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1、Mathematica入门教程Mathematica的基本语法特征 如果你是第一次使用Mathematica，那么以下几点请你一定牢牢记住： Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名。 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以大写英文字母开头，如Sinx,Conjugatez等。 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 32*36 ,x y,2 Sinx等；乘幂可以用“”表示，如x0.5,Tanxy。 自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。 当你赋予变量任何一个值，除非你明显地
2、改变该值或使用Clear变量名或“变量名=.”取消该值为止，它将始终保持原值不变。 一定要注意四种括号的用法：()圆括号表示项的结合顺序，如(x+(yx+1/(2x);方括号表示函数，如Logx,BesselJx,1；大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如2x,Sin12 Pi,1+A,y*x；双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a2,3、1,2,31=1。 Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）。当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果。 一.数的表示及计算 1.
3、在Mathematica中你不必考虑数的精确度，因为除非你指定输出精度，Mathematica总会以绝对精确的形式输出结果。例如：你输入In1:=378/123，系统会输出Out1:=126/41，如果想得到近似解，则应输入In2:=N378/123,5,即求其5位有效数字的数值解，系统会输出Out2:=3.073 2，另外Mathematica还可以根据你前面使用的数字的精度自动地设定精度。Mathematica与众不同之处还在于它可以处理任意大、任意小及任意位精度的数值，如1007000,2(-2000)等数值可以很快地求出，但在其他语言或系统中这是不可想象的，你不妨试一试NPi,1000
4、。 Mathematica还定义了一些系统常数，如上面提到的Pi(圆周率的精确值)，还有E(自然对数的底数)、I(复数单位)，Degree(角度一度，Pi/180)，Infinity(无穷大)等，不要小看这些简单的符号，它们包含的信息远远大于我们所熟知的它们的近似值，它们的精度也是无限的。 二.“表”及其用法 “表”是Mathematica中一个相当有用的数据类型，它即可以作为数组，又可以作为矩阵；除此以外，你可以把任意一组表达式用一个或一组括起来，进行运算、存储。可以说表是任意对象的一个集合。它可以动态地分配内存，可以方便地进行插入、删除、排序、翻转等等几乎所有可以想象到的操作。 如果你建立
5、了一个表，你可以通过下表操作符(双方括号)来访问它的每一个元素，如我们定义table=2,Pi,Sinx,aaa,A*I为一个表，那么table1就为2，table2就是Pi，而table3,1表示嵌套在table中的子表aaa,A*I的第一个元素即aaa，table3,2表示aaa,A*I第二个元素即A*I。总之，表每一层次上并列的部分用逗号分割，表可以无穷嵌套。 你可以通过Append表,表达式或Prepend表,表达式把表达式添加到表的最前面或最后面，如Append1,2,3,a表示1,2,3,a。你还可以通过Union表1，表2，.,Jion表1,表2,.来把几个表合并为一个表，二者不
6、同在于Union在合并时删除了各表中重复的元素，而后者仅是简单的合并；你还可以使用Flatten表把表中所有子表抹平合并成一个表，而Patition表，整数n把表按每n个元素分段作为子表，集合成的表。如Flatten1,2,Sinx,dog,y表示1,2,Sinx,y,而Partition1,2,Sinx,y,2把表每两个分段，结果为1,2,Sinx,y；还可以通过Delete表，位置、Insert表，位置来向表中按位置插入或删除元素，如要删除上面提到的table中的aaa,你可以用Deletetable,3,1来实现；Sort表给出了表中各元素的大小顺序，Reverse表、RotateLef
