《线性代数矩阵讲义课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数矩阵讲义课件.pptx（80页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、线性代数,线性代数,1上,1下,4上,更新,线性代数线性代数1上1下4上更新,2023/1/12,2,第二章 矩阵,一、矩阵定义（数表）,2022/9/242第二章 矩阵一、矩阵定义（数表）,（一）矩阵与行列式的区别：,2.矩阵：,1.行列式：,（一）矩阵与行列式的区别：2.矩阵：1.行列式：,（二）特殊矩阵 1.零阵：,2.行（列）矩阵：,（二）特殊矩阵2.行（列）矩阵：,2023/1/12,5,3.负矩阵,4.三角阵（方阵）,上三角阵,下三角阵,2022/9/2453.负矩阵4.三角阵（方阵）上三角阵下三,2023/1/12,6,5.对角阵、单位阵、数量阵（均为方阵）,对角阵（方阵）,单位
2、阵（方阵）,数量阵（方阵）,2022/9/2465.对角阵、单位阵、数量阵（均为方阵）对,2023/1/12,7,6.对称矩阵、反对称矩阵（方阵）,反对称阵（方阵）主对角线元素为零,对称阵（方阵）,2022/9/2476.对称矩阵、反对称矩阵（方阵）反对称,二、矩阵运算,1.转置矩阵：,（注意与行列式对比学习；与实际问题对应。）,二、矩阵运算1.转置矩阵：（注意与行列式对比学习；与实际问,2.矩阵相等：两矩阵完全一样，称为相等。,3.矩阵加法：同型矩阵才能相加。,2.矩阵相等：两矩阵完全一样，称为相等。3.矩阵加法：同型矩,2023/1/12,10,4.数乘矩阵：数k遍乘矩阵的所有元素。,注意
3、：数乘行列式只乘某一行（列）。,2022/9/24104.数乘矩阵：数k遍乘矩阵的所有元素。,2023/1/12,11,5.加法与数乘的性质：,例1：,2022/9/24115.加法与数乘的性质：例1：,解：,例2：,解：,解：例2：解：,2023/1/12,13,6.矩阵乘法：,注意：（1）左列=右行，可乘。否则无意义。,（2）运算=左行右列；,（3）结果=左行右列。,2022/9/2413 6.矩阵乘法：注意：（1）左列=右,2023/1/12,14,2022/9/2414,不相等,不相等,2023/1/12,16,2022/9/2416,2023/1/12,17,例,注意：（1）AB=B
4、A，称A、B可交换；乘法一般不满足交换律。（2）AB=0，称A、B互为零因子；但AB=0不一定能推出A=0或B=0。,（3）由AB=AC，A0，不能推出B=C。,2022/9/2417例注意：（1）AB=BA，称A、B可交,线性代数矩阵讲义课件,线性代数矩阵讲义课件,三、矩阵表示法,销售收入：,某企业有m种产品，一年12个月中各产品销售量各不相同，若第j产品售价为pj,求一年各月收入及年总收入。,三、矩阵表示法销售收入：某企业有m种产品，,1.线性方程组,1.线性方程组,真简洁！,真简洁！,2023/1/12,23,2.线性函数的矩阵表示法：,3.线性变换的矩阵表示法：,其中，,2022/9/
5、24232.线性函数的矩阵表示法：3.线性变换,设,则,设则,线性代数矩阵讲义课件,线性代数矩阵讲义课件,1.性质,2.(反)对称矩阵的等价定义,例：证明：,证,四、转置矩阵的性质,1.性质2.(反)对称矩阵的等价定义例：证明：证四、转置矩,28,五、方阵的幂及其行列式,（一）方阵的幂,（1）性质：,（2）幂等阵：,注意：（1）,28五、方阵的幂及其行列式（一）方阵的幂（1）性质：（2）幂,（二）方阵的行列式：,（2）注意与数的幂运算区别：非零阵的幂可能为零阵；非单位阵的幂可能为单位阵。,（1）性质,（2）定理,注意：,可推广至有限项！,（二）方阵的行列式：（2）注意与数的幂运算区别：非零阵的
