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1、 题 目 矩阵逆的判定及求逆矩阵方法 学生姓名 学号 1109014131 所在学院 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学(数教1102) 指导教师 完成地点 陕西理工学院 2015年06月12日矩阵逆的判定及求逆矩阵方法 (陕理工数学与计算机科学学院数教1102班,陕西 汉中 723000)指导教师: 摘要矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一.本文归纳总结出判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法.关键词伴随矩阵;初等矩阵;分块矩阵引言矩阵是高等代数重要组成部分,是许多数学分支研究的重要工具,已成为数学中一个及其重要的应用广泛的概念,可逆矩阵作为一种特殊的矩阵,已成为
2、代数特别是高等代数的一个主要研究对象,在解决矩阵问题中有重要的作用.因此对矩阵逆的研究自然也成为高等代数研究的主要内容之一.随着科学技术的不断发展,矩阵可逆的求解方法不断更新,理论与实际的结合越发密切.所以我们有必要再次学习研究它,进一步丰富发展它.本文在了解了矩阵可逆的定义、判定和性质等内容的基础上,归纳总结出了几种可逆矩阵的求解方法.1基本概念与判定、性质1.1基本概念定义11n级方阵称为可逆的,如果有n级方阵,使得. (1)这里是n级单位矩阵.定义21如果矩阵适合(1),那么就称为的逆矩阵,记为.定义31设是矩阵中元素的代数余子式,矩阵称为的伴随矩阵.定义41矩阵的分块在处理级数较高矩阵
3、时,有时候我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.特别在运算中,把这些小矩阵当作数一样处理,这就是所谓矩阵的分块.定义51 称一下三种变化为矩阵的初等行(列)变换：(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以一个非零的数k乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列的常数倍加到另一行(列)；矩阵的初等行变换和列变换统称为初等变换.定义61由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.定义72若将分块矩阵的子块看成是普通矩阵的元素,则分块矩阵的下列变换,称为的广义初等变换.(1)互换的两行(列)；(2)用一个非零常数k乘的某行(列)；(3)用一个非零常数k乘的某行(列
4、),并加到另一行(列)上.对 的行(列)作上述三种变换,称的广义行(列)变换.1.2 可逆矩阵的判定3定义法 n级方阵称为可逆的,如果有n级方阵,使得.定理1 矩阵是可逆的充分必要条件是非退化,且 ()定理2 矩阵是可逆的充分必要条件是可以写成初等矩阵的乘积.定理3 矩阵是可逆的充分必要条件是的秩为n.定理4 若齐次线性方程组只有零解,则是可逆矩阵.定理5 阶矩阵可逆的充要条件是它的特征值都不等于0.即,可逆.定理6 可逆的充要条件是非齐次线性方程组总有唯一解.1.3可逆矩阵的性质1(1)若可逆,则也可逆且；(2)若可逆,则也可逆且；(3)若可逆,则(为任意一个非零的数)也可逆且；(4),其中
5、均为n阶可逆阵.2可逆矩阵的求法2.1定义法 利用定义,凑的方法,当条件中有矩阵方程时,通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出(或)的形式,从而可得.例1 求的逆矩阵.解 因为,所以可逆.设的逆矩阵为,则由,得 解得所以 .注释：定义法一般适用于求二级,三级可逆方阵的逆矩阵,级数高的可逆矩阵不宜采取这种方法. 因为矩阵的级数越大,方程组所含的方程越多,解方程就会越困难.2.2伴随矩阵法由定理1矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化,且 ()求得. 例2 求的逆矩阵.解 因为,所以可逆.其中,同理求得,.所以.注释:由于 要计算量较大,且容易出错.因此用公式法一般适合求2阶和3阶这种阶数较小的矩阵.对于
