[数学]含参不等式恒成立问题.doc

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1、一、 判别式法:若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有（1）对恒成立;（2）对恒成立 注:恒成立;恒成立例：关于的不等式 对于恒成立，求的取值范围解:(1)当时，原不等式化为,不符合题意，.(2)当时,则的取值范围为例：若函数的定义域为R，求实数的取值范围解：(1)当时，满足条件.(2) 当时,则 . 综合(1)(2)得：的取值范围是例:已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。解：由题意得：不等式对恒成立，即有，解得。所以实数的取值范围为例：若不等式的解集为,求实数的取值范围.解: (1)当时,原不等式可化为,显然成立(2)当,则,得 综上(1)(2)

2、得：的取值范围.例：已知关于的不等式的解集为,求实数的取值范围.解:(1)若,则, 当时，原不等式可化为,显然成立; 当时，原不等式可化为,显然不成立.(2) 若,则, 综上(1)(2)得：的取值范围例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 . (*) （1）当| x | 2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；（2）当| m | 2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m -2,2）则 g(m)0恒成立 g(-2)=3x2-3x+30g(2)=-x2+x+30*若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题

3、。(如下例)Oxyx-1例：设，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则当时，恒成立当时，显然成立；当时，如图，恒成立的充要条件为：解得。 综上可得实数的取值范围为。二、最值法：将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：（1）恒成立（或的下界）（2）恒成立（或的上界）注：例：已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则由题可知对任意恒成立令，得而即实数的取值范围为。例：函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得而抛物线在的最小值得注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。（3）分离

4、参数法（或分离变量法）若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立实际上，上题就可利用此法解决。略解：在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。 例：已知函数时恒成立，求实数的取值范围。解： 将问题转化为对恒成立。令，则由可知在上为减函数，故即的取值范围为。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。（4）变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次

5、、简化。例：对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。（1）当时，可得，不合题意。（2）当时，应有解之得。故的取值范围为。注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。（5）数形结合法：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，1）函数图象恒在函数图象上方；2）函数图象恒在函数图象下上方。例：设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围. x-2-4yO-4解：在同一直角坐标系中作出及 的图象 如图所示，的图象是半圆 的图象是平行的直线系。要使恒成立，则圆心到直线的距离满足 解得（舍

6、去)10不等式有解问题*不等式恒成立与有解的区别：不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团.（1）f(x)k在xI时恒成立xI.（2）f(x)k在xI时恒成立xI.（4）f(x)k在xI时有解xI. 例：已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数.（1）对任意x-3，3，都有f（x)g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1x2-3，3，都有f（x1)g(x2)，求k的取值范围.解： （1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x

7、2-3x2-12x+k，问题转化为x-3，3时，h(x)0恒成立，故h(x)0.令h (x)=6x2-6x-12=0，得x= -1或2.由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h(x)=-45+k，由k-450，得k45.（2）据题意：存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)0在x-3，3有解，故h(x)0，由（1）知h（x）=k+7，于是得k-7.（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1x2-3，3，都有f（x1)g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在

8、-3，3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：，由g(x)=6x2+10x+4=0，得x=-或-1，易得，又f(x)=8(x+1)2-8-k，. 故令120-k-21，得k141.点评 本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件.1. 函数性质法（1）一次函数：给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像（直线）可得上述结论等价于）或），亦可合并成，如图1所示.同理，若在内恒有，则有.图1【例1】（2007年辽宁卷文22)已知函数，且对任意的实数 均有，.() 求函数的解析式；()若对任意的，恒有，求的取值范围.解析

9、()略（）由()，所以.令，则 即.由于，则有.解得.（2）二次函数：给定二次函数，若大于0恒成立，则有，如图2所示.（注：恒成立）图2若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【例2】（2007年 江苏卷9)已知二次函数的导数为，对于任意实数都有，则的最小值为（ ）ABCD解析由题意知.所以（当且仅当时取“=”号）.【例3】（2007年重庆卷理13)若函数的定义域为，则的取值范围为 解析已知函数的定义域为，即在恒成立，也即恒成立，所以有.解得.【例4】（2007年陕西卷理20）设函数，其中为实数.()若的定义域为,求的取值范围； ()当的定义域为时，

