矩阵函数以及应用毕业设计.doc

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1、1 绪论1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史人们对矩阵（Matrix）的研究历史非常悠久，在很久以前就已经有人研究过了幻方和拉丁方阵。在过去的很长时间内，矩阵都是人们解决线性问题的最主要方法。成书于汉朝前期的九章算术，在表示线性方程组的过程中使用了将方程中不同系数分开的方法，这种方法在后来的不断演化下最终得到方程的增广矩阵。在计算的过程中经常使用矩阵的初等变换进行消元，具体说就是通过一些计算技巧将前面给出的增广矩阵化为行最简型。但是当时我们能知道的矩阵知识非常的少，虽然过去的标准和现在的矩阵在表示上已经非常的类似了，但这两者都是以线性方程为基本标准。事实上子宫基质的控制中心和开始生活意义的

2、地方是矩阵最开始的意义，所以说矩阵有生命的意义。在数学中，开始出现的是对现在数学都有决定性的行列式，但需要行列式的行和列相等，最终的排成的表都是方的，随着研究的深入人们发现行数等于列数的行列式已经无法满足现实生活中的实际需要了。在这种情况下，矩阵应运而生。现在对于我们来说非常熟悉的矩阵和行列式，它们的概念是非常的不一样的。行列式能按照我们的规则计算出它的结果，而矩阵是将数字按一定顺序排列得到的。在学术研究中恰当地使用矩阵，能用向量空间中的向量表示线性方程组中系数矩阵；因此，一个多元线性方程组的解的情况，以及一系列问题的理论解之间的不同关系，都可以得到彻底解决。矩阵都有自身的行和列，水平的称之为

3、行，竖直的称之为列。这些我们现在能看到的关于矩阵的一切都是由无数数学家的摸索得来的。矩阵（Matrix）在数学发展历史上有着非常重要的位置，它一直是数学研究的一个主要方面，是数学在研究和应用过程中经常用到的知识。“矩阵”由英国数学家叶（Sylvester）第一次使用，他使用的这个数学术语最后将矩阵的列数和早期的行列式分离开来。在数学发展的历史长河中矩阵理论的创立者被一致认为是英国数学家凯莱（Cayley），是他最先将矩阵作为一个单独的数学上的概念提出来，并且关于矩阵的很多学术论文和著作都是他最早发表的。事实上最早的矩阵是从对大量行列式的研究中分离出来的，因为和行列式对应的方阵本身就可以做许多的

4、研究和运用，随着对行列式研究的深入，矩阵的许多知识点也日渐完善。从逻辑上讲，概念应先于行列式的矩阵的概念和历史上真正的顺序是恰恰相反的。在19世纪50年代，英国数学家凯莱（Cayley）公开展示了自己关于矩阵的最新研究成果-矩阵论的研究报告，这项研究成果使我们对矩阵的认识更深入了一步。本文定义了矩阵相等、矩阵的算法、矩阵的转置和基本概念，如矩阵的逆矩阵的加法，给出了系列，互换性和约束力。除此之外，英国数学家凯莱（Cayley）也给出了方阵的特征根（特征值），还有其他许多结论。矩阵的发展历史，著名的德国数学家弗洛伯纽斯（Frobenius）起着非常重要的作用，他是第一个对矩阵中最小多项式问题作全

5、面介绍的著名数学家。他还介绍了矩阵的秩、不变的因素和主要因素、正交矩阵相似变换等知识，矩阵的其他概念如合同，不变的因素和主要因素理论的逻辑排列的形式等等在他的著作中也有体现。在19世纪50年代，约丹经过潜心研究首先发表了把一般矩阵化为标准型矩阵的方法。到了19世纪90年代，梅茨勒（Metzler）首先提出了矩阵函数的基本概念，最后找到用幂级数形式将表示矩阵的方法，这些对矩阵的发展意义重大。此外，傅立叶（Fourier）与庞加莱（Poincare）研究的主要是无穷矩阵方面。到这时，矩阵已经相当完善了。矩阵最大的用途就是在实践中解用常规方法难以求解的方程。另外一个在实际操作中很有意义的作用是代表线

