惯性力和重 力具有相似的特征）。,一匀速转动的水桶，水相对桶静止。求水的自由表面达 到稳定时的形状。,相对于非惯性系静止的流体,教材思考题11.5。,研究流体运动的两种方法,流体运动学,流体力学用以上方法研究流体运动。,拉格朗日法（随体法）,这种
4、方法只有了解了所有微团的运动规律后，才能知道整个流体的运动情况。但由于微团的数量非常巨大，所以实际上很难做到。,把流体分成许多无限小的流体微团，并追踪每个微团，求出它们各自的运动规律。一定微团的运动轨迹叫该微团的流迹（pathline），其运动学方程为：,微团的运动规律是初位矢、初速度和时间的函数。,两种方法,将运动学方程对时间求导数，以获得流体微团的速度和加速度。,在流体力学中，欧拉法比拉格朗日法更有效。,两种方法,欧拉法（当地法）,流体运动学的基本概念,一般地，流线是时间的函数，每一时刻的分布都不 相同。即流线分布与一定的瞬时相对应;,流迹描述的是同一微团在不同时刻的空间位置和速 度方向（
5、电影）。流线描述的是同一时刻不同微团 的速度情况（相片）;,一般地，流迹与流线不重合;,任意两条流线不相交。,基本概念,几点说明：,基本概念,定常流动的流线和流管都保持固定形状和位置。,流线和流迹重合。定常流动时，流体在固定的流管 中流动，而流管无限变细时就成为流线。所以此时 流迹与流线重合。,因为流线不相交，所以流管内外的流体都不具有穿过流管壁面的速度。,在t 时间间隔内，通过流管某横截面S 的流体体积为V，V和t 之比当t0时的极限称为该横截面上的流量。,不可压缩流体作定常流动时的连续性方程,若流管很细，可认为形成流管的各条流线平行，且横截面上各点流速相等，v 表示该横截面上的流速大小，则
6、流量Q为:,流量Q（flow rate）,单位：,不可压缩流体作定常流动时的连续性方程,S1,S2,不可压缩流体作定常流动时的连续性方程,即,对同一流管，横截面积小处，流速大；横截面积大 处，流速小。,对同一流管，横截面小处流线密，流速大；横截面大 处流线疏，流速小。因此流线疏密反映了流速大小。,讨论：,问：为什么水流自上而下由粗变细？,不可压缩流体作定常流动时的连续性方程,伯努利效应的应用举例 飞机机翼、船吸现象、汽油发动机的汽化器。,1726年，瑞士物理学家、数学家、医学家伯努利通过无 数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快 时。物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力 会增
7、加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”。,伯努利（D.Bernouli 17001782）。开辟并命名了“流体动力学”学科，十年寒窗写就流体动力学一书。,理想流体动力学,伯努利效应,在列车站台上都划有安全线。这是由于列车高速驶来 时，靠近列车车厢的空气将被带动而运动起来，压强就 减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身体前后出现 明显压强差，将使旅客被吸向列车而受伤害。,伯努利效应,船吸现象：1912年秋天，“奥林匹克”号正在大海上航 行，在距离这艘当时世界上最大远洋轮的100米处，有 一艘比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克”号正在向前疾驶，两艘船似乎在比赛，彼此靠得较拢，平行着驶向
8、前 方。忽然，正在疾驶中的“豪克”号好像被大船吸引似 地，一点也不服从舵手的操纵，竟一头向“奥林匹克”号 闯去。最后，“豪克”号的船头撞在“奥林匹克”号的船舷 上，撞出个大洞，酿成一件重大海难事故。,参考系惯性系；,研究对象重力场中理想流体定常流动时的任一微团和地球组成的系统。,伯努利方程（Bernoulli s equation）,伯努利方程,1738年伯努利提出的。研究在惯性系中，理想流体在重力场中作定常流动时一流线上（或细流管内）的压强、流速和高度的关系。,应用质点系功能原理：,微团线度和它所经过的路径相比非常小，可视为质点。,在理想流体内某一细流管中任取微团ab，自位置1运动 至位置2