7、t表，整数n、RotateRight表，整数n可以分别将一个表进行翻转、左转n个元素、右转n个元素等操作，Length表给出了表第一个层次上的元素个数，Position表，表达式给出了表中出现该表达式的位置，Count表，表达式则给出表达式出现的次数。各种表的操作函数还有很多，这里就不再一一介绍了。三.图形函数 Mathematica的图形函数十分丰富，用寥寥几句就可以画出复杂的图形，而且可以通过变量和文件存储和显示图形，具有极大的灵活性。 图形函数中最有代表性的函数为Plot表达式，变量，下限，上限，可选项，(其中表达式还可以是一个表达式表，这样可以在一个图里画多个函数)；变量为自变量；上限
8、和下限确定了作图的范围；可选项可要可不要，不写系统会按默认值作图，它表示对作图的具体要求。例如PlotSinx,x,0,2*Pi,AspectRatio-1表示在0xx0 x-x0时函数的极限Limitexpr,x-x0,Direction-1 x-时函数的极限Limitexpr,x-x0, Direction-1 x-时函数的极限In1:= Out1:=1. 微商和微分在Mathematica中能方便地计算任何函数表达式的任意阶微商(导数).如果f是一元函数,Df,x表示;如果f是多元函数,Df,x表示.微商函数的常用形式如下:Df,x Df,x1,x2, fDf,x,n In1:=Dxx,
9、xOut1:= 下面列出全微分函数Dt的常用形式及其意义:Dtf 全微分 Dtf,x 全导数 Dtf,x1,x2, 多重全导数In1:=Dtx2+y2Out1:= . 不定积分和定积分1. 不定积分Integreate函数主要计算只含有1“简单函数”的被积函数. “简单函数”包括有理函数、指数函数、对数函数和三角函数与反三角函数。不定积分一般形式如下：Integratef，x 计算不定积分Integratef，x，y 计算不定积分Integratef，x，y，z 计算不定积分In1：= Out1：= In2：= Out2：= 2定积分 计算定积分的命令和计算不定积分是同一个Integrate函
10、数，在计算定积分时，除了要给出变量外还要给出积分的上下限。当定积分算不出准确结果时，用N%命令总能得到其数值解.Nintegrate也是计算定积分的函数,其使用方法和形式和Integrate函数相同.用Integrate函数计算定积分得到的是准确解,Nintegrate函数计算定积分得到的是近似数值解.计算多重积分时,第一个自变量相应于最外层积分放在最后计算.Integratef,x,a,b 计算定积分NIntegratef,x,a,b 计算定积分Integratef,x,a,b,y,c,d 计算定积分NIntegratef,x,a,b,y,c,d 计算定积分In1:= Out1:= In2:
11、= Out2:= In3:= Out3:= . 幂级数幂级数展开函数Series的一般形式:Seriesexpr,x,x0,n 将expr在x=x0点展开到n阶的级数Seriesexpr,x,x0,n,y,y0,m 先对y展开到m阶再对x展开n阶幂级数用Series展开后,展开项中含有截断误差In1:= Out1:= In2:= Out2:= In3:= Out3:= . 常微分方程求解常微分方程和常微分方程组的函数的一般形式如下:Dsolveeqns,yx,x 解y(x)的微分方程或方程组eqns,x为变量Dsolveeqns,y,x 在纯函数的形式下求解NDsolveeqns,yx,x,x
12、min,xmax 在区间xmin,xmax上求解变量x的数的形式下求解常微分方程和常微分方程组eqns的数值解In1:= Out1:= In2:= Out2:= In3:= Out3:=.线性代数1. 定义向量和矩阵函数定义一个矩阵,可用函数Table或Array.当矩阵元素能用一个函数表达式时,用函数Table在定义矩阵大小的同时也给每个矩阵元素定义确定的值.用函数Range只能定义元素为数值的向量.Array只能用于定义向量、矩阵和张量,并规定矩阵和张量的元素下标从1开始.Array的一般形式:Array向量元素名,n,f定义下标从f开始的有n个元素的向量,当f是1时可省略.Array矩阵
13、元素名,m,n定义m行n列的矩阵.其中:矩阵元素名是一个标识符,表示矩阵元素的名称,当循环范围是u,v,w时定义一个张量.Table表达式f,循环范围表达式f表示向量或矩阵元素的通项公式;循环范围定义矩阵的大小.循环范围的一般形式:循环变量名,循环初值,循环终值,循环步长.在Array或Table的循环范围表示方法略有区别.请在下面的实例中注意观察.In1:= Out1:= (*矩阵每一行元素用一对括起来*)In2:= Out2:= In3:= (*IndentityMatrixn生成n维矩阵*)Out3:= In4:= (*生成对角元素为表元素的对角矩阵*)Out4:= In5:= (*Ta
