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1、线性代数及应用,谢国瑞 主编,高等教育出版社,学习参考书目,线性代数黄云鹏等，华东师范大学出版社高等代数北京大学数学力学系，人民教育出版社高等代数刘昌堃，叶世源等，同济大学出版社大学代数陆少华，上海交通大学出版社高等代数习题解(上下册)杨子胥 山东科学出版社线性代数-辅导与典型题解析魏战线编著，西安交通大学出版社,第一章 矩阵,1.1 矩阵概念 1.1.1 矩阵概念 定义1 m n元，排成m行n列的矩形阵列：称作为：维是m n的矩阵。一般用黑体大写字母 A，B，C等表示。,简记为：确定一个矩阵的两要素：1元：的值；2维：m，n的值。,矩阵的例：,问题：A的元和维是什么？,1.1.2 一些特殊矩
2、阵对于矩阵本课程仅限于实矩阵。,n阶方阵：m=n时的矩阵，,列矩阵（列向量）：n=1，,行矩阵（行向量）：m=1，,数或标量：m=n=1。向量的元称为分量，分量的个数称为向量的维。例：,分别是3维列向量和4维行向量。,定义 2 对于m n的矩阵,记k=minm，n，称元 构成A的主对角线，称 为A的第i个对角线元。,问题：1）n阶方阵 的主对角线是什么？2）的主对角线是什么？,一般，称元 位于A的上对角线上；位于A的下对角线上。,上三角矩阵：对于方阵 其对角线下方的元素均为0，特征描述：,下三角矩阵：对于方阵 其对角线上方的元素均为0，特征描述：,对角阵：对于方阵除对角线上的元以外，其余的元均
3、为0，特征描述：,对角阵记为：,标量矩阵：当对角阵的对角线元素满足：即对角阵的对角线元素全相等。单位矩阵（或幺矩阵）：对角阵的对角线元素全为1。问题：写出n阶的单位阵。,1.1.3 矩阵问题的例例1（通路矩阵）a省两个城市a1，a2和b省三个城市b1，b2，b3的交通联结情况如下图，每条连线上的数字表示联结该两城市之间的不同通路总数。可以用矩阵表示图形提供的通路信息：,C称为通路矩阵。C的行表示a省的城市，列是b省的城市，表示ai到bj之间的通路数。,例4（赢得矩阵）“齐王赛马”的故事是一个对策问题：战国时代，齐王和其大将田忌赛马，双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛马3
4、次。每次比赛的败者付给胜者100金。已知在同一个等级的马的比赛中，齐王之马可以稳操胜券，但是田忌的上、中等级的马分别可胜齐王的中、下等级的马。齐王及田忌在排列赛马出场顺序时，分别可取下列6种策略（方案）之一：（上，中，下）（中，上，下）（下，中，上）（上，下，中）（中，下，上）（下，上，中）。将这些策略依次编号为：1，2，3，4，5，6，则可以写出齐王的赢得矩阵：,p32=-1，表示齐王采用策略3，而田忌采用策略2：即，齐王：（下，中，上）对田忌：（中，上，下）比赛结果：齐王的净赢得数为-100金。,练习4 下图表明d国三个城市，e国三个城市，f国两个城市之间的通路情况。,在d国和e国之间城市
5、通路情况可用下列矩阵表示如下：,其中数字1与0，指出相应城市之间的通路数。,写出e国与f国的通路矩阵，并进一步写出d国与f国之间的通路矩阵。,利用矩阵运算的性质，可以如下表示d国与f国之间的通路矩阵（矩阵乘法）：这种方法为研究更加复杂的情况提供了途径。比方说，具有连续几个国家连接的情形。,1.2 矩阵运算 1.2.1 定义 矩阵相等 设,当m=s,n=t,且对任何i，j,时，称A与B相等，记作 A=B。,矩阵数乘 设是一个数，用乘A的每个元素，得到新的矩阵：,矩阵加法 设,定义A和B的加法：,注：A与B的维数相同，是矩阵加法的必要条件。,矩阵差：。零矩阵0:A=A+0=0+A。注意零矩阵的维数
6、与A相同。,负矩阵 A：因为,所以A的负矩阵 A定义为：,矩阵转置：设交换A的行和列，得到矩阵：,记作，即：例,对称矩阵：如果矩阵满足 则称矩阵A是实对称矩阵。例 是对称矩阵。注：对称矩阵必须是方阵。,反对称矩阵：如果矩阵满足，则称矩阵A是实反对称矩阵。例 是反对称矩阵。结论：反对称矩阵的对角线元都为0，即。问题思考：如何证明该结论？,矩阵乘法：设 如果，则称C是A（左）乘B的乘积，记作：C=AB，即。这里 即C的第i，j元 是矩阵A的第i行与B的第j列的对应元的乘积之和。注：从矩阵的乘法定义可见，必须满足：A的列数=B的行数。,同理，当B的列数=A的行数时，BA才有意义。必须指出：矩阵乘法不
7、满足交换率。,1.2.2 矩阵运算规则定理1对任意的数和，以及任意矩阵A，B，C，有（1）A+B=B+A 加法交换律（A+B）+C=A+(B+C)加法结合律（2）()A=(A)=()A 数乘结合律(AB)=(A)B=A(B)（3）(AB)C=A(BC)=ABC 乘法结合律(19)（4）(AT)T=A,（5）(A+B)T=AT+BT，(A)T=AT，(AB)T=BTAT（110）（6）(A+B)C=AC+BC 分配律 A(B+C)=AB+AC(+)A=A+A(A+B)=A+B 上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满足运算要求。,证明矩阵乘法结合律：(AB)C=A(BC)=ABC证：设,记
