矩阵分解的初等方法毕业论文.doc

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1、 本科毕业论文（设计）题目：矩阵分解的初等方法 学 院：学生姓名： 学 号：专 业：年 级：2008级完成日期：2012年5月10日指导教师： 矩阵分解的初等方法摘要：矩阵是大学数学中一个重要的、有着广泛的应用的工具,它涉及到矩阵分析，线性代数和泛函分析等多个数学科目. 本文从矩阵的三角分解、 矩阵的分解、 矩阵的满秩分解、矩阵的奇异值分解、矩阵的谱分解和矩阵的极分解等几个方面，对矩阵分解的初步方法进行了概括总结性论述。关键词: 矩阵；初等；分解；应用The Elementary Method of Matrix DecompositionAbstract：Matrix is an impor

2、tant tool in the study of university mathematics, which has a wide range of applications. It involves several mathematical subjects, such as matrix analysis, linear algebra and functional analysis. From the triangular decomposition of the matrix, the matrix of the QR decomposition, the matrix of the

3、 full rank decomposition, singular value decomposition, the spectral decomposition of the matrix , the matrix polar decomposition and other aspects, this paper discusses the initial method of matrix decomposition systematically in the summary.Keywords: matrix; elementary; decomposition; application目

4、 录1 矩阵的三角分解11.1 Gauss消元法的矩阵形式11.2 矩阵的三角分解21.3三角分解的紧凑计算格式31.4 矩阵的三角分解与解线性方程组72 矩阵的QR分解82.1 矩阵的QR分解基本概念、定理与方法82.2 直线度误差数学模型的建立及矩阵QR分解103 矩阵的满秩分解123.1 矩阵的满秩分解基本概念、定理123.2 矩阵的满秩分解的方法134 矩阵的谱分解154.1 矩阵的满秩分解基本概念、定理155 矩阵的奇异值分解与极分解17 5.1 矩阵的奇异值分解基本概念、定理17 5.2 矩阵的极分解基本概念、定理196 矩阵分解的应用与举例20参考文献26引言矩阵的三角分解、正交

5、三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等. 另一方面, 构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供了理论依据. 本文从矩阵的分解； 矩阵的分解； 矩阵的满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行论述: 探讨矩阵分解的初等方法. 1 矩阵的三角分解1.1 Gauss消元法的矩阵形式定义1.1.1 形如 = 的矩阵称为初等下三角矩阵，其中= 且主对角线元素皆为 1 ，其余元素皆为零。例如当k=1时，有=，=，=其中 =- 容易看出 其中 且 特别的称对应于的为单位下三角矩阵

6、。一般地，设则有 ,这样的表达方式就是Gauss消元的过程地矩阵形式。1.2 矩阵的三角分解定义 1.2.1 设如果存在下三角矩阵和上三角矩阵, 使得, 则称可作三角分解.定理 1.2.2 设 ，且A的前 r 个顺序主子式不为零，,则A可以作三角分解。定义 1.2.3 设. 如果A可以分解为,其中是对角元素为1下三角阵（称单位下三角阵），是上三角阵，则称为的 Doolittle分解；如果A可以分解为,其中是下三角阵，是对角元素为1的上三角阵（称单位上三角阵），则称为A的 Crout分解；如果A可以分解为，其中 是单位下三角阵，为对角矩阵，为单位上三角阵，则称为的 分解。定理 1.2.4 设，则

7、有惟一的分解的充要条件是.此时对角阵D=的元素满足 ， 1.3 三角分解的紧凑计算格式 现在阐述直接计算三角分解的基本方法。以下总假设，且可以做三角分解。 由的Doolittle分解，得=，则有由上式可以推导出的Doolittle分解的紧凑型计算公式为：与以上的推导类似，可以得到Crout分解的紧凑计算格式:例1.3.1 求矩阵=的Doolittle分解和Crout分解 解： ； 则可以做三角分解。n=3；=Doolittle分解说明：=则有 所以 的Doolittle分解为 =Crout分解的紧凑计算格式为： 所以的Crout分解为=注：由矩阵的 Doolittle分解（）推导出的分解（）的

