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1、浅析行列式的计算技巧 摘要：本文通过引用例题来对一些特殊行列式的求解技巧进行归纳分析，主要演示了化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，辅助行列式法，拉普拉斯定理的应用，范德蒙得行列式的应用以及方阵特征值和行列式的关系的应用等方法。引言：在平常的学习及其考试中经常能遇见有关特殊行列式计算的题目，如果不能掌握正确的方法和思维方式，此类型的题将会是考生的一个障碍，本人希望通过对若干经典考题的解析，使得学生对行列式求解类型的题目有章可循。下面是对一些特殊行列式求解技巧的浅析，前两种方法是相对基本的方法，应用的范围较广，后面几种方法针对性较强，要对行列式的特征进行准确的判断。方法一化三角形法化三角形法
2、是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。例题：计算下列行列式的值：分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以1加到
3、第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解：问题推广例1中，显然是1,2，n-1,n这n个数在循环，那么如果是a0,a1,an-2,an-1这n个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。2从而推广到一般，求下列行列式：解：令 首先注意，若u为n次单位根（即un=1），则有：为范德蒙行列式又例1中，循环的方向与该推广在方向上相反所以例1与相对应方法二降阶法设为阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有或其中为中的元素的代数余子式按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为
4、n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。例题：计算20阶行列式分析这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*201次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果
5、。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：解：以上就是计算行列式最基本的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种，都要与行列式的性质和基本方法结合起来。下面是一常用的方法：方法三 递推法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。需要注意的是，用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使
6、用此方法。例题：（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。）分析此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式1。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：这是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：或现可反复用低阶代替高阶，有：同样有：因此当时由（1）（2）
7、式可解得： 证毕。方法四 数学归纳法一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）例题：.证明：证：当时，有：结论显然成立。现假定结论对小于等于时成立。即有：将按第1列展开，得： 故当对时，等式也成立。 得证。方法五.辅助行列式法辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同。解题程序：1）在行列式D的各元素中加上一个相同的元素x，使新行列式除主对角线外，其余元素均为0；2）计
8、算的主对角线各元素的代数余子式;3)例题：.求下列n阶行列式的值。解：在的各元素上加上后，则有：又，其余的为零。点评若知道辅助行列式法的解题程序，用此法就可轻松地解出此题。但根据该行列式的特点，我们也可以用加边法，把大部分元素化为零，再化为三角形行列式也可轻易解出该行列式。以下几种方法是利用到公式，所以有的方法在这只简单地给出其应用，只要记住公式，会应用就行。方法六 拉普拉斯定理的应用拉普拉斯定理的四种特殊情形：1） 2）3） 4）例题： 计算n阶行列式：解：待添加的隐藏文字内容2方法七 利用范德蒙行列式范德蒙行列式：例题： 计算n阶行列式9解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所
9、以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得： 方法八 方阵特征值与行列式关系的应用。例题： 求下列行列式的值：解：显然的个特征值为。 的个特征值为。故的特征值为 由矩阵特征值与对应行列式的关系知：需要注意的是，的特征值也可由特征值的定义得到。上述通过举例分析来阐述各种特殊行列式计算的一
10、些技巧和思维方式，可以看出数学各个知识点之间是具有很强的联系性的，我们往往要在注重基础的前提下发散思维来寻找问题的突破口。我们同样可以看出，一些技巧的针对性是非常强的，我们需要在日常的学习中不断的积累总结，才能以不变应万变，在数学的征途中走得更远。参考文献：1、 李师正等 高等代数复习解题方法与技巧 高等教育出版社 20052、 张贤科 许甫华 高等代数学 清华大学出版社 20003、 刘学鹏等 高等代数复习与研究 南海出版公司 19954、 张禾瑞 郝鈵新 高等代数 高等教育出版社 19935、 许甫华 张贤科 高等代数解题方法 清华大学出版社 20016、 北大数学系 高等代数 高等教育出版社 19887、 李永乐 研究生入学考试线性代数 北京大学出版社 20008、 张敬和等 数学二考研题典丛书 东北大学出版社 2004.39、 张永曙 考研数学应试强化辅导与解题指南 西北工业大学出版社 1999.510、 各高校历年研究生入学考试试卷
