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1、高等数学,由杨艳制作,第四章 一元积分学,4.6 定积分的应用,4.6.1 微元法,4.6.2 定积分在几何中的应用,*4.6.3 定积分在物理中的应用,*4.6.4 定积分在经济中的应用,4.6.5 小结,回顾 曲边梯形求面积的问题,4.6.1 微元法,解决步骤:,1)大化小.,在区间 a,b 中任意插入 n 1 个,.用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2)常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,分点,3)近似和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,分析：,在上述问题注意到:所求量(即面积)A满足：,1.与
2、区间a,b及a,b上连续函数f(x)有关;,2.对a,b具有可加性，即,3.局部量，且误差为.,表示为,什么问题可以用定积分解决?,1)所求量 F是与区间a,b上的某分布f(x)有关,2)F在区间a,b上具有可加性,即可通过,“大化小,常代变,近似和,取极限”,定积分定义,的一个整体量；,如何应用定积分解决问题?,第一步 利用“化整为零,以常代变”求出,微分表达式,第二步 利用“积零为整,无限累加”求出,积分表达式,这种分析方法成为微元分析法，简称微元法.,整体量的精确值,局部量的近似值,直角坐标系下求平面图形面积,4.6.2 定积分在几何中的应用,4.6.2.1 平面图形的面积,（演示）,1
3、.由x=a,x=b,y=0 及 y=f(x)(f(x)0)所围成,的平面图形的面积为,2.由x=a,x=b,y=0 及 y=f(x)所围成的平面图,形的面积为,X型平面图形,Y型平面图形,定理1 若函数f(x)和g(x)在a,b上连续且总有,，则由两条连续曲线y=f(x),y=g(x),与两条直线x=a,x=b所围成的X型平面图形的,面积为：,定理2 若函数f(x)和g(x)在a,b上连续，则由,两条连续曲线y=f(x),y=g(x)与两条直线x=a,x=b,所围成的X型平面图形的面积为：,定理3 若函数、在c,d上连续，,图形的面积为：,与两条直线y=c,y=d所围成的Y型平面,定理4 若函
4、数、在c,d上连续，,线y=c,y=d所围成的Y型平面图形的面积为：,则由两条连续曲线、与两条直,例1 求由曲线 以及直线 所围的平面图形的面积.,解：这是一个Y型平面图形，,可解得曲线的交点为：,(1,-1)，(4,2),例2 求由曲线 以及 所围的平面图形的面积.,解：这是一个X型平面图形，,可解得曲线的交点为：,(1,-1)，(0,0),(2,4),极坐标系下求平面图形面积,及射线 围成，则面积为：,定理5 设一平面图形由连续曲线,解 由对称性，只需求出上半部分的面积,极坐标系下两曲线的方程分别为,交点坐标为：,交点为：，,由对称性可得：,解,参数方程形式下求平面图形面积,定理6 设一平
5、面图形的边界方程为,且、可导，则该平面图形的,面积为：,所围成的面积,平行截面面积已知的体积计算,4.6.2.2 空间几何图形的体积,定理7 设有一空间几何体，该立体位于平面,x=a和x=b之间.已知垂直x轴的截面面积函数,为A(x)，且A(x)在a,b上连续，则该几何体,的体积为,解 由已知，取底圆的一条直径为x轴，在底圆,则该底圆,例6 已知一几何体的底面是以5为半径的圆，用垂直于底圆的平面去截该几何体，截得的截面是等边三角形，求该几何体的体积,上取一条垂直于x轴的直径作为y轴，,的方程为.,在-5,5之间任取一点x，,过该点的截面面积为,由平面图形D绕定直线l旋转一周生成的几何形体称为旋
6、转体，定直线称为旋转轴,示例：圆锥、圆柱、圆台、等都是旋转体.,旋转体的体积计算,（演示1）,（演示）,（演示2）,推论1 连续曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围,成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成的旋转体体积,为,（演示）,围成的曲边梯形绕y轴旋转一周生成的旋转体体,积为,推论2 连续曲线 与直线y=c,y=d及y轴所,（演示）,成的图形分别绕x轴、y轴旋转所成的立体的体,积.,解,绕x 轴旋转所得立体的体积为,绕y轴旋转所得立体的体积为,4.6.2.3 平面曲线的弧长,直角坐标系下求曲线的弧长,定理8 设y=f(x)在a,b上存在连续导数，则该函数在a,b上的曲线弧长为,例8 求对
7、数曲线y=lnx在区间1,3上的弧长.,解,参数方程形式下求曲线的弧长,例9 求旋轮线 一拱()的弧长.,极坐标系下求曲线的弧长,定理10 设 是 的连续可导函数,则曲线 的弧长为,例10 求阿基米德螺线的弧长.,解,4.6.3.1 质心,*4.6.3 定积分在物理中的应用,现有一均匀薄片,由曲线,，,及直线x=a,a=b所围成，且.薄片的,面密度为常数，则其质心 为,例11 求密度均匀的直角三角形薄片的质心,取坐标系如图所示,直线AB的方程为,解,故质心坐标为,4.6.3.2 变力做功,如果物体在运动过程中所受的力是变化的，,之间满足y=F(x)，则此力将物体从x=a移动到,x=b所做的功为
8、,设做直线运动的物体所受的力与移动的距离x,例12 用铁锤将铁钉击入木板设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm，如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？,4.6.3.3 液体静压力,例13设半径为R，的圆形水闸门与水面垂直置,于水中，水面与闸顶齐，求闸门所受的总压力,4.6.3.4 引力,例14 设有一长度为l，质量为M的均匀细直棒，,另有一质量为m的质点与细直棒在同一条直线,上，它到细直棒的近端距离为a，试计算该棒,对质点的引力,*4.6.4 定积分在经济中的应用,例15 设某货物去年各月的存货量可用下式表达,其中t表示月份
9、，I(t)表示在t月份的存货量.,试求去年第二季度平均存货量（单位：吨）,例16 某公司每个月生产x台电视机，边际利润,（以美元为单位）由下式给出：,目前公司每月生产1500台电视机，并计划提高,产量，试求出每月生产1600台电视机时，利润,增加了多少？,1.微元法的提出、思想、步骤.,（注意微元法的本质）,4.6.5 小结,2.定积分在几何中的应用,平面图形的面积,边界方程,极坐标方程,直角坐标方程,参数方程,已知平行截面面积函数A(x)的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴:,绕 y 轴:,平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,注意:求弧长时积分上下限必须上大下小,3.定积分在物理中的应用,质心 变力做的功 液体静压力 引力,4.定积分在经济中的应用,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,
