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1、角平分线类问题常用思路总结1、 轴对称性：内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图，2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形3、 定义：带来角相等。4、 补充性质：如图，在ABC中，AD平分BAC，则有AB:AC=BD:DC针对性例题：例题1：如图，AB=2AC,BAD=DAC,DA=DB 求证：DCAC图12例题2：如图，在ABC中，A等于60，BE平分ABC，CD平分ACB求证：DH=EHBACDE图1例题3：如图1，BCAB，BD平分ABC，且A+
2、C=1800，求证：AD=DC：BACDEF图2思路一：利用“角平分线的对称性”来构造因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形证法1：如图1，在BC上取BE=AB，连结DE，BD平分ABC，ABD=DBE，又BD=BD，ABDEBD（SAS），A=DBE，AD=DE，又A+C=1800，DEB+DEC=1800，C=DEC，DE=DC，则AD=DCBACDE图3证法2：如图2，过A作BD的垂线分别交BC、BD于E、F，连结DE，由BD平分ABC，易得ABFEBF，则AB=BE，BD平分ABC，BD=BD，ABDEBD（SAS），AD=
3、ED，BAD=DEB，又BAD+C=1800，BED+CED=1800，C=DEC，则DE=DC，AD=DC说明：证法1，2，都可以看作将ABD沿角平分线BD折向BC而构成全等三角形的证法3：如图3，延长BA至E，使BE=BC，连结DE， BD平分ABC，CBD=DBE，又BD=BD，CBDEBD（SAS），C=E，CD=DE，又BAD+C=1800，DAB+DAE=1800，E=DAE，DE=DA，则AD=DC说明：证法3是CBD沿角平分线BD折向BA而构成全等三角形的思路二：利用“角平分线的性质”来构造由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以过角平分线上一点向角的两边
4、作垂线而构成两个全等的直角三角形证法4：如图4，从D分别作BC、BA的垂线，垂足为E、F，BD平分ABC，DE=DF，又BAD+C=1800，BAD+FAD=1800，FAD=C，FADECD（AAS），则AD=DCBACDFE图4例题4 已知：如图5，在ABC中，C=90,AC=BC,AD平分CAB.求证：AC+CD=AB 证明：在AB上截取AE=AC，AD平分CAB，CAD= DAB，AD=AD，CADEAD，DEA=90，C=90，AC=BC，B=45，B=BDE=45DE=BE，AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB，即AC+CD=AB.例题5已知：如图6，在RtABC中，C=90，
5、沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当A满足什么条件时，点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点. 解：当A=30时，点D恰为AB的中点.A=30，C=90(已知)，CBA=60(直角三角形两锐角互余).又BECBED(已知)，CBE=DBE=30，且EDB=C=90(全等三角形对应角相等)，DBE=A(等量代换).BE=AE(等角对等边)，又EDB=90，即EDAB，D是AB的中点(三线合一).角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于
6、F。求证：证明：延长BE交AC于点F。因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD为BAC的对称轴，又因为BEAD于F，所以点B和点F关于AD对称，所以BE=FE=BF，AB=AF，ABF=AFB。因为ABFFBC=ABC=3C，ABF=AFB=FBCC，所以FBCCFBC=3C，所以FBC=C，所以FB=FC，所以BE=FC=（ACAF）=（ACAB），所以。二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，1=2，P为BN上的一点，并且PDBC于D，ABBC=2BD。求证：BAPBCP=180。证明：经过点P作PEAB于点E。因为PEAB，PDBC，1=2，
7、所以PE=PD。在RtPBE和RtPBC中所以RtPBERtPBC（HL），所以BE=BD。因为ABBC=2BD，BC=CDBD，AB=BEAE，所以AE=CD。因为PEAB，PDBC，所以PEB=PDB=90.在PAE和RtPCD中所以PAERtPCD，所以PCB=EAP。因为BAPEAP=180，所以BAPBCP=180。三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段例题、如图所示，在ABC中，PB、PC分别是ABC的外角的平分线，求证：1=2证明：过点P作PEAB于点E，PGAC于点G，PFBC于点F因为P在EBC的平分线上，PEAB，PHBC，所以PE=PF。同理可证PF=
8、PG。所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分线，所以1=2。与三角形的角平分线有关的结论的探究三角形的内角和等于1800，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。应用以上定理和推论可以探究与三角形的角平分线有关的结论。从结论的探究过程中，希望同学们能从中得到有益的启示：在平时的数学学习中，要学会运用所学知识去探索新的结论，学会探究，从而不断地提高自己的数学发现与创新的能力，提高数学学习水平。探究一：在中，A，B的平分线交于点P，试探究BPC与A的关系？探究：因为BPC在BPC中，由三角形的内角和定理，有：而由BP，CP分别是ABC和ACB的角平分线知：PBC=，PCB=
