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1、丁克现象与人口增长摘 要本文针对丁克现象与人口增长的关系展开研究，以1989年为时间起点（零时刻），查得1989年丁克人口总数为34万，成而在此基础上进行了相关的预测，并对预测结果进行了分析，依据分析结果对模型进行了评价。对于问题一，我们“由浅入深”的利用马尔萨斯(Malthus)模型，建立自限模型(Logistic 模型)，进而对我国未来50年丁克现象进行预测。运用Matlab软件对预测数据进行图象拟合，直观的反映了我国丁克现象的发展趋势。考虑收集到的数据与时间之间呈现的相关性，我们先利用了马尔萨斯(Malthus)模型，但是得到t时，丁克人数也将趋于无穷，我们国家人口数将会达到下降趋势，并
2、趋于0，这显然不符合现实规律。考虑到马尔萨斯(Malthus)模型的不足之处，我们又运用了Logistic 模型，来对我国未来50年的丁克现象进行预测。为了检验模型的合理性，我们先得到1991年-2009年中国丁克人口数据预测(表1) 得到在2002年丁克人口数为119.8341万，而根据国家有关部门调查，2002年我国丁克人口达到120万人，二者之间绝对误差值（0.1659万人）比较合理，可见，建立的模型有很好的准确性。在此基础上得到我国未来五十年丁克人口预测值（表2），预测到2060年，丁克人口总数将达到997.8265万。并运用Matlab软件对预测数据进行图象处理（图1）。对于问题二，
3、基于生育率是我国人口发展的主要因素之一，而丁克人数的预测值将直接影响着我国未来人口生育率，于是本文考虑用生育率来建立起丁克现象与我国未来人口增长现象之间的影响函数。我们便基于Logistic模型来建立leslie人口发展模型，来预测我国未来人口发展趋势。 一 、问题重述丁克家庭主要是指夫妻双方有生育能力而自愿不生育的新型家庭模式。据美国人口调查局公布的年度分析报告表明：1993年美国丁克家庭已超过家庭总数的51%，致使总和生育率下降，人口出现负增长；而意大利、希腊和西班牙由于受丁克现象影响较为严重，已加入全球出生率最低的国家之列；丁克家庭的增长直接影响人口的老龄化速度加快，导致生产力水平下降，
4、制约着社会经济发展。从20世纪80年代开始，丁克家庭开始在我国大城市涌现，1979一1989年间上海共有113.24万对男女登记结婚，其中约有16.48万对夫妇没有生育过孩子。在上海2002年丁克家庭占家庭总数的12.6%，并且，至今连续8年上海人口持续负增长。我国的丁克家庭在日益增多，这将会制约着我国人口发展，影响总和生育率，以至人口老龄化问题严重，致使生产力水平下降，国民经济下滑。基于丁克人口现状分析，预测未来发展趋势，是人口发展及社会经济发展的有力保障。本文在丁克现象的分析预测中，暂时忽略了一些外在影响因素。现在假设我国社会经济稳定，短期时间内丁克现象的自然增长率不变，此时，本文只考虑丁
5、克现象原有的基数及自然增长率对未来丁克现象的数量发展的预测作用。根据中国人口统计年鉴中的数据进行模型的建立。本文研究的课题是丁克与人口增长，将复杂问题简单化，分析时，从单个影响因素逐一思考，建立模型解题时，简单模型不断完善，全面考虑影响因素，提高预测模型准确性。首先，基于马尔萨斯(Malthus)模型Logistic模型，利用Matlab软件模拟图象。丁克家庭的持续增长，会使我国人口大幅度降低，这对解决我国人口问题现状是一个好的途径。通过建立我国女性函数关系，分析丁克现象对生育率的影响，进一步改进总和生育率函数，得出丁克现象对我国未来五十年人口增长的影响。根据模型预测出各个年份的人口数。 二、
6、模型假设2.1基本假设1不考虑所查统计数字中的人口漏报现象；2没有重大影响人口发展的社会政治事件、严重的流行性疾病和自然灾害等；3假定所给数据大部分真实可靠，可以以此来估计总体数据；4假定人口总和生育率将长期稳定在某一常数；5同一年里每一个人的死亡率、生育率将保持不变为定值；6没有国际迁入和迁出或其可以忽略不计。2.2基本概念和名词解释1.生育率：某年每1000名15-49岁妇女的活产婴儿数。又称一般生育率。该指标比出生率要精确一些，因为它将生育同可能生育的特定性别年龄的人口联系起来（通常是15-49岁的妇女），排除了年龄性别结构不同引起的偏差。2.死亡率：一年内死亡人数与同期平均人数（或期中
7、人数）之比。说明该时期人口的死亡强度，用千分比表示。3.人口增长率：人口增长程度或增长速度，即一定时期内人口增长数与人口总数之比。通常以一年为期计算，用百分数表示。4.人口性别比：指某一人口中男性对女性的比例，通常以每100个女性对应的男性数来表示。5.人口年龄结构：某一年某一地区按年龄的人口总数。2.3基本符号解释P(t)：t年时丁克人口数（/万人）N(t)：t年我国育龄妇女总人数（/万人）a(t)：t年生育率Y(t)：t年丁克女性人数（/万人）m(t)：t年丁克影响系数d(t)：t年不孕不育患病率K(t)：t年时丁克人口占全国总人口的最大百分比G(t)：t时刻我国人口总数（/万人）三、模型