14、bleFormm或MatrixFormm按矩阵形式输出m*)Out5:= 一个矩阵可用一个变量表示,如In2所示U是一个矩阵,则UI表示U的第I行的N个元素;TransposeUj表示U的第J行的M个元素;UI,j或aI,j表示U的第I行第J列元素;Ui1,i2,ip,j1,j2,jq表示由行为i1,i2,ip和列为j1,j2,jq组成的子矩阵.2. 矩阵的运算符号和函数表达式意义A+cA为矩阵,c为标量,c与A中的每一个元素相加A+BA,B为同阶矩阵或向量,A与B的对应元素相加cAA为矩阵,c为标量,c与A中的每个元素相乘U.V向量U与V的内积A.B矩阵A与矩阵B相乘,要求A的列数等于B的行
15、数DetM计算矩阵M的行列式的值TranseposeMM的转置矩阵(或)InverseM计算矩阵M的逆矩阵()EigenvalusA计算矩阵A的全部(准确解)特征值 EigenvalusNA计算矩阵A的全部(数值解)特征值EigenvectorsA计算矩阵A的全部(准确解)特征向量EigenvectorsNA计算矩阵A的全部(数值解)特征向量EigensystemA计算矩阵A的所有(准确解)特征值和特征向量EigensystemNA计算矩阵A的所有(数值解)特征值和特征向量3. 方程组求解函数在Mathematica中用LinerSolveA,B,求解满足AX=B的一个解.如果A的行列式不为零
16、,那么这个解是方程组的唯一解; 如果A的行列式是零,那么这个解是方程组的一个特解,方程组的全部解由基础解系向量的线性组合加上这个特解组成.NullSpaceA计算方程组AX=0的基础解系的向量表,用LinerSolveA,B和NullSpaceA联手解出方程组AX=B的全部解.Mathematica中还有一个美妙的函数RowReduceA,它对A的行向量作化间成梯形的初等线性变换.用RowReduce可计算矩阵的秩,判断向量组是线性相关还是线性无关和计算极大线性无关组等工作.解方程组函数意义RowReduceA作行的线性组合化简A,A为m行n列的矩阵LinerSolveA,B求解满足AX=B的
17、一个解,A为方阵NullSpaceA求解方程组AX=0的基础解系的向量表, A为方阵例:已知A=,计算A的秩,计算AX=0的基础解系.In1:= In2:= Out2:= (*显然,A的秩是2*)In3:= Out3:= (*A的两个线性无关解*)五.程序流程控制 作为一种语言，Mathematica提供了分支、循环、跳转等程序控制语句，如Iftest,block1,block2表明满足条件test，则执行语句块block1,否则执行block2；Switchexpr,test1,block1,test2,block2,.表示如果表达式expr的值等于第i个testi的值，则执行语句块bloc
18、ki。 循环语句有For赋初值，循环条件，增量语句，语句块表示如果满足循环条件，则执行语句块和增量语句，直到不满足条件为止，Whiletest,block表明如果满足条件test则反复执行语句块block,否则跳出循环，Doblock,i,imin,imax,istep与前者功能是相同的。还有Gotolab, Labellab提供了程序中无条件跳转，Continue和Break提供了继续循环或跳出循环的控制，Catch语句块1和Throw语句块2提供了运算中对异常情况的处理。另外，在程序中书写注释可以用一对(* *)括起来，注释可以嵌套。 六.其他 以上是对Mathematica语法的一些特点
19、做了一个很粗略的介绍，如果同学们对Mathematica感兴趣，你最好还是亲自使用一下。上机的过程中，希望你注意以下几点 1. 使用帮助，Mathematica的帮助文件提供了Mathematica内核的基本用法的说明，十分详细，可以参照学习。 2. 你可以使用? 符号名或?符号名来获得关于该符号(函数名或其他)的粗略或详细介绍。符号名中还可以使用通配符，例如?M*，则系统将给出所有以M开头的关键词和函数名，再如?For将会得到关于For语句的格式和用法的详细情况。 3. 在Mathematica的编辑界面中输入语句和函数，确认光标处于编辑状态(不断闪烁)，然后按Insert键来对这一段语句进
20、行求值。如果语句有错，系统将用红色字体给出 出错信息，你可以对已输入的语句进行修改，再运行。如果运行时间太长，你可以通过Alt+.(Alt+句号)来中止求值。 4. 对函数名不确定的，可先输入前面几个字母(开头一定要大写)，然后按Ctrl+K，系统会自动补全该函数名。 关于Mathematica我们就暂时介绍到这里，由于水平有限，只能介绍一些基本用法，有兴趣的同学可以多上机，自己摸索，一定会有收获的。当然，计算机是为我们服务的，我们不是为了学习而学习，而是应该把它当成一种有力的工具，应用与我们的日常学习、工作和生活中。希望Mathematica会为你将来的探索之路增添一份力量。 七.应用例子量子一维、二维简谐振子问题量子一维简谐振子图像量子二维简谐振子图像