6、3阶以上的矩阵,工作量大且中途难免会出现计算错误和符号错误.对于求出的逆矩阵是否正确,一般要通过来检验,一旦出现错误,我们必须对每个计算都加以检查,所以在用伴随矩阵求逆时应当注意：(1)中的元素是中元素的代数余子式而不是余子式,计算式切勿遗漏符号； (2)元素位于中的第行第列,而不是第行,第列；(3)这种方法必须在判定该矩阵为可逆矩阵的基础上进行.2.3 初等变换法由定理2方阵可逆的充分必要条件是可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积可求得.初等行(列)变换:可逆矩阵总可以经过一系列初等行(列)变换化为单位矩阵,如果用一系列初等行(列)变换把可逆矩阵化成单位矩阵,那么同样地用这一系列初等行(列)变换
7、去化单位矩阵就得到.2.3.1.初等行变换具体方法是：欲求的逆矩阵时,首先由作出一个矩阵,即,然后对这个矩阵施以行初等变换只能用行初等变换,将它的左半部的矩阵化为单位矩阵,那么原来右半部的单位矩阵就同时化为.即.例3 求的逆矩阵.解 于是.2.3.2初等列变换具体方法是:欲求的逆矩阵时,首先由作出一个矩阵,即,然后对这个矩阵施以列初等变换只能用列初等变换,将它的上半部分矩阵化为单位矩阵,那么原来下半部分的单位矩阵就同时化为,即.例4 求的逆矩阵.解 于是.初等行、列变换适合于3阶以上的矩阵求逆,它的方法比较单一,只要反复进行初等行(列)变换即可.并且条件与结果非常鲜明,便于检查,是求逆的一种常
8、见方法.2.3.3 同时使用初等行、列变换引理4:如果用一系列初等行、列变换将化成单位矩阵,则必存在矩阵,使得,且由实施初等列变换得到,由实施初等行变换得到.证明:设是一个n阶可逆矩阵,则,其中均为n阶可逆矩阵.对上式左乘,这相当于对作初等行变换,右乘,相当于对作初等列变换,经过这一系列初等行、列变换将矩阵化成单位矩阵.即,又矩阵可写成,则=.设,这是对E右乘,相当于对作初等列变换.,这是对左乘,相当于对作初等行变换.所以.上述内容用分块矩阵表示,即为经过一系列初等行、列变换得到,.这就给我们提供了一个具体求矩阵逆的一个方法.归纳起来是:对矩阵()作2n阶矩阵,然后对作一系列初等行、列变换(只
9、对前n行和前n列),目的是在于将左上角的化成单位矩阵,用初等行变换将右侧的化成矩阵,用初等列变换将下面的化成矩阵,得到,即,最后得出.例5 求的逆矩阵.解 由题作2n阶矩阵,然后对同时施行初等行、列变换,即有所以.这种方法在计算上有时并不比行初等变换和列初等变换简单,但是它将上述两种只能使用一种变换的方法综合起来同时进行初等行列变换,把已知矩阵放在含有单位矩阵的分块矩阵中,同时进行变换.以此来求逆矩阵,有时会比较简单.2.4 分块求逆法在处理较高级数的矩阵时,我们把大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.特别在运算中,把这些小矩阵当做数一样来处理,即矩阵的分块.如果把这类矩阵
10、分块,再对分块矩阵求逆矩阵,则能减少计算量.用分块矩阵求逆矩阵,适合零元素较多较大型的矩阵.这种类型的矩阵使用分块求逆较方便.主要是利用“广义初等变换”求分块矩阵的逆. 若阶方阵其中分别是阶可逆矩阵,则.理由:利用广义行初等变换所以.也可利用广义列初等变换,即.所以.同理,其他情形类似.例6 求的逆矩阵.解 设,其中,.而我们很容易求出,.所以.2.5 利用解线性方程组来求逆矩阵计算给定的阶矩阵的逆矩阵,可以归结为解个线性方程组,其中每一个都包含个未知量的个方程且未知量的系数矩阵就是矩阵. 实际上,考虑n个未知数的线性方程组:记方程组的系数矩阵记, . 现在设,.若阶矩阵可逆,则,于是的第列是
11、线性方程组的解,.因此我们可以去解线性方程组,其,然后把所得的解的公式中的分别用；代替,便可求得的第列,这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单一点.例7 求矩阵的逆矩阵. 解 设,.解方程组.即 解得然后把列,分别用,代替,带入得到矩阵的第1,2,3,4,5列分别为:,.所以.这种方法特别适用于线性方程组AX=B的解容易求解的情形.2.6 利用哈密尔顿凯莱定理求逆矩阵法引理15 Hamilton-Cayley定理 设A是阶数字矩阵,其特征多项式为:则定理75 设A是阶数字矩阵,其特征多项式.若,则可逆,且 . 此式给出了的多项式计算方法.例8 已知,利用哈密尔顿凯莱定理求. 解