8、建立与求解1.马尔萨斯(Malthus)模型1.1马尔萨斯(Malthus)模型的建立首先，假设只考虑丁克人口的基数和自然增长率，其他因素的影响暂不考虑，则在t到t+t这段时间内丁克人口增长为P(t+t)-P(t)=rt, P(t)P(t)t 由此，即得丁克人口满足的微分方程 = rt, P(t)P(t) (1.1)式(1.1)函数形式简单，但由于自然增长率r(t, P(t)的不确定性，比较难于求解，下面本文逐步深入讨论。设rt, P(t)=r(常数)，则 = rP(t) P(t) = P (1.2)1.2马尔萨斯(Malthus)模型求解 对式(1.2)进行求解，其解为 P(t)= Pe (
9、1.3)即丁克人数按指数规律增长。 但是t时，丁克人数也将趋于无穷，我们国家人口数将会达到下降趋势，并趋于0，这显然不符合现实规律。当丁克人数达到一定数量时，我们国家将要采取一些措施，控制丁克人口增长，使我们国家人口数量趋于平衡以适应国家经济发展及社会稳定。2. Logistic模型2.1 Logistic模型的建立由近几年的资料分析，丁克人口数量呈增加趋势，但丁克人口增长到一定数量后，注意到，国家政府机关、自然资源、环境条件对丁克人口增长起着阻滞作用，增长率将呈零增长趋于平衡状态，并且随着丁克人口的增加这种阻滞作用会越来越大。进而，我国人口生育率加速下降、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口
10、城镇化都统一称为阻滞因子。最后，通过对Logistic回归模型改进，建立丁克人口预测模型。阻滞作用体现在对丁克人口增长率r的影响上，使得r随着丁克人口数量P的增加而下降，因此增长率应该是丁克人数的函数。若设丁克人数达到所占我国人口一个最大比K时，即丁克人口最大值KG(t)，(G为t时刻我国人口总数)，则模型为 = r(1-)P P(0) = P (2.1) 本文以1989年为时间t=0时刻，查得数据P=34万人本文考虑到现在没有丁克人数的一个最大值，此时，分别根据所收集到的数据进行分析。根据国家统计局网站相关报道，我国现阶段城镇人口比重为45.7%，乡村人口比重54.3%，人口区域结构城市化进
11、程不断加快，由国家人口发展战略研究报告战略目标表明，到2020年，城镇化率提高到53%。因此本文把丁克人口所占最大比例分为城镇和乡村两个方面考虑。根据近几年来的调查报告表明我国一些大中城市现如今丁克人数已占12.4%。零点调查与指标数据网最近的一次合作研究结果表明：与1997年的同题调查结果相比，选择丁克(DINK)家庭的人数比例上升了1.1%，由于没有大量的数据事实，再加上城镇化进程加快，于是预测城镇丁克所占最大比为11.8，乡村由于受传统的生育观念影响较深，人口素质偏低，在这里预测丁克所占最大比例为0.6，此时假设近几年来我国人口发展稳定，通过多次假设求解，根据城乡的差异，本文分别推测出城
12、镇丁克人数、乡村丁克人数所占我国人口最大比例。得到在各种阻滞因子的影响下，人口增长的微分方程模型如下：. (2.2)这里假设五十年后城镇化率达到55%，城镇丁克人数、乡村丁克人数所占我国人口最大比例分别为K=55%*11.8+45%*0.6=6.76根据国家人口发展战略研究报告我国到本世纪中叶，人口峰值控制在15亿人左右，之后人口总量缓慢下降，此时相对应的最大丁克人口数为：K G(t) =15*6.76=1014万2.2 Logistic模型求解对上述模型，可以用分离变量法求解得到 P（t）= (2.3)根据上式，由1990年丁克人口数为37.64万，可求得: r=0.1054。根据已有数据进
13、行丁克人口数求值，即得出1991年-2009年丁克人口数据。见表1表1： 1991年-2009年中国丁克人口数据预测（单位：万）年份1991199219931994丁克人口预测值41.650946.070350.934156.2813年份19951996199719981999丁克人口预测值62.153868.595175.650983.368691.7965年份20002001200220032004丁克人口预测值100.9839110.9803119.8341133.5923146.2993年份20052006200720082009丁克人口预测值159.9953174.7153190.4