8、方法如下：1.将上三角阵的主对角线元素保留，其余元素变为0，转化为一个对角矩阵 2.设出矩阵 = 3，经计算，求出的分解例如：=定理1.3.1 设是Hermite正定矩阵，则存在下三角矩阵，使得 称之为 的Cholesky分解。Hermite正定矩阵的Cholesky分解的紧凑计算格式为:例1.3.2矩阵= ，求的Cholesky分解解：解法一：根据正定矩阵的Cholesky分解的紧凑计算格式得： 所以得到 的Cholesky分解为 =解法二：将分解为形式 （计算略）得到=取=1.4 矩阵的三角分解与解线性方程组方程组 的系数矩阵 如果能做三角分解，则纠结就会变的很简单，下面就矩阵的三角分解和

9、姐线性方程组做出论证。由于 ,于是方程组 可以写成 ,这样，可将方程组的求解归纳为两个系数矩阵的三角分解，易于求解方程组：和 。且。中间解 的分量可直接从第一个方程组得到，因为它的第一个方程只含，第二个方程只含 等; 的分量可容易地从第二个方程组求得，因为是上三角矩阵，它的第 n 个方程只含 ，第 n-1 个方程只含 等等。例 1.4.1 求解方程组:解：方程组为: ,其中：=于是方程组变为 或 令，则有，其中 于是有 ，即 容易求解又解，即可求得 故原方程解为2 矩阵的分解2.1 矩阵的分解概念与定理定义2.1.1 设是单位向量,即, 称矩阵为Householder矩阵或初等反射矩阵. 由H

10、ouseholder矩阵确定的上的线性变换称为Householder变换或初等反射变换。Householder矩阵的性质：1)（Hermite矩阵）;2)（酉矩阵）;3)（对合矩阵）;4)（自逆矩阵）;5)是n+r阶Householder矩阵;定义2.1.2 设.如果存在n阶酉矩阵和n阶上三角矩阵，使得 ，则称之为的分解或者酉-三角分解定理2.1.3 任意 都可以作分解。定理2.1.4 设，则可惟一地分解为 , 其中是阶n酉矩阵，是具有正对角元的上三角矩阵。例2.1.1已知矩阵= ，求的分解。解：利用Schmidt正交化方法。 设=，线性无关，将正交化 再将标准化得 ， ， 所以=为的 分解2

11、.2 直线度误差数学模型的建立及矩阵分解设平面上被测直线上的一组采样样本点为，分别用（，），（，），（，）表示它们的坐标值；若样本点共直线：将样本点的坐标值代入直线的表达式有：取向量， ，矩阵，则上述线性方程组可表示成矩阵形式：其中，。然而，实际情况中很难找到这样的直线使样本点均在直线上，即除非非齐次项b在A的列向量组成的子空间中，否则过定方程组通常没有精确解。因此代替求精确解，考虑求最优的解：在这里，其中的范数取2-范数，也就是说，求得的向量使得最小，我们把记为残差，则最小残差为；从几何上看，残差就是指样本点与直线在Y轴方向上的差值，即有：将（11）式表示成矩阵的形式如下：这里，最小二乘法问

12、题即是寻求，使得残差的2-范数取得最小值。传统的求解最小二乘问题的算法是使得残差的2-范数分别对变量、求偏寻，令其为零从而求出解向量，即：将式（13）简化为求得的最小二乘直线的待定参数、：可以看到，当采样数据量很大时，上式的计算量是很大的，这样势必会造成计算速度的减慢，然而基于矩阵的分解则能很好地解决这一难题。由于正交矩阵保持欧氏距离，即对任何正交矩阵，都有：对最小二乘问题，当A和b分别用和代替时，方程的最小二乘解并没有改变，也就是说，使二范数取得最小值的同时也使二范数取得最小值，即这两个过定方程组有相同的最小二乘解。由于矩阵A是列满秩矩阵，由定理2，对方程式中的进行分解，如是有：等式两边同时