6、性变换，即是像f(x)、4x之类的关于线性函数的推论。矩阵的特征向量可以揭示一个线性变换的深层次特征。随着两个世纪中无数数学家的无私奉献，矩阵论已经成为了一门完善的数学分支。矩阵在很多方面都有重要应用，例如数学领域里，力学、物理学、工程数学、经济管理方面都有矩阵的出现。1.2 本文所做的主要工作矩阵理论包含的内容非常非常多，矩阵函数在矩阵理论中占据非常重要的位置，相比于矩阵函数中的其他知识，矩阵多项式比较容易理解，就是这样容易理解的矩阵多项式是我们对矩阵函数进行研究的理论基础。矩阵函数的定义方式有多种，本文主要是从多项式和幂级数两个方面进行研究的。本文主要论述了矩阵函数以及应用。在文章的第一部

7、分，总结了矩阵函数所必须的基础知识，主要包括代数学多项式理论、行列式与矩阵等方面的一些结论以及数学分析中幂级数的若干法则。文章的第二部分，总结了矩阵函数的概念、性质、推论，介绍了若干重要的矩阵函数。文章的第三部分，归纳了矩阵函数的若干计算方法，包括了Hamiltio-Cayley定理、利用相似对角化计算、利用Jordan标准型法进行计算、利用待定系数法求解等四种计算方法。在这部分的最后对这四种方法进行了比较，在比较中加深对矩阵函数求解的认识。可以根据计算过程中遇到的实际情形加以选择，将会给计算带来很大方便。本文的第四部分，通过查阅文献和指导教师交流的方式，在求解线性微分方程过程中有对矩阵函数的

8、应用研究，并介绍了在线性系统的可控性和可观性中矩阵函数的应用。本文的最后部分，通过Matlab编写能计算常用矩阵函数的程序，将使矩阵函数的计算更方便、迅速。2 矩阵函数2.1 研究本论文具备的数学基础为了进一步讨论和便于理解，引入以下研究本论文的相关概念：1、线性空间 在集合上具有一定的结构或符合一定的要求，那么这个集合就是特定的空间。如果是非空的集合，是数域。对里的元素定义代数类运算，叫作加法；就是给出一种规则，使中任意两个元素和，都能在中找到唯一的一个和它匹配，其中是与的和，记为。在数域与集合中的元素再定义另外一种运算，叫作数量乘法；就是如果数域中任何一数与中的任何一个元素，在中都能找到一

9、个元素和它匹配，是和的数量乘积，记为。若加法与数乘都同时符合它们的运算法则，那么就叫作数域上的线性空间。2、级数 级数知识是分析科学中一个重要的部分；这个概念经常出现在数学的其他分支。把数列的项，逐项相加得到的函数。数项级数简称级数。如：，缩写为，就是级数的通项，记作是级数的部分和。如果当时，数列极限有，级数就是收敛的，否则就是发散的。研究函数经常会用到级数，它不管在理论上还是实际中都有很多用途，原因主要有一下两个方面：一、许多经常用到的非初等函数可以用级数表示，级数还可以表示微分方程的解；二、函数可以用来表示级数，也能用级数去探讨函数的性质。幂级数，是级数中非常重要的一种，被当作基础知识应用

10、在实变型函数、复变型函数和其他许多基本领域中，在这些领域发挥巨大的作用。幂级数是指每一项均对应着级数项序号的常数倍的的次方（是从0递增的自然数，是常数）。幂级数与多项式形式非常接近，在许多方面有相似的特征，可以被视为“无限的多项式”。3、正定矩阵 在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。它的定义有广义和狭义之分。广义定义：设是阶方阵，如果有任意非零向量，都有， 是的转置，称为正定矩阵。例如：为阶矩阵，为单位矩阵，为正实数。在充分大时，为正定矩阵。（必须为对称阵）狭义定义：一个阶的实对称矩阵是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量，都有。其中表示的转置。4、线性算子 线性算子，有数学运算各领域

11、的线性性质（如线性变换，线性代数理论的微分方程，积分方程理论，微分，积分，积分变换）的抽象概括。它是研究线性泛函的一个重要目标。线性算子的用途很广，不但应用在数学的很多分支当中，同时对于量子物理也是重要的数学基础。 5、对称矩阵和反对称矩阵 对称矩阵的定义是：（的转置），对称的矩阵元素。反对称矩阵的定义为：(的转置前加负)它的首行与首列各元素绝对值相等，符号相反。即, 因此，在对角线上的元素，,有， 在非偶数域中，有，即反对称矩阵对角线元素为零，此性质只在非偶数域中成立。6、化零（零化）多项式给定矩阵，如果多项式，满足,则称是的化零多项式，（一般取首项系数为1）。7、矩阵的谱半径 设是矩阵，是