14、875207.3318225.2581代入数据，通过利用软件和对过去的丁克人口数进行求解，在其结果较为合理的情况下，又对未来50年内的丁克人口数进行了预测，得到表2。表2：我国未来五十年丁克人口预测值（单位：万）年份丁克人口预测值2010244.26512015354.49582020483.24112025615.13242030733.28772035827.07812040894.63272045939.95842050968.94002055986.90462060997.8265基于以上两表，得到在2002年丁克人口数为119.8341万，根据国家有关部门调查，2002年我国丁克人口
15、达到120万人。显然，本文预测的结果偏小，原因可能是本模型是将环境作为丁克人口发展的阻滞因子，现在，随着科技发展，社会影响因素对丁克人口的阻滞作用相对过去显然大的多，也就导致预测的丁克人口数偏低。通过利用软件对我国未来丁克人数发展趋势进行图象模拟，从视觉上更直观的看出未来丁克现象的影响，见图1。图1：我国未来50年丁克人口预测数据拟合图3.丁克现象与人口增长模型在这里本文考虑到用出生率建立起丁克现象对我国未来人口增长的影响函数。易见丁克人数的预测值直接影响着我国未来人口生育率，而生育率是我国人口发展的主要因素之一。于是，基于Logistic模型建立leslie人口发展模型，预测我国未来人口发展
16、趋势。接下来本文进一步分析各年龄段女性生育率，考虑加入丁克现象影响因素对我国女性人口的影响。3.1 Leslie人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。3.1.1女性生育率生育率是反映人口生育水平的重要指标，是社会人口平均的意义上一个妇女在整个育龄区内的生育总数。函数从计划生育工作实践经验总结中出发，综合考虑现行生育政策、丁克现象等众多因素，给出了改进的生
17、育率。=(1- m(t)d(t) (3.1)其中d(t)为，m(t)为丁克现象影响系数。3.1.2 丁克现象影响系数由于数据短缺，假设丁克影响系数稳定，在此引用丁克影响系数为m(t)=0.04e （3.2） 3.1.3模型假设及求解将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变化。假设女性最大年龄为岁，将其等间隔划分成个年龄段，不妨假设为的整数倍，每隔年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化; 记为第个年龄组次观察的女性总人数，则有 （3.3）第年龄组女性生育率为（注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为，记 。不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾
18、难等因素对人口变化的影响。根据以上假设，可得到方程 = （3.4） i=1,2,m-1 （3.5）写成矩阵形式为 其中,L= （3.6）因为L中的b是时间的函数所以可记为L=L(t),记 （3.7）我们以2007年我国人口为初始，由统计数据可得n（0）和矩阵L见附录1（出生率.xls），则 n(t)=L(t)*L(0)*n(0) ,t=1,2, (3.8)为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：(i) si 0，i=1，2，m-1;(ii) bi，i=1，2，m，且bi不全为零。易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i）、（ii）下，下面的结果是成立的：
19、定理1 L矩阵有唯一的单重的正的特征根，且对应的一个特征向量为 =1，s1/，s1s2/，s1s2 sm-1/T （3.9）定理2 若是矩阵的任意一个特征根，则必有。定理3 若第一行中至少有两个顺次的，则 （i）若是矩阵L 的任意一个特征根，则必有。 (ii) =， （3.10）其中c是与n（0）有关的常数。定理1至定理3的证明这里省去。由定理3的结论知道，当t充分大时，有 (3.11)定理4 记，q（）=/+/2+/，则是L的非零特征根的充分必要条件为q() = 1 （3.12）所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按1的比
20、例增长。由（3.11）式可得到如下结论：(i) 当1时，人口数最终是递增的；(ii) 当1时，人口递增；当R1时，人口递减。通过matlab编写程序解之可得我国未来五十年的人口数如下表:表3：未来50年人口数预测年份200820132018202320282033预测的人口总数（亿）11.8230011.8880011.8800011.7640011.5240011.13800年份2038204320482053预测的人口总数（亿）10.6360010.007009.215008.33100预测所得的数据，发现人口呈逐渐减少的趋势，这在一定程度上反应了丁克现象对我国人口的变化具有较大影响.也是