8、,证明DC=AG。因为，则DC的第i,j元为：得到DC的第i,j元等于AG的第i,j元。,A的 i 行乘以B的 l 列,证明(AB)T=BTAT证：即。剩下的要证明它们的第i,j元都对应相等。设即(AB)T的第i，j元是AB的第j,i元，即A的第j行与B的第i列的乘积。直接计算得到：BTAT的第i,j元是BT的第i行与AT的第j列的乘积，即：A的第j行与B的第i列的乘积。所以，(AB)T=BTAT。,根据定理1的运算规则，矩阵乘法具备数与数相乘的大多数性质，但不全是：,课后练习,讲义p47 1-2（2，3，5，6）1-3，1-4，1-5，1-6，1-7；,定理2 对m n矩阵A，有 对于适当维
9、的零矩阵，总成立：A0=0，0A=0。证：根据矩阵乘法的定义可以直接证明。定理说明：1）矩阵乘法中的单位阵类似于数的乘法中的数1；2）矩阵乘法中的零矩阵类似于数的乘法中的数0。,那么,当ij时，第一个和式中的，因为k j；所以，证毕。,象、原象设A是mn阵，x是n维向量，那么乘积Ax是m维向量。称Ax是x的象；x是Ax的原象，A就是线性变换。（在第六章将会更详细的讨论这个问题）例12（线性代数方程组）对于由n个变元、m个方程组成的方程组：,可以用矩阵（乘积）方程表示之：设,那么方程组可以表示成矩阵形式（矩阵方程）：Ax=b。求方程的解可以解释为：对给定的线性变换 A，已知象向量 b，确定原象向
10、量 x。,练习12 用数学归纳法证明等式：,并用线性变换的观点解释此结果。,注意子矩阵与分块矩阵的差异。,1.5 初等变换与初等矩阵,1.5.1 初等变换与初等矩阵 定义5 行（或列）初等变换的定义：1.交换矩阵中任意两行（或两列）的位置，用 r i j（或c i j）表示初等变换：对调一个矩阵的第i行(列)与第j行(列)的元。又记作：r ir j（c ic j），称为第1类行（列）初等变换；,2.以一非零常数乘矩阵某一行（或列），用r i(a)（或c i(a)）表示初等变换：以常数a（0）乘以矩阵的第i行（列）又记作：r iar i（c iac i），称为第2类行（列）初等变换；,3.将矩阵
11、某行(或列)的数量倍加到另一行,用r i j(k)（或c i j(k)）表示初等变换：以常数k乘以矩阵的第i行(列)后加到矩阵的第j行(列)又记作：r j r j+k r i（c j c j+k c i），称为第3类行（列）初等变换。初等变换是行初等变换和列初等变换的统称。,注意行标和列标的不同,通过直接验证来证明定理7！,定理 9 非退化矩阵经过初等变换后仍为非退化矩阵，而退化矩阵经过初等变换后仍为退化矩阵。即，初等变换不改变矩阵的奇异性。证：因为 B=RA(或AC)，已知R可逆，当A可逆时，根据定理6的结论，则B可逆；反之亦然。当A退化时，如果B可逆，由于A=R-1B(或BC-1)，则可以
12、推出A可逆，与已知条件矛盾。,这个定理告诉我们，为了说明B是A的逆矩阵，仅需验证AB=I（或BA=I）。,给定n阶方阵，利用标准形分解求其逆阵是一种有效的方法：定理12 n阶方阵A为非退化阵的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。即，A可逆 A=P1P2Pn，Pi 是初等矩阵。定理13 n阶方阵A为非退化阵的充分必要条件是可以通过对A进行有限次行(或列)初等变换后化成单位阵。定理13告诉我们，A的逆阵可以表示成有限个行（或列）初等变换阵的乘积。,利用行初等变换计算非退化阵的逆矩阵的方法：首先建立一个n(2 n)阵，A|I n，设R是有限个初等矩阵的乘积矩阵，使得 RA|I n=I n
13、|R 即R是A的逆阵。因此，为了求A的逆阵，可以对矩阵 A|I n，进行一系列行初等变换，使得，A|I n I n|B，行初等变换 那么，B就是A的逆矩阵。,1.5.4 n n线性代数方程组的唯一解 对于n n线性代数方程组 AX=b，A是n阶方阵，那么当A可逆时，其唯一解可以表示为：X=A1 b。在一般情况下，称矩阵 A|b 为方程的增广矩阵。对增广矩阵进行一系列行初等变换，使得 R1R2 R s A|b=R1R2 R s A|R1R2 R s b=I n|Rb(R=R1R2 R s)。事实上R=A-1 可见只要将增广矩阵中A对应的那一块通过行初等变换化成单位阵，对应b的那一块变成Rb=A-
14、1 b，即 A I n b Rb Rb就是方程组的唯一解。,1.5.5 矩阵的三角分解 设n阶矩阵A的前主子矩阵A1，A n-1都是非退化的，那么对A进行若干次第三类行初等变换，可以得到A的三角形分解：A=LU其中，L是单位下三角阵（对角线元都是1的下三角阵），U是上三角阵，称为A的LU分解,又称为杜利特尔（Doolittle）分解。注意：A的n-1个前主子矩阵非退化的条件是必需的，否则不可以三角分解。,课后作业,讲义p46 1-2（2）,（3）。请说明计算结果是数或矩阵？1-2（5）,（6）请说明计算结果是标量或矩阵？1-3，1-4，1-5，1-6，1-7,课后作业,讲义p47 1-8，1-9，1-10，1-11，1-12，1-13，1-14；1-15（1，2）1-16，1-17，1-18，1-19，1-20,