9、所以而在在中，所以故有结论一：在中，A，B的平分线交于点P，则有。探究二：在中，BP是ABC的平分线，CP是ABC的外角ACE的平分线，试探究：BPC与A的关系？ 探究：由CP是ABC的外角ACE的平分线，所以有：BPC=PCEBPC又BP是ABC的平分线，CP是ACE的平线所以：PBC=，PCE=所以BPC=故有结论二：在中，BP是ABC的平分线，CP是ABC的外角ACE的平分线，则有：。探究三：在中，BP， CP分别是ABC的两个外角的平分线，试探究：BPC与A的关系？探究：因为BPC在BPC中，由三角形的内角和定理，有：由BP， CP分别是ABC的两个外角的平分线，有：PBC=，PCB=
10、而ABC+CBE=1800，ACB+BCF=1800，所以ABC+CBE+ACB+BCF=3600所以EBC+FCB=3600（ACB+ABC）所以故有结论三：在中，BP， CP分别是ABC的两个外角的平分线，则有。线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 角平分线的性质定理及其逆定理 一、选择题1.下列说法，错误的是（ ）A.三角形任意两个角的平分线的交点到这个三角形的三边的距离都相等B.三角形任意两个角的平分线的交点必在第三个角的平分线上C.三角形两个角的平分线的交点到三角形的三个顶点的距离都相等D.三角形的任意两个角的平分线的交点都在三角形的内部2.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上
11、，则这个三角形是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定3.如图所示，在中，的中垂线交斜边于，则图中有多少个角等于（）A2个B3个C4个D5个4.等腰两腰，的垂直平分线交于点，下列各式不正确的是（）AB平分CD5.已知中，的垂直平分线交于，和的周长分别是60cm和38cm，则的腰长和底边的长分别是（）A24cm和12cm B16cm和22cm C20cm和16cmD22cm16cm6.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则CBD的度数为（）A60B75C90D957.若三条角平分线的交点到三顶点的距离相等，则该三角形一定为（）A等腰三角形，但不一定是等边三角形B直
12、角三角形C等腰直角三角形D等边三角形8. 如图，ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB，DFAC，E、F为垂足，在以下结论中：ADEADF；BDECDF；ABDACD；AE=AF；BE=CF；BD=CD其中正确结论的个数是（）ABCDEFA1B2C3D49.已知点在的平分线上，cm，那么点到边，的距离分别是（）A5cm，cmB4cm，5cm C5cm，5cmD5cm，10cm10.如图，ABC中，C=90，BD平分ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=BD，且DE=1.5cm，则AC等于（）A3cmB7.5cmC6cmD4.5cmBCDEA二、填空题1.已知线段AB和它外一点P，若
13、PA=PB，则点P在AB的_；若点P在AB的_，则PA=PB2.如图，中，是的垂直平分线交于，则CA3. 如图，垂直平分线段于点的平分线交于点，连结，则的度数是 4.如图所示，在中，是的垂直平分线，则的长度为5.在锐角三角形中，两边的垂直平分线相交于点，则的度数是6.中，平分，交于，若，则到的距离是7.的三边长分别为3cm、4cm、5cm，若为三内角平分线交点，则点到斜边的距离等于8.如图，已知平分，平分，且过点，若，则的周长是9.如图，是的平分线，于，则的长是10.如图，中，平分交于，于，且，则的周长是三、解答题1.如图所示，直线，表示两条相互交叉的公路点，表示两个蔬菜基地现要建立一个蔬菜批
14、发市场，要求它到两个基地的距离相等，并且到公路，的距离相等，请你作图说明此批发市场应建在什么地方？2. 如图中，的垂直平分线交于，求证：3.用三角尺画角平分线：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则这条射线即为角平分线请解释这种做法的道理你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道理4.如图所示，已知是的角平分线，垂足分别是，求证：垂直平分四、探索题1.如图，在中，是的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性（证明你的猜想需要用题中所有的条件）2.如图所示，在等腰中，（1）请你
15、作出两腰的垂直平分线（2）若边的垂直平分线与，分别交于点，边上的垂直平分线与，分别相交于点，则是什么形状？你能证明吗？（3）连结，DG与BC有什么关系？（4）若，试求的周长习题21如果三角形内的一点到三边的距离相等，则这点是（ ）CA.是三条边中垂线的交点B.是三角形三条边的中线的交点C.是三角形三个内角平分线的交点D.是三角形三条边上的高的交点CABEF2.如图，ABC中，CAB=120，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则EAF等于（）CA40B50C60D80 3.如果的边的垂直平分线经过顶点，与相交于点，且，则中必有一个内角的度数为（）DABCD4.如图，Rt，平分，于，则下