10、求的单减区间.解析()（解法同例3） ()略（3）其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）.【例5】（2007年山东卷理22)设函数,其中.()当，判断函数在定义域上的单调性；()求函数的极值点；（）证明对任意的正整数,不等式 ) 都成立.解析()、（）略（III） 当时，.令，则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有.对任意正整数，取得 .【例6】（2007年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中、为常数.（）试确定、的值；（）讨论函数的单调区间；（）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.解析()、（）略（

11、III）由（）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，从而.解得或.所以的取值范围为.【例7】（2007年浙江卷理22)设，对任意实数，记.（）求函数的单调区间；（）求证：当时，对任意正实数成立；有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立.解析()略（）令，则，当时，由得.当时，；当时，.所以在内的最小值是.故当时，对任意正实数成立.【例8】（2007年福建卷理22)已知函数，. （）若，试确定函数的单调区间；（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（III）设函数，求证：.解析()、（III）略（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得当时，此时在上单

12、调递增故，符合题意当时， 当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又,综合，得，实数的取值范围是【例9】（2007年安徽卷 理18)设，（）令，讨论在内的单调性并求极值；（）求证：当时，恒有解析()略（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有（4）函数的奇偶性、周期性：为奇函数恒成立；为偶函数恒成立；为周期函数恒成立.【例10】（2007年宁夏卷理14)设函数为奇函数，则 解析因为函数为奇函数，所以恒成立，即恒成立恒成立恒成立，故2. 分离参数法将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：或或恒成

13、立的形式.则恒成立的范围是的值域；恒成立；恒成立.若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.【例11】（2007年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .解析当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以，.【例12】（2007年江西卷理12)设在内单调递增，则是的（ ）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件解析由题意知在恒成立，则对任意的恒成立.时， 的最大值要小于-5 ，不妨设为 ，不可能推出，但由可推出.故答案B正确.【例13

14、】（2007年上海卷理19)已知函数，常数()讨论函数的奇偶性，并说明理由；()若函数在上为增函数，求的取值范围解析()略（）函数在上为增函数在上恒成立在上恒成立在上恒成立，即的取值范围为3. 数形结合法若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.【例14】（2007年安徽卷理3)若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）(A) (B) (C) （D） 解析如图3所示，由数形结合可得答案B正确.图3一 解集比较法集合A上恒成立的不等式意即不等式的解集以A为子集.据此,求出不等式

15、的解集并研究集合间的包含关系,进而求出参数取值范围的方法.此法较为原始,易使问题陷入困境.例1 已知|x-5/2|a时，不等式|x2-5|4恒成立，求正数a的取值范围.解 由|x-5/2|a,得5/2-axa恒成立等价于f(x)mina；不等式f(x)a恒成立等价于f(x)maxa.据此,可将恒成立的不等式问题转化为求函数的最大或最小值问题,从而使问题获解的方法.例2 若不等式对满足的一切m都成立，试求实数x的取值范围.分析 若将原问题转化为集合-2,2是原关于m的不等式的解集的子集,则不可避免地要分类讨论.若令,则可转化为函数f(m)在区间-2,2上的最大值小于零,而f(m)是“线性函数”或

16、“常数函数”，其最值在区间端点取得，故f（-2）0且f（2）0，解之得，x的取值范围是.例3 若不等式x2-m(4xy- y2)+4m2y20对一切非负实数x、y恒成立，试求实数m的取值范围.解 若y=0,则对任意实数m不等式都成立；若,则原不等式可化为.设,则且.问题转化为二次函数g(t)在区间上的最小值非负.故有或.由此解得,m的取值范围为.说明 二次函数的图象与性质是中学数学中的重点内容,利用二次函数在区间上的最值来研究恒成立问题,可使原本复杂的问题变得易于解决.三 分离参数法将参变元与主变元从恒不等式中彼此分离,可更简捷地实施“函数最值法”.例4 若不等式对一切正数x、y恒成立，求实数

17、a的取值范围.解 分离参数得:.,从而,即a的取值范围是.例5 定义在R上的奇函数f(x)是减函数,是否存在这样的实数m,使f(cos2+2msin)+f(-2m-2)f(0)对所有的0, 均成立?若存在,则求出所有适合条件的实数m;若不存在,试说明理由.解 由题意知,原不等式等价于: cos2+2msin cos2-2.若1-sin=0,则不论m为何值时不等式均成立；若1-sin0，则分离参数得：.令1-sin=t,则0 ymax知,所有适合不等式的m的取值范围是(-).说明 在求解本例时,若无分离参数的求简意识,则必转化为含参二次函数在区间上的最值问题,不可避免地要进行分类讨论.此外,诸多

