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1、第五章 多元函数微分法及其应用,1.多元函数的基本概念2.偏导数3.全微分及其应用4.多元复合函数的求导法则5.隐函数的求导公式6.微分法在几何上应用7.多元函数的极值及其求法,主 要 内 容,基本要求,1、理解多元函数的概念，了解二元函数的极限、连续性等概念；2、理解偏导数、高阶偏导数和全微分的概念，了解偏导数的几何意义、全微分 存在的充分和必要条件和高阶混合偏导数与求导次序无关的条件；3、掌握多元复合函数的求导法则，会求隐函数（包含由方程组确定的隐函数）的偏导数；,基本要求（续）,4、理解多元函数的极值和条件极值的概念，会求多元函数极值、最值，熟悉条件极值与拉格朗日乘数法；,作业,一 1,
2、3,5,7,8,10,12,13二 1（1）（3）；2（3）；3（1）（3）（5）（7）；4（1）；5；7（1）（3）；8（1）（3）（5）；9（1）（3）；10（1）（3）；12（1）；13（1）；14；16；17；18（1）（3）；19（1）；20,（1）邻域,一、区域,第一节 多元函数的基本概念,（2）区域,例如，,即为开集,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（3）聚点（补充）,1.内点一定是聚点；,说明：,2.边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点,3.点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,
3、例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（4）n维空间,1.n维空间的记号为,说明：,2.n维空间中两点间距离公式,3.n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,设两点为,（1）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,二、多元函数概念,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,（2）二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,三、多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,例3 求极限,解,其中,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,不存在.,观察,确定极限不存在的方法：,利用点函数的形式有,四、多元函数的连续性,定义3,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,例,解,课堂思考题,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取,
