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1、2.3 角动量定理,力矩是通过分析引起转动状态改变的原因而引入的。本部分通过研究力矩的时间累积效应，引进冲量矩的概念，建立刻画与力矩的作用效果有关的质点运动状态的另一描述量角动量，推导出质点角动量定理，并将之推广到质点系的一般情形，并考虑了重要的力矩的时间累计效应为零这一特殊情形。作为力学基本定理的总结，本部分扼要介绍对称性与守恒律的问题。,2.3.1 质点角动量定理与角动量守恒定律,本部分内容,2.3.2 质点角动量定理与角动量守恒定律,2.4 对称性与守恒定律,为力的作用点的位置矢量,力矩大小：,2.3.1 质点的角动量定理,一、力矩,力对参考点O的力矩：,在直角坐标系中,方向由右手螺旋规
2、则确定。,为质点的位置矢量,大小：,二、质点的角动量、角动量定理,方向由右手螺旋规则确定,由矢量微商法则,得,在惯性参考系中，一质点的角动量,在惯性参考系中，质点对固定参考点的角动量在任意时刻的时间变化率等于质点在该时刻所受合外力对该点的力矩。,质点对固定点O的角动量定理,定义冲量矩：,角动量定理的另一形式,在惯性参考系中，质点所受合外力在其任一运动过程中对任一固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量在该过程中的增量。,1.为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所受的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点，对应的位矢 不同。物体所受的力矩不同。,3.如果力 的方向始终指向一个固定点，则该力就
3、称为有心力，该固定点称为这个力的力心。,受到有心力作用的物体，相对于力心，其所受力矩为零。,2.何时 为零？,a.,c.受到有心力作用,b.力的作用线与轴相交,【补充例】一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。,解：,解：分析,(Z轴正方向),利用,思考：,【补充例】t=0时，质量为m的质点由 P点自由下落。问：1.在任意t时刻，质点所受的对原点O的力矩?2.在任意t时刻，质点对原点O的角动量。,在任意t时刻,方向垂直于纸面向里,解:,【补充例】质点的圆周运动,（对圆心的）角动量：,大小：,【补充例】行星在绕太阳公转时的椭
4、圆轨道运动对定点（太阳）的角动量：,大小：,方向：垂直于轨道平面,方向：,【补充例】一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的摩擦因素为,求棒转动时受到的摩擦力矩的大小。,如图，距O点为x，长为dx的质元dm的质量,解：,其所受阻力矩,三、质点角动量守恒定律,若外力对某个固定点O的力矩为零时，即，,则对同一固定点O的角动量不变，即,角动量守恒定律,有时质点在运动过程中所受力矩在某个方向上的分量为零，则在该方向上的角动量分量守恒，例如,时，,(恒量),如行星在太阳的万有引力的作用下，显然，相对于太阳的力矩为零，相对于太阳的角动量不变，不但大小不变，
5、而且方向不变，行星的轨道在同一平面内。,q,开普勒第二定律,三角形面积,一质量为m的质点以速率v作圆锥摆运动。,分别以圆心O 和悬挂点A,O,A,m,分析张力力矩、,重力力矩、,合力力矩,和质点的角动量。,解,求,张力力矩,重力力矩,合力力矩,角动量,A,O,方向,为参考点，,【补充例】,方向,【例2-29】如图所示，质点受轻绳的约束在光滑的水平桌面上运动。开始时质点绕点O作半径为R0的匀速圆周运动，速率为v0。若用外力F通过轻绳使质点的圆周运动半径减小到R1，问质点的运动速率变为多少?动能如何变化?,解：,质点受到重力mg、桌面支持力N和绳子拉力T的共同作用。选O为参考点，mg和N平衡，对点