12、其特征值， = 1，2，。下面通过数学式子将其表示出来。假如表示的谱半径，即。也就是说矩阵的谱半径是矩阵的全部特征值求模的最大值；如果特征值是虚数，谱半径就是实部和虚部的平方和求算术平方根。8、 表示数域F上矩阵全体的线性空间；9、 表示复矩阵集；10、 数域F上的纯量多项式；11、矩阵的谱 矩阵通过数学运算计算出来的特征值的集合就是一个矩阵的谱，通过数学表达式表示出来也就是：表示的谱，即；12、其中次数最低的零化多项式称为矩阵的最小多项式，记做；13、文献1给出矩阵级数的定义：定义1：设是的矩阵序列，其中，无穷和称为矩阵级数，记为.对正整数，记称为矩阵级数的部分和，如果矩阵序列收敛，且有极限

13、，即，则称矩阵级数收敛，并称为矩阵级数的和，记为。不收敛的矩阵级数称为发散的.定义2：设，形如的矩阵级数称为矩阵幂级数.14、相似矩阵 设是阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵使,则称矩阵与相似的，记为.相似矩阵代表等价的关系。15、可对角化矩阵 如果阶方阵能与一个对角矩阵相似，就说可对角化。阶方阵可对角化的充要条件是它有个线性无关的特征向量。对角矩阵(diagonal matrix)是一个矩阵主对角线之外的所有元素都是0。对角线上的元素可以是0或任何其他值。然后引入线性无关的概念。对向量组，如果有一组不全为零的数,然后 被称为向量组线性相关.如果没有这样的,换句话就是向量等式当且仅当才成立,就称向量组

14、是线性无关的.16、可逆矩阵 可逆矩阵是线性代数中的一种矩阵，其定义为在线性代数中，给定一个阶方阵，若存在一阶方阵，使得（或、 满足任意一个），其中 为阶单位矩阵，则称 是可逆的，且是的逆矩阵，记作。2.2 矩阵函数的定义类比于代数中函数的定义，能知道定义域和值域都属于方阵的函数称为矩阵函数。矩阵函数的定义方式有很多种，为了便于进一步的研究，本文主要从经常使用的多项式和幂级数来定义矩阵函数。矩阵函数的多项式表示：设是数域F上的一个阶矩阵，简记为，是数域F上的一个次多项式，简记为，将此多项式中换成，其中换成单位矩阵，则矩阵函数可以定义为：矩阵函数的幂级数表示：设，如果一元函数能够展开为z的幂级数

15、=，R，其中表示该幂级数的收敛半径.当阶矩阵的谱半径时，把收敛的矩阵幂级数的和称为矩阵函数，记为，即=。2.3 一些矩阵函数的重要性质及推论性质1：和可交换，即证 设纯量多项式，则矩阵多项式为，于是= 性质2：函数和（或差）的矩阵函数等于矩阵函数的和（或差），即性质3：函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积，即性质4：若,则，即若，则证 由于，故存在可逆矩阵，使得，若是纯量多项式，则,即性质5：设，且,函数在上有定义，在上有定义，则证 设，的最小多项式的次数分别为和，则存在次数不超过的多项式和次数不超过的多项式，使得由于，因此对任意正整数，有，从而A的多项式与B的多项式相乘时可交换，即得性质6：设，

16、A的特征值都是正实数，是系数为非负实数的幂级数的和函数，它的收敛半径，则，且证 因为A的特征值都是正实数，且是系数为非负实数的幂级数的和函数，因此的特征值为，其中是A的特征值，所以若不恒为0，则，从而；若恒为0，则，从而。性质7：设，函数在上有定义，则证 由于与相似，因此，与有相同的谱，也有相同的最小多项式，由在上有定义，则在上有定义，且在与的谱上的值相同，因此可取相同的多项式，使得.所以性质8：设是对称矩阵，函数在上有定义，则是对称矩阵性质9：设是实对称矩阵，实函数在上有定义，且对A的任一特征值，有，则是正定矩阵。证 由为实函数，A是实对称矩阵，根据性质8知，是实对称矩阵，又因为的特征值为，

17、其中是A的特征值，所以是正定矩阵。性质10：设是反对称矩阵，函数在上有定义，且为奇函数，则是反对称矩阵。证 由性质7得,又由于为奇函数，所以即是反对称矩阵。2.4 常用的矩阵函数在矩阵理论中，有许多不同种类的矩阵函数。经常使用的矩阵函数有矩阵的指数函数和矩阵的三角函数。以下是矩阵函数的基本性质：根据上面给出的用幂级数定义的矩阵函数，可以得到。根据这个定义，可以得到和数学分析中一些函数相似的矩阵函数，可以通过以前学过的高等数学知识类比现在得到的矩阵函数的性质。如：，,。矩阵指数函数的基本性质：(1)若，则;(2)；(3)证 （1）显然满足矩阵加法的交换律，所以我们只需要证明.根据现有的矩阵指数函