13、左乘，由于为正交矩阵，有,则上式等价变形为：记残差，其中，记，,则残差可写成因此因为项与x无关，所以，求的最小值等价于求的最小值，而，且当且仅当，即的最小值在时达到。因为是非奇异的，所以方程组有唯一的解，它正是唯一使达到最小值的解。解出x即确定了最小二乘拟合直线的系数、，这样我们便找到了采样样本点的最小二乘拟合直线。从而可以求出以最小二乘拟合直线作为基准直线来计算各测点对其的最大正偏差和最大负偏差值，找出最大正偏差值的样本点和最大负偏差值样本点，过点、作最小二乘拟合直线的平行线、，则所有样本点必全被包含在这两条直线内，这两条平行直线的距离便是所求的直线度误差。示意图如图1所示：图1 直线度误差

14、示意图3 矩阵的满秩分解3.1 矩阵的满秩分解基本概念与定理定义3.1.1 设矩阵 （r0），如果存在和，使得则称之为的满秩分解。注：（1）是列满秩，是行满秩。 （2）矩阵的满秩分解不是惟一的；因为()定理3.1.2 设 (r0)，则A的满秩分解总是存在的。定理3.1.3 设 (r0)，且A的Hermite标准型H形如下图。取的列构成矩阵，又取H的前r行构成 ，则即为的一个满秩分解。 3.2 矩阵的满秩分解的方法 方法一：(1)已知矩阵 (r0)，,得出A的Hermite标准型H和所用的变换矩阵S。（2）,得出 . （3）求出和 （4）取出的前 r 列为 ，取出的前 r 行为,即得到的满秩分解

15、方法二：（1）已知矩阵 (r0)，； （2）找出的Hermite标准型的行的首个元素为1的 r 列所对应的 r列为 ； （3）取出的前r行构成矩阵； （4）得出 矩阵的满秩分解 .下面就刚刚提出的矩阵的满秩分解的两种方法，分别应用于以下例题；例3.2.1已知矩阵，求 矩阵的满秩分解 解：方法一： 由此可以得出的Hermite 标准型和所用的变换矩阵为 ；= ；得到变换矩阵 .计算求的 , .取出 的前两列，再取出 的前两行分别构成 和 ，所以的满秩分解式为 。方法二：因为 ；所以第 1，3 列为行首个元素为 1 所在的列；对应找出 的第 1,3 列构成 ，；再将的前两行最为矩阵 ，;所以 矩阵

16、的满秩分解为4 矩阵的谱分解定义4.1 设是正规矩阵，那么存在，满足，若令，则有=其中，是矩阵的特征值 所对应的特征向量，为 n 阶矩阵。式子 = 称为矩阵的谱分解形式。 设的 r 个互异的特征值为 ，特征值的重数为，所对应的个相互正交的特征向量记作 ，则 的谱分解的组合形式为 ： = = ，其中 。定义4.2 设 ，满足,则称 为幂等矩阵 。幂等矩阵的性质：（1） 与 仍是幂等矩阵 （2）的特征值为 0 或者 1 ，可以对角化 （3） （4） (5) 定理4.3 设，由k个互异的特征值，则 为正规矩阵 存在k个幂等矩阵满足 （1） ， ， （2） （3） （4） 称（4）为正规矩阵的谱分解，

17、称为正交投影算子，且分解形式唯一。例 4.1 已知，验证 是正规矩阵并写出 的谱分解式解：由于 所以是反 Hermite矩阵 = =得出 的特征值 计算 的特征向量得到标准化后 的正交单位特征向量 ；计算 的特征向量得到标准化后 的单位特征向量 所以的正交投影矩阵 则的谱分解表达式为 5 矩阵的奇异值分解与极分解 5.1 矩阵的奇异值分解 定义 5.1.1 设 ，的特征值为 ； 则称 为 的奇异值。定理 5.1.2 设 ，则存在 m 阶酉矩阵与 n 阶酉矩阵 ，使得；其中 此时 为 的奇异值分解。注释：特别 ，则=例 5.1.1求矩阵 的奇异值分解 解：的特征值为 于是可以得到 的奇异值为 且