6、O的合力矩为零。绳子拉力T通过点O，它的力矩也为零。,T,N,mg,因此，所有作用力对点O的合力矩等于零。质点m在运动过程中相对点O的角动量守恒，即,因此，得,质点动能的变化为,因为R1 0，即质点的动能增加。增加的这部分能量来源于力F所做的功。,【例2-30】将一质点沿一个半径为 r 的光滑半球形碗的内面水平地投射,碗保持静止,如图,设 v0 是质点恰好能达到碗口所需的初速率。(1)试说明质点为什么能到达碗口?(2)求 v0 与 0 的关系。(0 是质点的初始角位置，O为球心),当v0大到一定程度时，小球能到达甚至飞出碗口。,(2)由题设条件，v0与0满足小球刚好能到达碗口,即小球到达碗口时
7、速度沿水平方向,沿碗口作圆周运动。,解：,(1)如图，设碗对小球的支持力为N，其水平分量提供了小球绕 z轴做圆周运动的向心力。,小球圆周运动的速度v0越大，N就越大，当Ncos 0mg时，小球将向上加速，向碗口运动。,到达碗口后，沿碗口作圆周运动,沿碗面螺旋上升,但是，由于重力矩M在z方向的分量为零，即Mz=0，所以，小球在上升过程中对点O的角动量L在z方向的分量守恒,为,在小球上升过程中，相对于参考点O，支持力N的力矩为零，但小球所受重力矩不为零（始终在水平面内），即合力矩即重力矩M0，这样，小球对点O的角动量不守恒。,又，小球上升过程系统的机械能守恒，即,设小球上升到碗口时速度为v，沿水平
8、方向，则在此处小球对点O的角动量沿z方向，大小为,故,【补充例】在半角为的圆锥面内壁距顶角h的高处，有一个小球以初速度v0沿内壁水平方向射出。设锥面内壁光滑。（1）为使小球在高h处的水平面上作匀速圆周运动，v0？；（2）若初速度为v1=2v0，求小球在运动过程中的最大高度。,【解】（1）小球受力：重力mg，约束反力N。小球的运动方程,v0,h,mg,N,h,x,v1,(2)当初速度v12v0时，平衡不成立。小球作螺旋运动。机械能守恒，设上升得最大高度x，其速度为v2，则,mg,N,以圆锥顶点为参考点，合力矩方向始终在水平面内，所以沿圆锥轴线得角动量分量守恒,上两式联立可得,（4）,（5）,由（
9、4）、（5）式得到,得：,表面附近的重力加速度g表示)；(2)卫星运行轨道在近地点的曲率半径r。,【例2-31】如图所示，人造地球卫星近地点离地r1=2R(R为地球半径)，远地点离地心r2=4R。求：(1)卫星在近地点及远地点的速率v1和v2。(用地球半径R以及地球,近地点,远地点,解：,(1)系统内的作用力是有心力，且为保守力，因此系统对地心的角动量守恒。,近地点,远地点,在远地点和近地点，速度与相对于O点的位置矢量垂直，所以有,等式两边分别为卫星在近地点和远地点时的角动量及机械能。引力势能的一般表示式为,故,考虑到在地面附近,机械能守恒,(2)人造地球卫星在近地点处的法向加速度分量为,利用
10、,得近地点处轨道的曲率半径为,联立求解，得,【例2-32】如图所示，质量为m的飞船绕质量为M的地球作匀速圆周运动，轨道半径为3R(R为地球半径)，它的运行速率v0为多少?飞船在此处要将它的运动速度至少增加到v1为多少时，才能飞离地球?若飞船在3R处将速度增加到v1后关闭发动机，在离地心为12R处，它的切向加速度分量at为多少?该处轨道的曲率半径r为多少(用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g表示结果)?,解：,在地面处，,飞船在3R处绕地球作匀速圆周运动,以无穷远为势能零点，为脱离地球，系统机械能至少为零,飞船从3R处运动到12R处，系统机械能守恒,在此过程中，飞船相对地心的角动量守恒,其