18、数表达式有： (2)在（1）中令B=-A,则得,所以(3)设A的特征值为，则的特征值为，因此推论 ，(是整数)。这表明矩阵的指数函数矩阵总存在逆阵。如果把矩阵函数的变元换成，其中为参数，则相应地有。在实际中，经常需要求含参数的矩阵指数函数。矩阵三角函数的基本性质：(1) (2)，(3) (4)若，则 证(1)因为，将分为偶数和奇数，则有 (2)同(1)证可得 两式相加得两式相减得(3)因为，所以，又因为，所以(4)若，得 同理可证 3 矩阵函数的计算矩阵函数的计算问题是矩阵的实际应用的一个关键问题。物理学中的矩阵函数的计算，统计和模拟电路有许多实际的应用，例如，被要求限定入口，行列式的逆矩阵的

19、迹和高阶矩阵值等。13和矩阵函数相关的计算问题将会在本文中进行研究。矩阵函数的计算方法虽然多种多样，但是想通过定义求解矩阵函数的过程很困难。本文主要研究了最有代表性四种方法四种方法是不同的，这涉及到微分方程的求解、Jordan标准化形式、特征多项式等一些知识。所以，研究如何方便地计算矩阵函数对于解决实际生活中的实际问题具有非常重要的意义。为此，我们介绍下列几种常用的算法。在前一章中通过利用收敛矩阵幂级数的和定义了矩阵函数,在具体应用中，需要求出所代表的具体矩阵，即求出矩阵函数的具体值。本章介绍了几种求矩阵函数的方法，为了简化运算以下式中出现的矩阵函数均假设为收敛的矩阵幂级数。3.1 利用Ham

20、iltio-Cayley定理求矩阵函数定理 (Hamilton-Cayley) 设AMn(F), f(l)=是A的特征多项式，则.为了便于后面的理解，这里作一点简单的证明。证 设B(l)是的伴随矩阵，则根据伴随矩阵的定义有：因为矩阵B(l)的元素是的各个代数余子式，都是l的多项式，其次数不超过因此由矩阵的运算性质，B(l)可以写成其中Mn(F)再设，则 (1)于是 (2)比较(1)和(2)，得 (3)用依次从右边乘(3)的第一式，第二式，第n式，第n+1式，得 (4)把(4)的n+1个式子相加，左边变成零，右边就是f (A)，故f(A)=0 为了继续研究的需要，在这里对上文中提到的伴随矩阵的概

21、念作简单的介绍。根据线性代数的知识体系，任何一个方阵的伴随矩阵其实是一个和矩阵逆矩阵相似的概念。假如一个矩阵是可逆的，可以得到它的伴随矩阵和它的逆矩阵之间是一种倍数的关系。但是，伴随矩阵对于不可逆的矩阵也有定义，而且不需要用除法。矩阵的伴随矩阵可以按下面的方法定义：1.把矩阵的每一个元素都换成与之匹配的代数余子式；（代数余子式的定义：在一个阶行列式中,把元所在的第行和第列的全部元素去掉，剩下的所有元素组成的阶行列式叫做元的余子式，记着;即，就叫做元的代数余子式）注意：前面求得的是一个具体的数而不是一个矩阵。2.将（1）中求得的矩阵转置就是的伴随矩阵，补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）

22、：去除的行列式中元素对应的第行和第列得到的新行列式代替，这样就不用转置了）例 设是n阶可逆矩阵，则，其中g(l)是一个n1次多项式证 设的特征多项式为，通过Hamilion-Cayley定理，可以得到O因为A是可逆矩阵，所以，于是上式可化为，这表明，其中，是一个n1次多项式设是一个数域，是文字，求多项式环，一个给定的矩阵若它的元素都是关于的一个多项式，即的所有元素，这个矩阵就被称作矩阵.因为存在于数域中的元素也是的数，所以在矩阵中也包含了以数为元素组成的矩阵.为了与原有的矩阵区别开来，我们称数域中的数为元素组成的矩阵为数字矩阵.在接下来的文章中就用等表示矩阵.上面提到的多项式环中的环其实是一种

