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1、本科生毕业论文（设计） 用F-展开法求解广义KdV-mKdV方程院 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 2013Annual Graduation Thesis (Project) of the College UndergraduateThe F-expansion method for solving the generalized KdV-mKdV equationsDepartment: College of MathematicsMajor: Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2009Students Name: Hu Anpi
2、ngStudent No.: 200905050225Tutor: Rui (professor)May, 2013毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（
3、设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名：日期： 日期： 胡安富毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注教授数学学院组长教授数学学院组员教授数学学院组员摘要 本文针对广义KdV-mKdV方程的特点,引入了一个辅助方程。在这个辅助方程的基础上,利用F-展开法获得这个辅助方程的一些函数型的精确解。进一步地,利用这些辅助方程的解获得了广义KdV-mKdV方程的各种精确行波解。并借助maple软件画出了在不同参数条件下的三维图像和二维图像。关键词
4、: 广义KdV-mKdV方程;F-展开法;孤立波解;周期波解；行波解ABSTRACTIn this paper, according to the characteristics of generalized KdV-mKdV equations, an auxiliary equation is introduced. Basied on the auxiliary equation, using the F-expansion method, some exact solutions of auxiliary equatioan are given. Further, using the
5、auxiliary equations solution, different kinds of exact travelling wave solutions of generalized KdV-mKdV equation are obtained. By using maple software, we draw three-dimensional graphics and two-dimensional images under the condition of different parameters.Keywords: Generalized KdV-mKdV equation;
6、F-expansion method; Solitary wave solution; periodic wave solutions; Travelling wave solutions目 录 第一章 引言11.1 研究背景和现状11.2广义KdV-mKdV方程简介11.3研究内容3第二章 研究方法42.1 F-展开法4第三章 用F-展开法求解广义KdV-mKdV方程6第四章 小结17参考文献18致谢19第一章 引言 1.1 研究背景和现状最近30多年来，非线性数学在物理研究领域颇具特色的成就之一就是创造了求非线性偏微分方程的解，特别是求行波解的各种方法。如: F-展开法，Jacobi椭圆函
7、数展开，双曲正切函数展开,齐次平衡等。这些方法对于某一类方程来说，它们求某一种形式的行波精确解是十分有效的, 其中“F-展开法”，“齐次平衡”对于求非线性发展方程的Jacobi椭圆函数解较为常用。一般情况下, 求解非线性方程(尤其是非线性偏微分方程（PDE）)非常困难,而且也没有统一而普遍的方法，以上所述的一些方法也只能具体应用于求解某个或某些非线性方程较为有效,因此,在数学领域 ,求解非线性方程任重而道远，继续寻找一些有效可行的求解方法仍是摆在数学爱好者面前的一项十分艰巨而又很有意义的工作。1.2广义KdV-mKdV方程简介在现代科学研究中，非线性波动现象，如流体力学、固体物理、集成电路、光