6、幂可,线性代数矩阵讲义课件,线性代数矩阵讲义课件,2023/1/12,32,注意：（1）A、B、E必为同阶方阵；（2）不是方阵必不可逆；（3）A、B的地位对等，即A、B互为逆矩阵。,一、逆矩阵定义（方阵）,1.定义：,2022/9/2432注意：（1）A、B、E必为同阶方阵；一,例2,例1,例2例1,例3：单位阵可逆，且,例4：零矩阵不可逆。,二、逆矩阵的性质（用定义证明）,性质1 若A可逆，则A的逆阵唯一。,性质2 若A可逆，则A的逆阵也可逆。且,性质3 若A可逆，则A的转置也可逆。且,性质4 若方阵A、B可逆，则AB也可逆。且,例3：单位阵可逆，且例4：零矩阵不可逆。二、逆矩阵的性质（用,
7、2023/1/12,35,性质4可推广：,性质5 若A可逆，则,性质6 若A可逆，则kA也可逆，且,注意：可逆阵的乘积、数量乘积都可逆；但可逆 阵的和差不一定可逆，即使可逆，一般地,2022/9/2435性质4可推广：性质5 若A可逆，则,定理2 若AB=AC，且A可逆，则B=C。,三、逆矩阵求法伴随矩阵,（1）实例,定理2 若AB=AC，且A可逆，则B=C。三、逆矩阵求法,2023/1/12,37,解：设有方阵,使得,由矩阵乘法和相等定义，可得三个线性方程组：,即,2022/9/2437解：设有方阵使得由矩阵乘法和相等定义，,2023/1/12,38,方程组（1）（2）（3）的系数行列式均为
8、：,2022/9/2438方程组（1）（2）（3）的系数行列式均,2023/1/12,39,由克莱姆法则，得第一个方程组的解：,2022/9/2439由克莱姆法则，得第一个方程组的解：,2023/1/12,40,其中,同理，第二个方程组的解为：,同理，第三个方程组的解为：,其中,2022/9/2440其中同理，第二个方程组的解为：同理，第,2023/1/12,41,得,2022/9/2441得,（2）定义：,（3）定理3：,其中,证明：,（2）定义：（3）定理3：其中证明：,定义13,定义13,（4）例 判断下列矩阵是否可逆，若可逆求出逆矩阵。,（4）例 判断下列矩阵是否可逆，,解：（1）A不
9、是方阵，故A不可逆。,解：（1）A不是方阵，故A不可逆。,例：设,求,例：设求,注意：此结论对一般的对角阵均成立。,例,解：,注意：此结论对一般的对角阵均成立。例解：,定理4 若A、B为n阶方阵,AB=E,则A、B均可逆。且,证明：,定理4 若A、B为n阶方阵,AB=E,则A、B均可逆。证,注意：（1）伴随矩阵求逆法的计算量大，适用于求较低阶矩阵的逆以及理论证明；后面还要介绍矩阵的初等变换求逆法。（2）要会灵活应用求逆公式的各种变形：,四、小结：矩阵运算全了：加减乘除（逆），将 其视为黑箱（字母）与数的运算比较，注意 其差异点；掌握正确的运算规则和性质。,注意：（1）伴随矩阵求逆法的计算量大，
10、四、小结：矩阵运算全了,2023/1/12,50,1.矩阵分块：将,矩阵分块与分块矩阵,2.分块矩阵：将,分为若干小块的一种方法。,用横、竖线分为若干子块，,视子块为元素进行运算，则,称为分块,矩阵。如,2022/9/24501.矩阵分块：将矩阵分块与分块矩阵2.,3.常用分块矩阵：a.2 2阶分块矩阵；b.行（列）分块矩阵；c.对角、三角分块矩阵。注意：对角、三角分块矩阵中，主对角线上的 子块必为方阵。,1.加、减：与普通矩阵运算相同；,2.数乘：与普通矩阵运算相同；,3.乘法：视子块为元素，与普通矩阵乘法运算规则相同。A.分块法：AB=C，左列=右行 左行、右列无限制,运算及对分块要求,行