23、代数结构。在抽象代数里，代数结构（algebraic structure）是指至少具备两个的计算（最常用的操作，可以存在无数个计算）的非空集合。一般研究的代数结构有群、环、域、格、模、域代数和向量空间等等。对于非空集合R，如果定义了两种代数运算+和*（不一定就是代数中加法与乘法的含义），并且满足下面的条件：1）集合R在运算+下能组成阿贝尔群（Abel）。2）*具有封闭性，就是对于任意的aR,bR，总是有a*bR。3）运算符*下有分配律和结合律，即对于任意的aR，bR和cR，总有：a*（b+c）=a*b+a*c，（b+c）*a=b*a+c*a，（a*b）*c=a*（b*c），我们就把R称作环（R

24、ing）。所以满足上述定义的多项式就被称为多项式环。我们清楚，中的元素能进行加或者减或者乘三种计算，并且它们的计算和数的运算规律是相同的.矩阵的加法和乘法的定义中使用的元素的加法和乘法，所以它可以类似地定义矩阵的加法和乘法，和数字矩阵运算的算法规则相同。通过行列式的本质，可以看到只用了元素的加法和乘法，所以，同理也能定义的矩阵行列式.一般来说，矩阵的行列式也是一个多项式，它和数字矩阵的行列式具有同样的性质。定义 一个的矩阵称为可逆的，如果有一个的矩阵使 , (1)这里是单位矩阵.适用(1)的矩阵(它是唯一的)被称作的逆矩阵，记作.例 已知,求。解 的特征多项式为,通过Hamiltio-Cayl

25、ey定理有：,即即 故 .3.2 利用相似对角化求矩阵函数设是对角矩阵，那么必有阶的可逆矩阵,使则有从而，为了便于理解，这里简单介绍一下文中将会用到的可对角化矩阵、可逆矩阵、可交换矩阵和变换矩阵的相关概念。为了告诉概念清晰的对角化矩阵，首先简要说明相似矩阵的概念。设都是阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵使,则称矩阵与矩阵相似，记作.矩阵的相似是一种等价关系。如果阶方阵能与一个对角矩阵相似，称可以对角化。阶的方阵能对角化的充要条件是它具备个线性无关的特征向量。可逆矩阵是线性代数中经常用到的一种矩阵，它在线性代数中的定义为给定一个阶的方阵，如果存在一个阶方阵，使得（或、 任意满足一个），其中为 阶单位矩阵

26、，则称是可逆的，且 是 的逆阵，记作。如果一个方阵有乘法交换律，那么这个方阵就是可交换矩阵，用数学表达式表示就是：。变换矩阵是线性代数中的一个数学概念。在线性代数中，线性变换能够用矩阵表示。如果是能将映射到的一个线性变换，并且是有个元素的列向量 ，那么我们就可以将mn的矩阵，叫作的变换矩阵。任何一种线性变换都能用矩阵表示，并且它更容易计算，就算有很多线性变换只要正确地使用矩阵乘法就能够将它们连接起来。如果线性变换函数的类型是，只要通过对标准基中的任意一个向量作简单变换，最后把结果插到矩阵的列中，所以它是很容易确定的变换矩阵，即：例 已知求解 所以的特征值为，。对应于的特征向量；对应于线性无关的

27、特征向量，故 使得 于是 上面介绍的是一般矩阵，一般矩阵可以通过相似对角化的方法求解矩阵函数，对一般矩阵而言相似对角化的过程必须先求出矩阵的特征向量。当然矩阵中还有些比较特殊的矩阵，因为他们的特殊性可以将计算简化。对角矩阵就是这样的一种特殊矩阵，接着就来介绍求对角矩阵函数的方法。（为一个对角矩阵或者对角矩阵的块）。(1)矩阵函数为矩阵幂函数若为对角矩阵，即则由矩阵乘法，有若为分块对角矩阵，即，其中为子块。则(2矩阵函数为矩阵多项式因为是几个矩阵指数函数的线性组合，它仍然可以作为（1）中的计算方法。3.3 利用Jordan标准形法求矩阵函数设矩阵的Jordan标准形为，即,则必存在可逆矩阵，使从

28、而由矩阵函数的性质4可知所以求可以通过以下3个步骤来计算：第一步，先求出的Jordan标准形，接着求相似的变换矩阵，使得；第二步，计算，其中第三步，利用求出该方法的关键在于如何求Jordan标准形J，这里简单描述了怎么用初等因子法求Jordan标准形J:文献 10 中有基本因素不变因子的定理和定义，有如下摘录：定义3 标准形的主对角线上非零元素的不变因子。定义4 把矩阵的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵的初等因子。求Jordan标准形的具体方法：1、首先求给定矩阵的特征矩阵；2、再求矩阵的初等因子组