8、纤、化学动力学、等离子体物理、地球化学起重要作用。在非线性波方程中，非常重要的现象是扩散、耗散、色散、对流和反应。在许多科学索引文献中提到的孤立子问题,比如呼吸型孤立子,扭结型孤立子, 尖峰型孤立子，紧孤立子和尖孤波1是现代非线性数学在物理研究领域中的主要研究内容。 目前尽管已经有了多种方法可以解决非线性波方程, 如双线性变换法, 贝克隆变换， 逆散射方法的转变, sine-cosine方法，齐次平衡方法和tanh方法。但是，由于非线性波方程本身的复杂性，导致目前没有统一的方法去寻找这些方程的所有解。这就是摆在我们面前的新课题，解决这些新课题需要我们不断的去寻找新的方法和新的技巧。另外，精确解
9、的物理特性非常重要,这一重要性体现在它们能够为我们在非线性波方程的物理研究领域提供多方面的洞察力和灵感。标准的KdV方程 （1-1）与K(n,n)方程 （1-2）目前已被广泛而全面得到研究2-3。通过平衡KdV方程中的高阶色散效应项与非线性项，研究人员获得了方程（1-1）的孤立子(soliton)解，简称孤子解。然而，在K(n,n)方程（1-2）中, 非线性色散项与非线性项之间的相互作用产生的孤波具有紧致的特性,通常人们把具有这一特性的解叫做紧孤子（Compactons）解。一般地，非线性波孤立子的特征被定义为4：（1）.局部的波形是稳定,它们相互碰撞时保持他们的特性。反过来又意味着孤子是具有
10、这样的性质（弹性碰撞）的粒子。（2）.局部的波形,传播时不改变其性质(如形状、速度等)。因为紧孤子被证明弹性碰撞消失在一个有限的核心区域。所以人们观察到紧孤子结构有两个重要的特点5：（1）.紧孤子的宽度是独立的振幅。（2）.紧孤子的特点是不像孤立波那样有长长的尾巴（即长长的渐进于某条直线曲线）。国内外大量的研究工作已表明紧孤子（Compactons）有实际的科学应用,如惯性聚变，裂变的液体滴(核子物理学),预先形成的水动力模型6-7等等。现代许多数学和物理学研究领域,名词后面带后缀-on，一般被用来表示粒子性质8，例如孤子（soliton）有粒子、光子（photon）、声子（phonon）和尖
11、孤子（peakon）的性质。也因为这个原因,紧致的孤立波,简称紧孤子（Compacton）。需更加深入透彻地了解紧孤子（Compacton）性能和物理结构9。正如广义KdV-mKdV方程： （1-3）（其中，,、都是常数。）出现在大量的物理应用领域,曾经被许多人员研究过10-11,(以及这些文献中所引用的文献)。现在考虑一种较为特殊的情形，即在方程（1-3）中，让，其中为非零自然数。便可以得到方程（1-3）的一种新形式，如下： （1-4）本文的主要工作就是在这种较为特殊情形下，用F-展开法寻求方程（1-4）的精确行波解。1.3研究内容本论文主要分为四个章节来撰写第一章 主要写研究此问题的背景和
12、现状，研究方程的由来及撰写本论文的大概情况； 第二章 主要介绍论文用到研究方法；第三章 论文研究的全过程；第四章 小结。第二章 研究方法 2.1 F-展开法 目前F-展开法的应用,可视为双曲正切函数，Jacobi椭圆函数以及三角函数展开法的概括。其研究的方法步骤如下：一般考虑非线性偏微分方程(PDE) （2-1）为其变元的多项式,其中包含有非线性项和高阶偏导数项。第一步.设(2-1)的行波解为: （2-2）其中表示波速,将(2-2)代入(2-1)则将(2-1)化为的常微分方程（ODE） （2-3）第二步.设可表示为的有限幂级数: （2-4）这里为待定常数,一般满足一阶常微分方程（ODE）: （
13、2-5）对(2-5)式求导得: （2-6）其中是待定常数,正整数由齐次平衡具体支配地位的最高阶导数项与非线性最高次方项来确定。第三步.将(2-4)代入(2-5),利用(2-5),(2-6)可将(2-3)式变成的多项式。令的各次项幂的系数为零,从而可以得和c的代数方程组。第四步.求上述代数方程组，可借助Maple软件求解,和可由来表示。将这些结果代入(2-5)式得PDE(2-1)的一个行波解的一般形式。本论文是建立在一个变形的辅助方程： （2-7）之上,通过对（2-7）式凑微分并令（2-8）可得如下方程： . (2-9)在（2-9）式中记: （2-10）， （2-11） 则方程（2-9）的积分情
14、况如下表表一(积分表)当时当时或者当时第三章 用F-展开法求解广义KdV-mKdV方程 在本章中，我们考虑下列广义KdV-mKdV方程 (3-1)其中，,、都是常数。现在考虑时的情形：（其中为自然数） (3-2)作一个行波变换，, ， (3-3)其中表示波速。 将（3-3）求导代入（3-2）得： (3-4)对（3-4）积分一次得：（取积分常数为零） (3-5)设 （其中是常参数 ） (3-6)将（3-6）代入（3-5）得： (3-7)令 (3-8)由（3-8）求导得： (3-9)将（3-9）代入（3-7）得：(3-10)在（3-10）中令各阶各次系数为零得以下方程组： （3-11）整理以上方程