18、 的正交单位特征向量为 令 ，则=从而可得到 的奇异值分解为5.2 矩阵的极分解 定义 5.2.1 设 ，若存在酉矩阵与 Hermite 矩阵 与 ，使得 （5.2.1）且这样的分解式是唯一的.同时有，,.则称以上（5.2.1）分解式为矩阵A 的极分解.证明：以为是满秩的，是正定的Hermite矩阵，所以存在唯一的正定Hermite矩阵,使得 且 ;这表明是酉矩阵，令 ，所以 ，又因为其中 ,显然 是正定 Hermite 矩阵.因为 是唯一的，所以 U 也是确定的，因此矩阵的极分解是惟一的.定理 5.2.2 设，则存在与半正定 Hermite 矩阵 ,满足 并且 , .证明：据 的奇异值分解可

19、知，存在酉矩阵 使得其中是的 r 个奇异值.因此 =令 , 则有 ；其中是半正定 Hermite 矩阵，U 是酉矩阵。6、矩阵分解的应用与举例例1：设矩阵，求。解：对矩阵作如下的初等变换 所以的初等因子为 ，。所以的Jardon标准形为 从而得 即 例2：设A为n阶实矩阵，E为n阶单位矩阵。证明：，其中i为虚数单位。解：存在可逆的酉矩阵T，使得从而有由于为n阶实矩阵，则的特征多项式为n次实多项式，又因为实多项式的复根是成对共轭出现，因此的复特征值出是成对共轭出现的。当的所有特征值都不是（或），则的特征值不存在（或）。 则此时 ，且有 ， 而此时 从而得 当的特征值中存在有（或），则一定有一特征

20、值（或）存在。并且有几个（或）存在相应的就有几个（或）存在。又由于 ，从而 知 （）中不为零的个数（）中不为零的个数从而可得得证。例3：设为阶矩阵，且，证明：秩+秩解 ：由于，则因此 为的化零多项式从而有 所以的最小多项式的根只能为-1或1又的特征多项式与最小多项式有相同的根，因此的特征值为-1或1假设的特征值中有个-1（或1），则的另外的个特征值必为-1（或1）。且存在正交矩阵，使得 则有 因此 同理可得 则有 从而有 秩+秩 得证。例4：设是秩为的级矩阵。 证明: 存在秩为的方阵和使得。证明： 因为是秩为的级矩阵，由性质2,得 存在可逆矩阵、，使得现令、，则有得证。例5：设，求。解：由于，

21、 则其中，则有所以 例6：设为级矩阵, 求证: (1) 存在正整数使得秩() 秩(); (2) 若存在正整数使得秩()秩(), 则对于任意正整数, 秩()秩()。证明 :存在酉矩阵，使得 ，其中，且为矩阵的特征值。不妨假设 、，则可得，为可逆矩阵，因此对任意的正整数，有， （2）又对任意，且， （3）因此可令，则由（3）式，知 （4）由（4），得 对任意的，有 从而由（2）、（4），得秩秩且对任意的正整数，也有秩秩 得证。 通过上述的讨论，对矩阵的分解有了一定的认识。参考文献:1 史荣昌,魏丰.矩阵分析.北京理工大学出版社,2010.6.2 刘丁酋. 矩阵分析M. 武昌: 武汉大学出版社, 2

22、003. 8. 3 廖安平,刘建州.矩阵论M.长沙: 湖南大学出版社,2005.7. 4 张凯院,徐仲.矩阵论同步学习辅导M.西安:西北工业大学出版社,2002.105 关红钧,苏艳华.关于n 阶矩阵的三角分解J.沈阳航空工业学院学报,18:4(2001),38-40. 6 冯天祥,李世宏.矩阵的QR分解J.西南民族学院学报,20:4(2001),418-421. 7 张贤达. 矩阵分析及应用M. 北京: 清华大学出版社, 2004. 8 刘慧, 袁文燕, 姜冬青. 矩阵论及应用M. 北京: 化学工业出版社, 2003. 9 方保镕, 周继东, 李医民. 矩阵论M. 北京: 清华大学出版社, 2004. 10 吴强. 基于矩阵初等变换的矩阵分解法J. 数学理论与应用, 20:4(2000), 105-107.