29、，其中可能有相同的，中也可能有相同的，但总有；3、每个初等因子对应着一个Jordan块，其阶数为，对角线元素为，即4、这些Jordan块的组合构成一个Jordan矩阵J，即例 设，求.解 令.求得的Jordan标准形为：.再求相似的变换矩阵.设即应满足即是两个线性无关的解.解，同解方程组，令分别取,得特征向量，于是有则，计算出.于是 .一个重要的结论：以独立的矩阵函数和Jordan块的排列顺序没有任何关系，没有选定具体的变换矩阵P，矩阵函数总能转为计算矩阵多项式。3.4 利用待定系数法求矩阵函数（化零多项式法）从上面的介绍可以知道求矩阵函数通过求矩阵Jordan标准形式的方法是非常复杂的，它要

30、求Jordan标准形式及变换矩阵，这个过程很繁琐。下面我们介绍根据化零多项式求解矩阵函数的一种方法，希望能达到降低计算量的目的。要达到目的这里需要介绍一个非常有用的定理。定理 阶方阵的最小多项式等于它的特征矩阵的第个（也就是最后一个）不变因子。初等因子，不变因子的概念见引用文献10中的定义3，定义4，这里不再介绍。设阶方阵的不变因子反向依次为，由他们给出的初等因子分别为其中。因为，所以必定出现在中；如果，则。因此，矩阵的最小多项式是，它的最小多项式就是它的零化多项式，也就是按照矩阵函数的定义，只要求出多项式，有 令其中m是A的一个极小多项式的次数，从上述条件可以得到方程组求出，从而得到，最终得

31、到这是待定系数法的使用（多项式法）求解矩阵函数的相关理论知识，这里有具体的例子说明了如何使用这种方法。例 设矩阵,求解 由于特征多项式，易算出不是A的零化多项式，故A的最小多项式为，于是设为2次多项式，即，由于，且是单根，是二重根，故有 即 解得 从而得 3.5 四种方法的比较为了将问题说明清楚，这里将几个基本概念回顾一下。首先了解初等变换的概念。初等变换（elementary transformation）是高代中的数学名词，同时也代表着一种运算。初等变换主要包括三种情况：线性方程组里的初等变换、行列式中的初等变换和矩阵的初等变换。三个方面的初等变换大同小异。由于本文是矩阵函数及其应用的研究

32、，因此本文主要对矩阵的初等变换进行阐述，对另外两种初等变换不作详细介绍。矩阵的初等变换包含有矩阵的初等行变换与它的初等列变换。下面给出的三种初等变换都称作矩阵初等行变换：1、将两行对调；2、某一行的所有元素乘上一个非零实数；3、将某一行所有的元素乘以非零常数k加到另一行分别与之对应的元素上去。如果把前面定义中的“行”换成“列”，得到的就是矩阵的初等列变换的定义。如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵，那么矩阵与是等效的。另外：分块矩阵也能定义初等变换。四种方法中的第二种计算方法难度最大，在求的Jordan表示式时，要求矩阵的Jordan标准形式，在求Jordan标准型的过程中还要涉及矩阵的初等变

33、换，计算很麻烦，最后还要算交换矩阵，计算量非常大，矩阵的阶数变大也会增加很多计算量；同时也是最实用的，因为这种方法的优点是计算步骤非常清晰，容易理解。第一，第三和第四种方法中使用的数学原理和方法比较多，明显地比第二种方法计算量少，它们的计算过程相对简单，但要明白为什么要这么做，还需要清楚地理解里面运用的一些定理和方法。4 矩阵函数的应用矩阵函数理论对于矩阵理论意义重大。因为矩阵函数，人们对矩阵的研究由以前的计算进入到现在的分析领域。同时也可以解决不仅数学领域而且工程技术等其它许多领域的众多计算难题。本文在这里简单介绍矩阵函数的一些实际应用，主要以在现代控制理论中的应用为例进行阐述。现代科学技术

34、有许多不同的领域，其中包括的自动控制技术在各个方面的作用越来越明显。随着科学技术越来越成熟，自动控制理论进入了一个新的过渡阶段，从过去传统的控制理论到现在的控制理论。优化控制系统主要讨论了变参数的多变量的高性能，多变量系统的精度高，主要工具就是矩阵理论。因此，现代控制理论中的矩阵理论和矩阵函数的知识具有重要作用。同样地，为了更好地研究本问题，对本问题中涉及到的控制学中概念做一些简单介绍。首先简单介绍一下线性系统和线性系统的发展历史。上个世纪50年代左右，最开始出现的线性系统理论经过一段时间的应用和改善，已经发展成了一套完整的理论，在许多工程技术领域中都有线性系统理的使用。通过矩阵函数定义的解决