11、中q为飞船在离地心12R处的速度与径向之间的夹角(见图)。,在离地心12R处飞船加速度大小,方向指向地球球心,解：,【补充例】当一质量为 m2的飞船距一质量为 m1、半径为 R 的行星的中心 4R 处时，速度 为,要使飞船恰好掠着行星的表面着陆，角应是多少?着陆滑行初速度 v 多大?,有心力场中,运用角动量守恒和(m1,m2)系统机械能守恒定律：,m0R=3Rmsin,火箭运动过程中只受引力(保守力)作用，机械能守恒(火箭、地球)、对o点的角动量守恒：,【补充例】质量为m的火箭A，以水平速度 沿地球表面发射出去。地轴oo与 平行，火箭A的运动轨道与地轴oo相交于距o为3R的C点。不考虑地球的自
12、转和空气阻力，求火箭A在C点的速度 与 之间的夹角。(设地球的质量为M、半径为R),解得,解：,【补充例】人造地球卫星变轨问题。地球可看作是半径 R 的球体，一颗质量为 m的人造地球卫星在半径为r 的圆形轨道上，以 速度vt绕地球运动。卫星沿指向地心的方向喷射气体，其冲量不影响卫星当时的绕地圆周切向速度vt，但却给予卫星一个指向地心的径向速度vn。喷射后卫星质量为,卫星轨道变为椭圆。求这次喷射后卫星轨道的近地点和远地点离地心的距离。,解：,这是平方反比律的有心力作用下的轨道问题,这类问题所满足的基本规律是,机械能守恒、,对于圆轨道，还可以利用引力提供向心力的概念,角动量守恒,近地点,远地点,r
13、,喷射后，卫星对地心的角动量守恒,其中 L是轨道近地点或远地点距地心的距离，为该处速度。,此时,喷射后，卫星、地球系统机械能守恒,（2）,（3）,喷射前，卫星处在圆轨道上，由牛顿第二定律,（1）,即,得,远地点,近地点,由（1），（2），（3）得,卫星所受万有引力、火箭反冲力均通过力心，,故卫星在火箭点燃前或后对地心的角动量始终不变，是守恒的。,解：分析,【补充例】地球可看作是半径 R=6400 km 的球体，一颗 人造地球卫星在地面上空 h=800km 的圆形轨道上，以v1=7.5 km/s的速度绕地球运动。突然点燃 一 火箭，其冲力使卫星附加一个 向外的径向分速度 v2=0.2 km/s使
14、卫星的轨道变成椭圆形。求此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高？,火箭点燃后瞬时，可认 为卫星距地心的位矢不变 仍为 速度为,根据角动量守恒定律：,卫星进入椭圆轨道后，设远地点（或近地点）的位矢为，该处的速度为,卫星进入椭圆轨道后，卫星、地球系统只有万有引力（保守内力）作用，机械能守恒：,对卫星原来的圆运动有,联立（1）（2）（3）式，消去 VG M m 则有,远地点高度,近地点高度,一粒子在远处以速度v0 射向一重原子核，重原子核到v0直线的距离为b，重原子核所带电量为Ze。,求粒子离开重原子核时的速度v/的方向偏离v0的角度,b,(2e),(Ze),【补充例】,解,可以认为重原子核在
15、整个运动过程中不动,O,所受的有心力为库仑力,x,建立如图坐标,库仑力对O点的力矩为零,粒子对O点的角动量守恒,y,联立消去r2得,y,机械能守恒,在惯性参考系中，对同一参考点，质点系总角动量为,2.3.2 质点系的角动量定理,单个质点的角动量定理,单个质点受到的力矩为,质点系的角动量时间变化率,其中，单个质点的角动量为,其中，一对内力力矩,式中 对同一参考点。,在惯性参考系中，作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量对时间的变化率，这就是质点系对固定点的角动量定理。,若对于某点而言，质点系所受的外力矩之和为零，则质点系对该点的角动量不随时间改变，即：,质点系的角动量守恒：,故质点系角动量