18、恒成立的不等式问题通过参数分离后常可转化为函数的最值问题,其最值的求解通常用基本不等式或函数的单调性来完成.四 数形结合法将恒成立的不等式问题,合理地转化为一个函数的图象恒位于另一个函数图象的上（下）方，进而利用图形的直观性而使问题获得巧解的方法.例6 若不等式3|x+a|-2x+60对一切实数x都成立,试求实数a的取值范围.分析 尝试前述三种方法均较为麻烦,而将原不等式变形为|x+a|,并构造函数f(x)= |x+a|,g(x)= ,在同一坐标系内作出它们的图象(图略),借助于图形直观立知:-a-3,所求a的取值范围是(-3,+).例7 若函数的定义域为R，求实数a的取值范围.分析 f(x)

19、的定义域为R等价于在实数集R中恒成立,令t=|sinx|,则,且在上恒成立.至此,有解法1 转化为.此时,若呆板地去求二次函数g(t)在区间0,1上的最小值,则必分类讨论；而借助于二次函数图形直观分析思考后知:闭区间上开口向下的二次函数的最小值必在区间端点处取得,便有g(0)0且g(1)0,由此解得a值的范围是0,1.解法2 转化为,即在时,函数的图象恒在函数图象的上方,观察图形(图略)便知,.故a的取值范围为0,1.思想与方法“恒成立”问题是数学中常见的问题，经常与参数的范围联系在一起，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题。常用方法：（1）函数与方程方法。利用不等式与函数和方程之间的联系

20、，将问题转化成二次方程的根的情况的研究。有些问题需要经过代换转化才是二次函数或二次方程。注意代换后的自变量的范围变化。（2）分离参数法。将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：或或恒成立的形式。则的范围是的值域。恒成立 ；恒成立 。（3）若已知恒成立，则可充分利用条件（赋值法等）。范例选讲例1：已知不等式在区间2,3上恒成立，求实数m的取值范围。【分析】有哪些方法？答案： 例2：已知关于的方程恒有解，求实数的取值范围。【分析】做代换后变量的范围发生了什么变化？例3、（03广东江苏）解：(II). 用f(x)、f(x)表示f(x)在0,1上的最大值、最小值，则对任意x0,1,都有|f(x

21、)|1当且仅当 （*） 而 f(x)=-b(x+，（x0,1）当2b时，01，f(x)= ，f(x)=f(0)或f(1)；当2b1, f(x)= f(1)，f(x)=f(0)，于是(*) 或b-1a2或xb-1a2.例4：是否存在常数c，使得不等式 对任意正数x,y恒成立？试证明你的结论。训练题1(2002年全国高中数学联赛第12题)求使不等式sinxacosx a1cosx对一切xR恒成立的负数a 的取值范围。2(1990年全国高考题)设f(x)=lg,aR, nN且n2.若f(x)当x(-,1有意义，求a的取值范围.3（福建04）已知f(x)=(xR)在区间1，1上是增函数.（）求实数a的

22、值组成的集合A；（）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.4设 使得不等式 对一切实数x都成立，证明你的结论。 习题答案详解练习1 解：原不等即cosx（1a）cosxa0 (*)令cosx=t，由xR知t-1，1，于是(*)对一切xR恒成立当且仅当f(t)=t（1a）ta0 (*)对一切t-1，1恒成立，其充要条件f(t)在-1，1上的最大值f(t)0,而f(t)= f(1)或 f(-1)，因此(*)对一切t-1，1恒成立当且a-2 故所求的a的范

23、围为(-,-2.练习2、解：f(x)当x(-,1有意义，当且仅当12(n-1)n0 对x(-,1恒成立。即g(x)=a0，对x(-,1恒成立，而g(x)在(-,1上是减函数，其最小值为g(1)= a=(n1)a.于是g(x) 0对x(-,1恒成立当且仅当a0，即a。故所求a的范围为（，+）。练习3、解：（）f(x)= ，f(x)在1，1上是增函数，f(x)0对x1，1恒成立，即x2ax20对x1，1恒成立. 设(x)=x2ax2，方法一： 1a1，对x1，1，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f(-1)=0以及当a=1时，f(1)=0A=a|1a1. 方法二：或 0a1 或 1a0 1a1