35、线性控制中的问题是使用镶嵌技术获得期望矩阵的传递函数。14最开始出现的线性系统理论是以拉普拉斯变换作为最基本的数学知识，它的最根本的数学模型就是前面提到的传递函数，最基本的研究和综合方式是通过频率响应的方法。这种方法对单输入输出类型的线性定常系统的剖析效果很好。然而，这种理论也具备非常突出的不足之处，最明显的不足之处是不能很好地处理多输入和多输出的系统，而且很难表示出一个系统的真正的内部特征。在20世纪60年代左右，关于线性系统的理论经历了从最开始的古典阶段到现代阶段的重要时期，其中最具代表性的事是卡尔曼第一次完整地在系统和控制的理论中引进了状态空间的方法。状态的空间方法的一个最主要的特征是：

36、通过描述状态的内部空间的方法代替以前的使用传递函数的方法描述外部的输入和输出系统，并且通过在时间区域内对整个系统进行探讨和整合。状态的空间方法既能在输入输出类的系统中使用，也能在线性的系统等几种系统中运用。基于状态的空间方法，卡尔曼将系统的可控制性与可观测性这两个最能揭示系统结构特征的重要的概念又向前推进了一部，在实践应用中已经可以充分说明它们两个是线性系统的理论中的最常用到的概念。在前面介绍的可控制性和可观测性，对于线性系统的进一步研究和整合在根本的指导规则方面都产生了重大影响。这种影响集中体现在用“内在研究”替代了传统的“外在研究”，并将探讨和整合的过程需要的基础理论变的更加严格起来。从6

37、0年代中期到现在，不仅在研究内容和研究方法，对于线性系统，有很多新的突破。产生了新的探讨线性的系统的特征和它的结构的方法，这种方法主要是以几何方法解决实际问题，同时产生了基于抽象代数的主要用于线性系统的代数新理论，也出现了基于扩展的经典频率的方法开发而来的多变量频域理论。就在此时，由于计算机技术的飞速发展和完善，对于线性系统中的研究和整合中出现的的计算难题，以及使用计算机对线性的体系进行辅助性的剖析和辅助性的设计，也都得到了广泛和充分的研究。为了使研究的问题更透彻，接下来重点介绍一下能控性和能观测性。可控制性和可观性是现在的控制理论中最基础的概念，它是卡尔曼于60年代率先提出，它的基础是线性系

38、统的理论分析和设计。能控制性其实指的是一种可能性，它是指控制作用对被控制系统的状态进行控制的这种可能性；能观性描述的其实是一种可能性，它是通过系统输出反推系统状态的可能。可控制性描述的是状态的控制力，可观测性描述的是状态的观测力，这两条性质给出了两个最基本的控制系统存在的问题。下面就给出线性系统的可控制性与可观测性的定义。能控性定义：一般地，对于线性定常系统 （1-1）其中，、分别是、维向量；、是常值矩阵，常值矩阵满足矩阵运算.如果给定系统的初始状态，在的有限时间区间 ，可以发现控制使，系统的状态在时刻是可以控制的；假如系统对于任何一个初始状态都可以控制，那么就称这个系统的状态完全可以控制的，

39、简称系统是状态能控的或者系统是可控的。对于能控性的定义，说明几点：(1)初始状态是状态空间中任意的非零有限点，控制目标是状态空间坐标原点(原点能控性)。(2)如果在，内，能找到控制使系统从状态空间原点推向预先指定的状态，则称为状态能达性；因为任何连续系统的状态转移形成的都是非奇异的矩阵，所以能说某种程度上系统能达性就是系统的能控性。在这里简单介绍一下非奇异矩阵。如果阶矩阵的行列式不为零，即，那么被称为非奇异矩阵，否则就是奇异的。(3) 若，系统状态方程的解为 (t)= + 如果系统是能控的，能找到控制，使得=+=0=- (0)=- （1-2）满足初始状态类型，必须是可控的状态。(4)当系统有不