16、守恒和动量守恒也是相互独立的。,质点系的角动量守恒,【补充例】在光滑水平面上，有一原长为l0=0.6m，倔强系数k=8N/m的弹性绳，绳的一端系一质量为m=0.2 kg 的小球，另一端 固定在水平面的A 点，最初弹性绳是松弛的，小球B 的位置 及初速度如图，当小球的速率为v 时，它与A 的距离最大，此时l=0.8m,求：此时的速率v 及初速率 v 0,解：,B与A端的距离最大时，,小球的速度与绳垂直。,角动量守恒：,机械能守恒：,由1）,子弹射入滑块可视为碰撞过程，动量守恒：,【补充例】在一光滑水平面上，有一轻弹簧(倔强系数k=100N/m)，一端固定于o点，另一端连接一滑块(M=1kg)。设
17、开始时，弹簧长度为l0=0.2m(自然长度),滑块静止,此时有一子弹(m=0.02kg)以水平速度0=255m/s射向滑块并停在其中。当弹簧转过90时,其长度l=0.5m,求此时滑块速度 的大小和方向。,m0,解：,=(m+M)1,其中1是子弹射入后滑块的速度,=4.02m/s,=30,(m+M)1l0,=(m+M)lsin,同时系统(滑块、弹簧)机械能守恒,在水平面上滑块只受到弹性力的作用，故对o点的角动量守恒：,由上两式解得:,【补充例】宇宙飞船质量m=12103kg，在月球上空h=100km处围绕月球旋转。为了能降落在月球表面，喷气发动机在A点处向着飞船飞行方向喷气，设喷出的气体相对宇宙
18、飞船的速度u=10000m/s，求使飞船到达月球B点处，所需要的燃料量。(设月球半径R=1700km，质量M=7.371022kg),解:先求出飞船绕月球旋转的速度0：,飞船在A点喷气后速度降为A，在AB的飞行过程中，角动量守恒、系统(飞船+月球)机械能守恒,m代表喷气后飞船的质量。由上两式解出：,设喷出m燃料，由动量守恒,解：分析因为是有心力场,且保守力场,o,【补充例】如图，两个质量均为m的小孩，各抓住跨过滑轮绳子的两端用力向上爬。若滑轮的质量和轴上的摩擦力都可忽略，开始时两小孩都不动。,(1)哪一个小孩先到达滑轮,(2)若两个小孩质量不等时情况如何,解:,求,R,O,(1)以小孩、滑轮作
19、为系统。地面坐标系里，则系统对O点的总角动量为,+,而系统所受的外力矩只有两个小孩的重力矩，,且合力矩为零,所以系统对O点的总角动量守恒,开始时两小孩都不动,随后,总角动量不守恒,(2)若两个小孩质量不等,m1m2,系统所受的外力矩为,系统对O点的总角动量为,开始时两小孩都不动,若,m1m2,总之，体轻的小孩上升的快，先到达滑轮。,随后,同类问题,两只猴子M、N为了争夺挂在顶部的香蕉，同时沿着一根跨过无摩擦轻滑轮的绳子向上爬，（1）若两只猴子质量相等，谁先拿到香蕉？（2）若M质量大于N，谁先拿到？,【补充例】一根轻绳跨过一轻定滑轮，绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体，m1 m2
20、，滑轮的 半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为 Mf，绳与滑轮间无相对滑动。试求：物体的加速度和绳的张力。,N,Mf,M=m2gR-m1gR-Mf,解:,把m1、m2和轻定滑轮看作一系统。,系统所受合外力有重力m1g、m2g,这两个力对轴 的力矩分别为m1gR、m2gR;支撑力N通过转轴,对轴的力矩为零。加上阻力矩Mf,系统所受合外力矩为(顺时针为正),根据角动量定理,解得,系统的角动量包括,m1:Rm1vm2:Rm2v,系统的总角动量为,L=Rm1v+Rm2v,【补充例】二球质量均为m，轻绳，光滑水平面，求：运动规律及绳中张力。,解：水平方向动量守恒,质心作匀速直线运动,系统相对质心角动量守恒,