16、列结论中不正确的是（）BA B平分C平分 D5.等腰三角形内有一点到底边的两端点距离相等，则连结顶点和的直线一定把底边垂直平分5.如图，在中，垂直平分交于点，交于点，已知，求的度数解：设，则，而，6.如图所示，是的平分线，于，于，且求证：证明：是的平分线，（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）又，7.如图，已知在中，点是斜边的中点，交于求证：平分证明：是的中点，又，又，RtRt（），平分角平分线性质定理之应用 三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明一、由角平分线的性质联想两线段相等EMDFCBA图1例
17、1 如图1，ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：BE=CF证明 连结DB，DCD在A的平分线上，DE=DFD在BC的垂直平分线上，BD=DC又BED=CFD=90，RtBDERtCDF，BE=CF二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形例2 如图2，BCAB，BD平分ABC，且AD=DC求证：A+C=180证明 延长BA至F，使BF=BC由BD平分ABC在FBD与CBD中，BF=BC ABD=CBD BD=BDFBDCBD，FDCBA图2C=F，DF=CD=AD，F=DAF，A+C=BAD+DAF=180三、过角平分线上一点作一边的平行
18、线，构成等腰三角形例3 已知：如图3，ABC的平分线BF与ACB的平分线CF相交于点F，过F作DEBC，交AB于D，交AC于E，求证：BD+CE=DEEFCBDA图3证明：BF是ABC的平分线 DBF=CBF 又DEBC DFB=CBFDBF=DFBBD=FD，同理CE=FEBD+CE=DF+FE=DE四、实际生活中的应用 角平分线携“截长补短”显精彩 例1 如图1-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：D=AD+BC.图1-1证明：在CD上截取CF=BC，如图1-2在FCE与BCE中，图1-2FCEBCE（SAS）,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180，
19、DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE与ADE中，FDEADE（ASA），DF=DA， CD=DF+CF，CD=AD+BC.例2 已知，如图2-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180.图2-1分析：证两个角的和是180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图2-21=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中，图3-22-2图3-1RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，A
20、B+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE与RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180例3 已知：如图3-1，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）图3-2延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图3-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.图3
21、-3方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图3-3在AFD与ACD中,AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD. 角平分线问题中的一题多解如图1所示，在ABC中，C=2B，1=2。求证：AB=ACCD。证法一：截取法。就是在较长的线段中截取一段与求加法运算的两条线段中的一条相等，然后证明另一段等于加法运算的另一条线段。如图2所示，在AB上截取AE=AC，连结DE。图2在AED和ACD中所以AEDACD，所以ED=CD，3=C。因为3=B4，C=2B，所以B=4，所以BE=DE。所以AB=AEBE=A
22、CDE=ACCD。证法二、补短法。就是在较短的一条线段的基础上通过延长在截取的方法将求和的两条线段连结在一起。本种方法是延长AC，再在延长线上截取CF=CD。如图3所示，延长AC到点F，使CF=CD，连结DF。图3因为CF=CD，所以3=F。因为ACB=3F，所以ACB=2F。又因为ACB=2B，图5所以B=F。在ABD和AFD中所以ABDAFD，所以AB=AF。因为AF=ACCF=ACCD，所以AB= ACCD。图4第三种方法：也是属于补短法，本种方法是延长DC，再在延长线上截取CM=AC。证明：延长DC，在DC的延长线上截取CM=AC，连结AM。因为因为CM=CA，所以3=M。 因为ACB=3M，所以ACB=2M=23。又因为ACB=2B，所以B=M=3，所以AB=AM。因为4=B1，DAM=23，1=2所以4=DAM，所以AM=DM=DCCM=DCAC，所以AB=DCAC。图3练习：如图5所示，在ABC中，BC边的垂直平分线DF交BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DEAB于E，并且ABAC。求证：BEAC=AE。