40、依附于的确定性干扰时，系统状态方程可以表示为因为是一个确定性的干扰，它不会改变系统的可控性。能观测性定义一般地，对于线性定常系统 如果在的有限时间区间，内，通过观测,能唯一地确定系统的初始状态，称系统状态在是能观测的；如果对任意的初始状态，可以观察到，就说系统是完全可观测的，称为系统的状态可以观察或系统可观察。对于能观测性的定义，说明几点：(1)已知系统在有限时间区间，内的输出，观测的目标是为了确定初始状态.(2)系统对于在，内的输出能唯一地确定任意指定的状态,表示系统状态可以被检测到；因为连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，所以系统能检测性与能观测性是等价的。 (3)能观测性表示的是输出反映状

41、态的能力,与控制作用没有直接的关系，所以在分析能观测性时，不妨设，只需从齐次状态方程和输出方程出发进行分析。那么线性定常系统就变为（4）若系统存在确定性干扰信号，即因为与、独立，因此在系统的可观测性研究是不考虑的影响。二、能控性与能观测性的判定线性的系统最基本的结构特征是能控性与能观测性，它们表示的是系统的输入输出与系统内在状态量之间的联系。直观地说，可控性问题是系统的内部状态变量的研究完全可以用问题的输入控制。如果可以改变和掌管系统的每一个运动状态，并且通过任何一个开始的点都可以到达原来的状态空间原点，那么就称这个系统是完全可控制的。可观测性是系统输入与输出的充分反映系统问题的状态。如果任何

42、形式的状态变量的输出系统都充分体现了运动，所代表的系统状态可观，则称为观察。系统的状态方程为： 系统可控性探讨的是控制系统的输入量对状态量的作用。可控制性的判别规则最常用的有三种：1、通过判定矩阵来判断能控性。可控性矩阵Qk=B AB A2B An-1B满秩。如果的秩为，可控性矩阵Qk=B AB A2B An-rB。为了继续研究的需要，在这里简单地介绍一下满秩的概念，首先介绍一下矩阵的秩的概念。矩阵的秩: 用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵,则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩,记为。满秩矩阵（non-singular matrix）:设是n阶矩阵, 如果,称为满秩矩阵。满秩矩阵这个概念非常

43、重要，它能判断矩阵是否可逆，非奇异矩阵是满秩矩阵。2、利用对角约当规范型来判断。此状态可确定哪个状态不可控。3、利用传递函数来判断。状态输入型的传递函数：（SI-A）-1B无零极点相消现象，它是完全可控的。这个判定准则不能够单独使用。为了便于理解和后续研究，在这里介绍一个非常重要的概念，传递函数。传递函数（transfer function）是将两个拉氏变换作除法。是在最开始的系统中输出变量的拉氏变换和输入变量的拉氏变换的商。写作，前面的、分别代表输出量与输入量的拉氏变换。传递函数是描绘线性系统动态特点的常用工具，最初产生的控制理论经常使用的研究方式是响应频率法和根轨迹方法，它们都以传递函数为

44、知识基础。系统的律的微分方程是对应的。所以可以先将整体分为几个部分，先求出每个部分自己的传递函数，再通过一定的逻辑性将这些传递函数组合起来就是我们要求的整体的传递函数。可以使用它们探讨系统的动态特征、稳定性，或按照要求将控制系统整合起来，设计满意的控制器。根据传递函数的知识探讨和整合控制的系统方法就是频域法。它不仅是最开始出现的控制的基本理论，而且在以单变量的频域法为基础的现代控制理论的成长进程中，它一直不断完善才有了现在的多变量的频域控制理论，为多变量控制系统研究的有力工具。一个纯虚复数当它的虚部是角频率时在传递函数中被称作频率响应。拉氏变换在工程中经常被应用。拉普拉斯变换是线性变换，它能使

45、一个有引数实数（）的函数变换成引数为复数的函数。在许多情况下，一个实变量函数在实数域中运算难度很大，但是对于一个拉普拉斯实变函数的变换，它能在复数领域内进行各种各样的数学操作，最后对前面求得的计算结果作一次拉氏反变换，就能最终求出它在实数领域的结果，这种方法在运算上和直接求解相比，方便很多。拉普拉斯变换方法计算出结果的线性微分方程是非常明显的，因为它可以将微分方程化为代数方程，所以计算很简单。在最开始的控制理论中，探讨和整合控制系统，都是以拉氏变换为基础上。引进拉普拉斯变换最明显长处，是采用了传递函数来描述系统的特征，取代了以前的常系数微分方程。其特点是直观和简单的图形方法来确定控制系统，运行过程控制系统的分析，为控制体系进行调试提供了可能。拉普拉斯变换是通过的连续时间函数再通过关系式(式中为自然对数底的指数