15、组得： （3-12）由（3-8）式得： (3-13)对（3-13）式凑微分得：. (3-14)令 (3-15)则（3-14）变为如下形式 . （3-16）在（3-16）式中、都是常数。情形一：当时，对（3-16）是两边积分（查积分表）得：, (3-17)为任意积分常。 化简（3-17）式得： , (3-18)其中，,（因为是任意常数，所以也是任意常数）。借助maple软件，由（3-18）式求得： (3-19)在（3-19）式中，令则（3-19）式可以化简为： . (3-20)记.（） 当时，可以表示为： . (3-21) 因为， 且，所以容易得： (3-22) 即可以表示为如下形式： (3-2
16、3)其中、的表达式如下所示： (3-24) （） 当时，解的形式不存在。 （） 当时，可以表示为： (3-25) 对应的可以表示为： (3-26)其中、的表达式如下所示： (3-27)情形二：当时，对（3-16）是两边积分（查积分表）得： （是任意的积分常数） (3-28)借助maple软件，由（3-28）式求得： (3-29)或者 (3-30)所以 (3-31)或者 （3-32）其中、的表达式如下所示： （3-33）情形三：当时，对（3-16）是两边积分（查积分表）得： (3-34)(其中是任意的积分常数) 借助maple软件，由（3-34）式求得： (3-35) 记 则：（）当时，可以表示
17、为: (3-36) 此时可以表示为： (3-37)其中、的表达式如下所示： (3-38)（） 当时，可以表示为: (3-39)此时可以表示为： (3-40)其中、的表达式如下所示： (3-41)（）当时，可以表示为: (3-42)此时可以表示为： (3-43)其中、的表达式如下所示： (3-44) 借助maple软件，取适当的参数，可以画出原方程在不同解形式下的图形，为了更形象和对比，分别画出了三维图和对应的二维图如下：3-1-1三维图 3-1-2二维图 图3-1是孤立行波解（3-23）的三维图和二维图其中，3-1-1是孤立行波解（3-23）在参数条件的三维图，3-1-2是孤立行波解（3-23
18、）在参数条件的二维图。 3-2-1三维图 3-2-2二维图图3-2是孤立行波解（3-23）的三维图和二维图其中，3-2-1是孤立行波解（3-23）在参数条件的三维图，3-2-2是孤立行波解（3-23）在参数条件的二维图。 3-3-1三维图 3-3-2二维图 图3-3是无界行波解（3-26）的三维图和二维图其中，3-3-1是无界行波解（3-26）在参数条件的三维图，3-3-2是无界行波解（3-26）在参数条件的二维图。 3-4-1三维图 3-4-2二维图 图3-4是无界行波解（3-26）的三维图和二维图其中，3-4-1是无界行波解（3-26）在参数条件的三维图，3-4-2是无界行波解（3-26）
19、在参数条件的二维图。 3-5-1三维图 3-5-2二维图图3-5是孤立行波解（3-32）的三维图和二维图其中，3-5-1是孤立行波解（3-32）在参数条件的三维图，3-5-2是孤立行波解（3-32）在参数条件的二维图。 3-6-1三维图 3-6-2二维图 图3-6是孤立行波解（3-32）的三维图和二维图其中，3-6-1是孤立行波解（3-32）在参数条件的三维图，3-6-2是孤立行波解（3-32）在参数条件的二维图。 3-7-1三维图 3-7-2二维图 图3-7是周期行波解（3-37）的三维图和二维图其中，3-7-1是周期行波解（3-37）在参数条件的三维图，3-7-2是周期行波解（3-37）在
20、参数条件的二维图。 3-8-1三维图 3-8-2二维图 图3-8是周期行波解（3-37）的三维图和二维图其中，3-8-1是周期行波解（3-37）在参数条件的三维图，3-8-2是周期行波解（3-37）在参数条件的二维图。 3-9-1三维图 3-9-2二维图 图3-9是周期行波解（3-43）的三维图和二维图其中，3-9-1是周期行波解（3-43）在参数条件的三维图，3-9-2是周期行波解（3-43）在参数条件的二维图。 3-10-1三维图 3-10-2二维图 图3-10是周期行波解（3-43）的三维图和二维图其中，3-10-1是周期行波解（3-43）在参数条件的三维图，3-10-2是周期行波解（3
21、-43）在参数条件的二维图。第四章 小结 本文通过构造辅助方程将求解非线性偏微分方程的问题转化为求解常微分方程的问题,借助-展开法从而求出大量的广义KdV-mKdV方程的精确行波解。在本文中对辅助方程积分时，由于涉及到讨论,由此从大于零、等于零、小于零三种情况出发进行讨论得出对应解的形式，本文共求出7个精确的行波解，其中有两个解（3-31）和（3-40）相对简单为常数，所以没有画出相应的图像，其它的5个解（3-23）、（3-26）、（3-32）、（3-37）、(3-43)都画出了对应的三维图和二维图，并且每一个解都对应取不同的参数画出了一组图像，从让每个解的意义变得更形象。文章中获得的结果,与