9、，在1和2处的长度各为l1和l2，底面积各为 S1和S2，质量为。,伯努利方程,理想流体不存在粘性力。,质点系不存在非保守内力。以下分析质点系外力以及外力做功情况。,应用质点系功能原理：,定常流动中，各空间位置点处的压强不随时间改变，所 以后底经过b1a2段时，后方压力所做的正功，与前底经 过b1a2段时前方压力所做的负功，正好抵消。于是：,伯努利方程,根据质点系的功能原理有：,因为,伯努利方程,伯努利方程在惯性系中，在重力场中做定常流动 的理想流体的一定流线上（或细流管内）各点的量 为一常量。,应用伯努利方程解题时，必须画图，并在图中画出 所选的流线及标出所选的点；,伯努利方程中，下标为1的
10、量与下标为2的量所对应 的1、2两点必须是同一流线上（或细流管内）的两 点；,对于不同的流线，恒量一般是不同的（有特例）；,对于水平流管有,等高点的压强不一定相等（与静止流体不同之 处）。流速大处，压强小；流速小处，压强大。,伯努利方程,几点说明：,大容器的底部开有一小孔，小孔的线度与容器中液体的 深度h 相比很小。把液体视作理想流体，求在重力场中 液体从小孔流出的速度（液体密度为r）。,解：因为小孔很小，若观测时间较短，液面高度无明显变化，可认为液体的流动是定常流动。由于液面高度不变，液体自由表面处流速为零。,对如图所示的流经1、2两点的流线应用伯努利方程得：,所以液体从小孔流出的速度为:,
11、例 题 2,文特利(Venturi)流量计原理文特利管常用于测量液体在管中的流量或流速。如图，在变截面管的下方，装有U形管测压计，内装水银。测量水平管道内的流速时，可将流量计串联于管道中，根据水银表面的高度差，即可求出流量或流速。,已知文特利管截面为S1和S2，水银和液体的密度分别为r汞和r，水银面的高度差为h，求液体流量。设管中理想流体作定常流动。,例 题 3,例 题 3,解：在文特利管中心轴线取经过1、2两点的流线，应用伯努利方程：,又据不可压缩流体在定常流动时的连续性方程有：,再据静止流体的压强公式有：,由以上三式可解得流量:,例 题 3,例 题 4,课本P357例题2 皮托管（Pito
12、t tube)原理,18世纪法国工程师皮托发明的。皮托管由一个圆头的双层套管组成，外套管直径为D，在圆头中心2处开一个与内套管相连的总压孔，连接测压计的一端；同时在外套管侧表面距2处约3D的距离的1与l处沿周向均匀地开一排与外管壁垂直的静压孔，连接测压计的另一端。测量时将皮托管放在欲测速度的稳定气体中，并使管轴与气流方向一致，管子的前缘对着来流，测得两者的压力差p2-p1，即可得出流速。,2为驻点，流速为零。,例 题 4,将伯努利方程应用于22附近的小流管，得到：,将伯努利方程应用于31附近的小流管，得到：,例 题 4,由于离皮托管很远的2和3点很靠近，所以可认为它们 有相同的速度、高度和压强
13、，因此：,2和1点高度差近似为零，因此：,例 题 4,因此：,皮托管很小，放进流体后不会显著地影响各点流速，因此可认为待测流速为,设理想流体在沿弯管作定常流动，则流体对弯管作用以 力，现用动量的概念讨论流体施予弯管的力（与习题 3.7.4比较一下）。,流体的动量,流体的动量,设弯管入口处的流体速度为，出口处速度为。横截 面a1和a2分别靠近入、出口，取它们之间的流体为研究 对象。,流体在t 时间内从a1a2流到b1b2，动量变化为：,用 表示 的矢量和在t 时间内的平均 值，重力mg很小，可忽略。,流体的动量,据质点系动量定理得：,流体的动量,当t0 时，,据牛顿第三定律得，流体对管壁的作用力
14、为：,流体的动量,结论：流体对管壁的作用力与流体密度、流量的大小、流速的变化以及入、出口的压力都有关系。,大容器下有小孔，自A处向容器供水，自B处泻水，液 面呈漏斗状。,自A处进入容器的流体微团，由外周向中间旋转，因无 切向力，所以对中间轴角动量守恒。在液体表面上自A 处附近至接近B处取A B流线，A处运动半径大，切向 速度就小，B处半径小，切向速度就大；,流体的角动量,流体微团向下泄出，泄水口直径 远小于容器口径，则由连续性方 程可知，流体微团向下运动的分 速度也越来越大。,因此：,A处在水的表面，所以,据伯努利方程有,故h大于零，即筒内水表面不可能是水平的，中间必下降呈漏斗状。,流体的角动量,又因为B处很靠近B处，所以,作 业,习题 11.4.3,