21、小球绕质心作匀速圆周运动,绳中的张力,【补充例】三球质量均为m，轻杆，光滑水平面，对心弹性碰撞,分析其运动情况。,解：系统动量、角动量、机械能均守恒,？,相对哪个参考点？,【补充例】同轴圆筒(Ma、Mb)均可自由转动,外筒开始静止。内筒开有许多小孔,内表面散布着一薄层沙(M0),以w0匀速转动,沙飞出并附着在外筒内壁。单位时间喷出沙的质量为k,忽略沙的飞行时间,求t时刻两筒角速度。,解：以内筒与沙作为系统，角动量守恒,以喷出的沙与外筒作为系统，角动量守恒,2.有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其上一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度在距孔为R 的圆周上转动，
22、今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体,A）动能不变，动量改变。B）角动量不变，动量不变。C）动量不变，动能改变。D）角动量不变，动能、动量都改变。,课堂练习,1 质点系的内力可以改变 A）系统的总质量。B）系统的总动量。C）系统的总动能。D）系统的总角动量。,O,Q,m,圆锥摆，已知小球作水平匀速圆周运动。那么,课堂练习,A）小球 m 对参考点O的角动量守恒。,B）小球 m 对参考点Q的角动量守恒。,C）小球 m 对任何参考点的角动量守恒。,2.4 对称性与守恒定律,2.4.1 对称性,德国数学家魏尔（H.Weyl）,对称性：系统在某种变换下具有的不变性。,镜面反演对称性,镜面反演：对平面直角坐标系
23、，仅取x到-x（或y到-y，或z到-z）的变换。,一个系统若在镜面反演变换下保持不变，则称这一系统具有镜面反演对称性。,空间平移对称性,系统在空间平移，即在,变换下具有的不变性。,轴转动对称性（轴对称性）,系统在绕着某直线轴作任意角度旋转的变换下具有的不变性。,空间反演对称性（点对称性）,系统在空间反演，即在,变换下具有的不变性。,点转动对称性（球对称性）,系统在绕着某点作任意旋转的变换下具有的不变性。,R,R,电场强度,半径,均匀带电球体相对球心具有球对称性，它的空间场强分布也具有此种对称性。,时间变换对称性,一维的时间只能改变方向和平移，只有两种变换。,时间反演对称性：,时间平移对称性：,
24、物理定律的空间平移对称性 空间均匀性,意义：空间各位置对物理定律等价，没有哪一个位置具有特别优越的地位。物理实验可以在不同地点重复，得出的规律不变。,例如：在地球、月球、火星、河外星系进行实验，得出的引力定律（万有引力定律、广义相对论）相同。,对称性的基本概念,2.4.2 物理定律的对称性,物理定律的时间平移对称性时间均匀性,意义：物理定律不随时间变化即为物理定律具有时间平移对称性。物理实验可以在不同时间重复，其遵循的规律不变。,物理定律的镜面反演对称性：,如果在镜象世界里的物理现象不违反已知的物理规律，则支配该过程的物理规律具有镜面反演对称性。,力学规律、电磁学规律满足镜面反演对称性！,Em
25、my Noether(1882-1935),诺特最伟大的女数学家,2.4.3 对称性与守恒定律,由对称性导致守恒量，是伟大的德国女数学家Noether 的思想，数学家外尔曾经这样开玩笑：“女数学家有两种，一种不是女的，一种不是数学家”。没有问题，Noether 肯定是一个数学家，她一辈子没有结婚，把全部精力投身给了近世代数。,诺特定理：论证了对称性与守恒律之间存在的普遍联系,连续变换的对称性都对应一条守恒定律,如果重力势能Ep=mgh随时间变化,例如:白天g大，晚上g小，则可晚上抽水贮存于h高度处，白天利用水的落差作功，可获得能量赢余。,时间平移的对称性意味着时间的均匀性，表示系统的势函数与时间无关，这将导致能量守恒。,讨论一维情况：,对两个粒子的保守系统有：,用泰勒级数展开,如果系统对于时间平移是对称的，那么系统的能量一定守恒。能量守恒定律,系统的势函数与时间无关，能量守恒。,空间平移对称性,动量守恒定律,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,