24、.对x1，1，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f(1)=0以及当a=-1时，f(1)=0A=a|1a1.（）由=，得x2ax2=0， =a2+80x1，x2是方程x2ax2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=2，从而|x1x2|=.1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t1，1恒成立，即m2+tm20对任意t1，1恒成立. 设g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一： g(1)=m2m20，g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及

25、t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2.方法二：当m=0时，显然不成立；当m0时， m0，g(1)=m2m20 或 m0，g(1)=m2+m20 m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t-1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2.练习4：提示 假设存在，赋值法找到尽可能多的关系。 从而得到b=1,c=2.5-a等，然后用a表示f(x)再利用恒成立求a。1若关于x的不等式在R上恒成立，则a的最大值是（ ）A. 1 B. 0 C. -1 D. 22不等式恒成立，则的取值范围是 。3不等式对于满足的一切实数都成立，则的范围是 。4对一切实数，不等式0恒成

26、立，则实数的取值范围是 ( ) A、，2B、2，2C、2，D、0， 5对任意1,1，函数f(x)=x2+(a4)x+42a的值总大于零，则的取值范围是 ( ) A1x3 Bx3 C1x2 Dx26设函数（xR），若时，+恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A、（0，1） B、（-，0） C、， D、，三、例题例1:已知不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。例2： ， 当时恒成立，求的范围。例3：已知定义在上，且有，f（）= -1若数列满足 。（1） 求数列的通项公式（2） 是否存在整数，使不等式对任意恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由。例4： 上的奇函数，当时取得极小值。

27、（1） 求的单调区间和极大值；（2） 证明对任意，不等式恒成立四、课堂练习：1函数在上恒有，则的取值范围是 。2的不等式在上恒成立，则的取值范围是 。3.函数的定义域是一切实数，则的取值范围是 。4.对任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围是 。5. 若不等式对于任意实数x都成立，求的取值范围。6.若对任意实数x都有，求m的范围。7.）已知函数f(x)=,x. （1）当a=时，求函数f(x)的最小值； （3） 若对任意的x，恒成立，试求a的取值范围。8.已知（）若函数图象上任意两个不同点的连线斜率小于1，求证： （）若，函数上任一点切线斜率为，当时，求的取值范围。参考答案：训练反馈：1D 2.

28、 3. 4.C 5.B 6.D例题：1:、解：依题意，当， 当时，原不等式化为30，恒成立，当时，不合题意。解出，2等价于，即，即，故原问题等价于对恒成立。设，所以，而。3（1），即有，故。（2）在上是减函数，所以故。4（1），由条件，所以在上单调增；，所以在上单调减；，所以在上单调增；所以在处取极大值。（2）在上单调减，所以在上的最大值为，最小值为，故。课堂练习：1 2. 3. 4 .5.x|x=1或x36. 恒成立，即恒成立解得-11m9.7.解：（1）当时，在区间上为增函数， 在区间上的最小值为 （2）解法一在区间的上，的恒成立恒成立，设，递增，当时，于是当且仅当时，函数恒成立，故 解法

29、二，当时，函数的值恒为正，当时，函数递增，故当时，于是当且仅当时，函数恒成立，故 8.解（1）、设任意不同两点为，且，则（2）、当由题意：， 则或或解得：当时， 分离参数法(分离变量) 分离变量，巧妙求解所谓分离参数法也就是将参数与变量分离于表达式的两边，然后根据变量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2） 求在上的最大（或最小）值；（3） 解不等式(或) ，得的取值范围。适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函

30、数的最值易求出。解题原理：利用变量分离解决不等式的恒成立问题，利用大于一个变量则大于这个变量的最大值或这个变量的上界；小于一个变量则小于这个变量的最小值或这个变量的下界.主要是要把它转化为函数的最值问题. 这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式.例1（07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，求的取值范围.例2. 已知三个不等式，要使同时满足的所有的值满足，求的取值范围.例3. 若时，不等式恒成立，求范围.例4在ABC中，已知恒成立，求实数的范围。例5. 设，其中是实数，是任意给定的自然数且，若当 时有意义, 求的取值范围。例6. 已知函数在R上是减函数，对一

31、切不等式 成立，求实数的取值范围.例7. 已知定义在上函数为奇函数，且在上是增函数，对于任意， 恒成立，求实数范围。例8. 定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数的取值范围.变式一：条件改为：若对任意恒成立，例9. 关于的不等式对恒成立，则的取值的集合为什么？例10. 关于的不等式对在内恒成立，求的取值范围.例11.（09年山东卷文21）已知函数,其中（1） 当满足什么条件时,取得极值?（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.例12. （2005年湖北卷第17题）已知向量若函数在区间上是增函数，求的取值范围。例13. 设为常数，数列的通项公式为若对任意