12、矩阵的特征多项式为: 因为,所以矩阵可逆,则由可知.2.7 用行列式求矩阵的逆定义85矩阵的秩 设为阶矩阵,如果中不为零的子式最高阶数为,即存在阶子式不为零,任何阶子式皆为零,则称为矩阵的秩,记为,当时,称矩阵为满秩矩阵.定理5 若阶方阵为满秩矩阵,则可逆.且其中为的单位向量组.例9 求的逆矩阵.解 ,.故.2.8 由求可逆矩阵的逆设为阶非奇异方阵,为阶单位矩阵,因为,现在我们用表示的第行元素,用表示的第行元素,那么我们可以表示为:,即在这里,我们将看作未知向量,将看作已知向量.因为,所以未知向量为已知向量的线性组合,即为,也就是.即,于是我们由可逆矩阵的定义可知.例10 求的逆矩阵.解 由题
13、分别用和表示和的第1,2,3行元素.则 ,即将看作未知向量,解此方程组得:,即.故,所以.2.9 利用LU分解求矩阵的逆当的前个顺序主子式都不为零时,矩阵可唯一的分解为两个三角矩阵的乘积.其中是单位下三角矩阵,是上三角矩阵.即,.对于方程组的系数矩阵,当实现了上述的时,这时我们就可以将上述方程组写成,然后令,则有,由此方法我们可以求出矩阵的逆.2.10 一般循环矩阵逆的求法以下讨论的都是阶复矩阵,形如的矩阵称为循环矩阵6.因为由它的第一行元素决定,故简记为.令,称为基本循环矩阵.引理16 任意两个循环矩阵的乘积是循环矩阵.引理26 可逆循环矩阵的逆仍是可逆矩阵.引理36 若可逆,则以的转置为系
14、数矩阵的关 于的线性方程组 有且仅有一个解. 引理46 设可逆,则的充要条件是:满足方程组.引理4给了我们求矩阵逆的一种方法:写出以的转置为系数矩阵的方程组,然后求出的唯一解,则.另一方法:计算的行列式,依次求出的第一行元素的代数余子式,则.3小结上面我们介绍了可逆矩阵的有关知识以及归纳总结了求解可逆矩阵的简单的几种方法和一种特殊矩阵的求解.对于用公式法(利用伴随矩阵)求可逆矩阵的逆, 这是各种教材均会提到的方法, 是通过行列式的性质得来的.对于一般的可逆矩阵,求其逆矩阵是很麻烦的,利用伴随矩阵求逆矩阵, 表达式虽很简单,但计算量一般很大,其意义主要在理论方面.初等变换法是最常用的求逆矩阵的方
15、法,容易理解,步骤也很简单.我们在将原矩阵施行(列)初等变换化成单位矩阵的同时,单位矩阵在施行同样的初等行(列)变换下就化成了所求逆矩阵了.同时进行初等行、列变换求可逆矩阵的逆的方法是初等变换法的推广,此方法进行时需要注意的是对于构造的矩阵,我们只对它前行和前列施行变换,这种求逆的方法从理论上说明了求高阶矩阵的逆矩阵的可能性.分块矩阵求逆的方法是在求级数较高的矩阵时采用的,并且对于零元素较多的矩阵使用较为方便.以及利用线性方程组求矩阵的逆,此方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单一点.还有介绍利用Hamilton-Cayley定理求逆矩阵的方法,此方法是在Hamilton-Cayle
16、y定理的基础上得到的,这种方法的使用是利用了矩阵的特征多项式,在求逆矩阵上有其独到之处等等.总之,求逆矩阵的方法很多,不仅仅只是以上列举的几种方法,大家在做题过程中,可根据题目的需要和特点灵活选用合适的方法来求解.参考文献1王萼芳,石明生.高等代数M.北京:高等教育出版社,2003.2宋玉英.用“广义初等变换”法求分块矩阵的逆矩阵J.兰州教育学院学报,2002(04):57-61.3徐兰,苏贵福.也谈矩阵逆的求法J.长春理工大学学报,2011,6(02):126-134.4刁光成,张晓燕.关于求逆矩阵方法的进一步研究J.牡丹江教育学院学报,2010(02):148-151.5鲁翠仙.逆矩阵的一
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20、rmal) ,School of Mathematics and computer science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)Tutor:Quan Shuang Yan Abstract: The reversibility of matrix and the solution of inverse matrix are the main contents of higher algebra,This test summarizes and judges whether matrix is reversible and asks several kinds of methods to inverse matrix.Key words : Adjoint matrix; Elementary matrix; Block matrix