22、现有文献中的结果相比,在解的形式上是不相同的。笔者认为，本文的结果在广义KdV-mKdV方程精确求解方面,起到了一定弥补性的作用,并具有一定的应用前景,丰富了已有文献的内容。参考文献 1 Wadati M. Introduction to solitons J. Pramana: J.Phys. 2001,57(56):841847. 2 Wazwaz AM.New solitary-wave special solutions with compactsupport for the nonlinear dispersive K(m,n) equations J. Chaos, Soliton
23、s and Fractals 2002, 13(2):321330. 3 Wazwaz AM.New compactons,solitons and periodic solutions for nonlinear variants of the KdV and the KP equations J. Chaos, Solitons and Fractals 2004, 22:249260.4 Hereman W, Takaoka M. Solitary wave solutions of nonlinear evolution and wave equations using a direc
24、t method and MACSYMA J. J. Phys. A 1990,23:4805 4822.5 Rosenau P, Hyman JM. Compactons: solitons with nite wavelengthsJ. Phys. Rev.Lett. 1993,70(5):564567.6 Dusuel S, Michaux P, Remoissenet M. From kinks to compactonlike kinks J.Phys. Rev. E 1998,57(2):23202326. 7 Ludu A, Draayer JP. Patterns on liq
25、uid surfaces: cnoidal waves, compactons and scaling J. Physica D 1998,123:8291. 8 Kadomtsev BB, Petviashvili Vi J. Sov. Phys. JETP 1974,39:285295. 9 Wazwaz AM, Taha T. Compact and noncompact structures in a class of nonlinearly dispersive equations J. Math Comput Simul 2003,62(12):171189. 10 Gardner
26、 LRT, Gardner GA, Ayoub FA, Amein NK. Simulations of the EW undular bore J. Commun. Numer. Methods Eng. 1998,13(7):583592. 11 Zaki SI. Solitary wave interactions for the modied equal width equation J. Comput. Phys. Commun. 2000,126:219231. 致谢 在芮老师的细心指导和笔者的努力下，本次毕业论文设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于知识面的有限和经验的
27、缺乏，本论文难免有些考虑不周全的地方，还望读者给予指正批评。如果没有导师的督促和指导，以及一起的同学们的支持，要完成这个论文设计是有很大难度的。本论文撰写过程中，得到了芮伟国教授的耐心指导和亲切关怀。从课题的选择到项目的最终完成，芮老师都始终对我细心的指导和不懈的支持。几个月的岁月，芮老师不仅在学业上给予我以精心指导，同时还在思想上给我打气，当课题遇到困难时，芮老师一直鼓励我坚持，相信问题总会得以解决。芮老师严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。除了敬佩芮伟国教授的专业水平外，他的知识面之广深深感召着我，治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，这必将鞭策和积极影响我今后的学习和工作。在此谨向芮老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。论文即将完成之际，我感到心情的喜悦和高兴，从开始进入课题到论文的顺利完成，有许多可敬的师长、同学、朋友给了我无私的帮助和宝贵的建议，在这里请接受我诚挚的谢意!同时我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后我还要感谢数学学院和我的母校红河学院四年来对我的栽培！