11、同，列同,无限制,3.常用分块矩阵：1.加、减：与普通矩阵运算相同；2.数乘：,2023/1/12,52,例（左列分=右行分）,2022/9/2452 例（左列分=右行分）,2023/1/12,53,分块矩阵的逆阵（四种22阶特殊矩阵）,2022/9/2453分块矩阵的逆阵,2023/1/12,54,例,2022/9/2454 例,2023/1/12,55,分块对角方块的运算,2022/9/2455分块对角方块的运算,2023/1/12,56,2022/9/2456,线性代数矩阵讲义课件,例 设,求,例 设求,2023/1/12,59,解：,2022/9/2459解：,2023/1/12,60
12、,2022/9/2460,引例：解线性方程组的三种等价变换,矩阵的初等变换,引例：解线性方程组的三种等价变换矩阵的初等变换,线性代数矩阵讲义课件,2.定义：,2.定义：,3.几个矩阵乘法：,3.几个矩阵乘法：,初等矩阵：对单位阵施行一次初等变换而得。,i行,j行,i行,初等矩阵：对单位阵施行一次初等变换而得。i行 j行 i行,注意：初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。,i行,j行,注意：初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。i行 j行,4.定理 一次初等变换结果等于乘对应初等矩阵,三、矩阵的标准形,1.定义16：mn阶矩阵的标准形,4.定理 一次初等变换结果等于乘对应初等矩阵三、矩阵的标准形,定理 任何
13、矩阵A均可经有限次初等变换化为标准形D。,定义 若矩阵A经有限次初等变换化为矩阵B，则称A与B等价。记为,注：任何矩阵A与其标准形D等价。,定理 任何矩阵A均可经有限次初等变换化为标准形D。定义,矩阵等价关系的性质：,（1）反身性：,（2）对称性：,（3）传递性：,例 化A为标准形：,解：,矩阵等价关系的性质：（1）反身性：（2）对称性：（3）传递性,线性代数矩阵讲义课件,证明：,定理 A可逆的充要条件是A可经有限次初等 变换（包括行、列变换）化为单位阵E。,证明：定理 A可逆的充要条件是A可经有限次初等,定理说明了矩阵可经初等变换直接判定 是否可逆：,一般地，对矩阵进行初等变换，由不同类型的
14、矩阵会得到不同的等价矩阵。如,1、方阵,2、非方阵,三角阵、对角阵,阶梯形,标准形,标准形（不可逆）,单位阵（可逆）,定理说明了矩阵可经初等变换直接判定 一般地，对矩阵进行,初等变换求逆法,1.定理 A可逆的充要条件为A可表为若干 初等阵之积。,2.推论 A可逆，则A 仅由初等行变换可化为 单位阵。,3.求逆方法：,初等变换求逆法1.定理 A可逆的充要条件为A可表为若干2,2023/1/12,4.例,解：,2022/9/244.例 解：,例,解：,全为零，A不可逆。,例解：全为零，,2023/1/12,76,五、利用初等行变换解矩阵方程、线性方程组,1.例,解：,用初等行变换求得：,2022/9/2476五、利用初等行变换解矩阵方程、线性方程,线性代数矩阵讲义课件,2023/1/12,例,解：法1 先求A的逆，再求,法2 初等变换法,2022/9/24 例解：法1 先求A的逆，再求法2 初,2023/1/12,79,例 解线性方程组,解：设方程的矩阵形式为,则,2022/9/2479 例 解线性方程组解：设方程的矩阵形,2023/1/12,80,所以,2022/9/2480所以,