32、不等式恒成立，求的取值范围。例14. 设,若满足不等式的一切实数，亦满足不等式，求正实数的取值范围.2 主参换位法（换主元）某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，将其看成关于已知范围的变量的不等式更为简单，常将已知范围的变量看作主变量（即，已知什么，就看做是什么的函数），化为关于已知范围的变量的不等式，再结合其它知识和对应的函数图像，得出其满足的条件，通过解不等式求解.，往往会取得出奇制胜的效果。例1. 对于（0，3）上的一切实数,不等式恒成立，求实数的取值范围。例2. 已知关于

33、的不等式，对恒成立，求实数的取值范围.例3. 若不等式对满足的所有都成立，求的范围.例4对于满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围.例5. 若对于任意，函数的值恒大于0，求的取值范围。例6. 函数是奇函数，且在上单调递增，又，若 对所有的都成立，求的取值范围 . （构造一次函数）例7.（07辽宁卷文科22)已知函数，且对任意的实数 均有，.() 求函数的解析式；()若对任意的，恒有，求的取值范围.例8. (08安徽文科20)已知函数，其中为实数（）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围（节选）3 构建函数法当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，可以通过构建函数来解决。

34、我们知道，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论解题，往往收到意想不到的效果。这里，我们主要介绍如何通过构造一次函数，二次函数模型，并利用它们的性质来确定参数的取值范围。（1） 构造一次函数策略二、一次函数型利用单调性求解给定一次函数若在 内恒有，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于），或 ） 可合并定成nmOxynmOxy同理，若在内恒有，则有例1. 若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围。（2） 构造二次函数策略三、二次函数型利用判别式,韦达定理及根的分布求

35、解对于二次函数1. 若是二次函数在实数集上恒成立问题，可利用判别式直接求解，即 恒成立； 恒成立.2. 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立在上恒成立例2若函数的定义域为，求实数的取值范围.例3. 已知函数，在上恒成立，求的取值范围.变式1：若时，恒成立，求的取值范围.变式2：若时，恒成立，求的取值范围.例4. 对于，恒成立，求实数M的范围。例5. 试确定实数的取值范围，使对一切实数，不等式恒成立.例6. (08年江西卷理12)已知函数和，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是

36、（ )A(0，2) B(0，8) C(2，8) D(，0)3、其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）.例7.（07年重庆卷理20)已知在处取得极值，其中、为常数.（1）试确定、的值； （2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。例8.（08天津文21）设函数，其中（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围（节选）例9.（09年全国卷II文21）设函数，其中常数（II）若当时，恒成立，求的取值范围。（节选）4 数形结合法 策略五、数形结合直观求解 某些含参不等式恒成立问题，既不能分离参数

37、求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法。辨正唯物主义认为：万物皆有形。所以从宏观上讲，抽象的数学问题必存在着形象的直观模型，这是因为数学问题本身就是客观世界事物的抽象。我们在解题时，可以有意识地去认识，挖掘和创造抽象的直观形象，变抽象为直观，充分运用直感，由数思形，以形辅数。数形结合往往能迅速而简捷地找到解题途径。对于解含参不等式恒成立问题，我们可以先把不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函数，且画出两函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。例1. 已知对于一切，不等式恒成立，求实数的取值范围。例2已知关于

38、的不等式对恒成立，求实数的取值范围.例3. 若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。例4. 对任意实数不等式恒成立，求实数的取值范围.变式对任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.对任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.恒成立的题型和解法还有很多，只要我们充分利用所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决. 只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力.含参不等式恒成立问题个例湖州中学 蒋一莉“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，含参不等式恒成立问题常运用等价转化的数学思想，根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论。例1、 设，（1） 当时，恒成立，求的取值范围；（2） 当时，恒成立，求的取值范围。分析：（1）当时，恒成立，即当时，恒成立即当时，恒成立实数需且只需，所以（2）方法一：当时，恒成立，即当时，恒成立而在上的最小值是由知或得方法二：当时，恒成立，即当时，恒成立即当时，恒成立的充要条件是 综合起来，得方法三：当时，恒成立，即当时，恒成立即当时，恒成立，分三种情况讨论评注：本例适宜用二次函数的最值来处理，不宜用参变