21、我国计划生育政策实施的重大成果。不过由于统计数据存在偏差，所以误差也在一定程度上存在。四、模型分析Logistic模型结果的检验根据模型预测出的各个年份的丁克人口数，对得到的各年的人口预测值与调查值比较，得到表4：表4 ： 部分年限丁克人口调查值与预测值绝对误差表年份1991199419982002绝对误差0-4.581-4.19080.1659由表可以看出，预测值与调查值误差比较小，得到的结果具有一定的真实性。五、模型推广与评价5.1模型的评价 优点：(1) 马尔萨斯(Malthus)模型可以进行短期预测，结果值对长期预测有参考价值。(2) 自限模型Logistic模型可以根据少量的数据，较
22、准确的描述群体的发展变化。 缺点： 分析leslie人口模型得出的预测数据，发现与国家预测到20世纪中叶的人口数据差别比较大，原因可能包括：leslie人口模型只适应于中短期人口预测，对长期人口预测不适应；采集的原始数据表（附表1）数据有出入，现实中有黑户人口等未统计人口，而造成的数据偏低于实际值。5.2 模型的推广自限模型Logistic模型，是在马尔萨斯(Malthus)模型的基础上考虑多方面的影响因素，使丁克现象预测模型更具有现实意义,并对我国人口增长具有一定的制约作用，在此基础上要适当取最大值，提高预测的准确性。它可推广应用到劳力预测、产品产量预测、各业产值预测及病虫发生趋势预测等方面
23、。人口预测模型在实际生活中有广泛的应用，它可以推广到对某一地区灾害的预测，对其它生物种群未来发展状况的预测，经济变化的预测等等。在实际中人口预测模型并不是像文中所讲的怎么简单，人口的迁入、移进也是一个非常关键的因素，还有自然灾害、经济等扰动都会影响人口的增长，在进行模型的进一步研究的时候就应该充分考虑这些因素的影响，从而得出更精确的数据。通过对我国未来丁克人口数进行预测，从中分析了丁克与总和生育率的紧密联系，再根据总和生育率对我国未来人口增长的影响，从而建立丁克现象与人口增长预测模型。这种由简到繁，逐步加深的思路，可以应用到较复杂问题的处理上。有利于国家综合运用社会政策，对人口更好的进行规划，
24、建立社会安全网，解决人口老龄化、出生人口性别比偏高等人口结构问题，促进和谐社会的建立。六、参考文献1 姚晓凤 现代中国丁克家庭人口效应与社会经济的可持续发展D. 中国优秀博硕士学位论文全文数据库 (硕士),2004,(04)2中国人口网，国家人口发展战略研究报告（全文）.http:/www.chinapop.gov. cn/fzzlbg /bgyw/ t20070111_172058513.html.3刘改凤，解析当今中国社会的“丁克”家庭绥化师专学报 第二期 2004年5月.4熊婧，肖汗仕.“丁克”家庭的经济社会学分析 法制与社会 社会观察2008.11.5 中国人口网. 国家人口发展战略研
25、究报告.6孙蕾.赵兴.李云辉 . 丁克现象与中国人口增长 工程数学学报 .7 中国统计年鉴，8中国科大数学建模.下载中心，七、附 录附表1 : 2007各年龄段的人口数年 龄人口数(人)占总人口比重 (%)性别比男女男女(女=100)总计1188739602740585999100.0050.7049.30102.860-45999633163268335.052.792.26123.595-96820237275309275.743.142.60120.5310-148427845342389367.093.813.28116.4515-199891652436464818.324.413.
26、91112.8120-247860138520400816.613.243.3796.1025-297675537245395106.463.133.3294.2730-348675342623441307.303.593.7196.5935-3911539157121582709.714.814.9098.0340-4411584757649581989.754.854.9099.0645-497608537944381406.403.193.2199.4950-549248146624458587.783.923.86101.6755-597322436982362436.163.113.
27、05102.0460-645099825948250504.292.182.11103.5865-693984920296195543.351.711.64103.7970-743323616385168512.801.381.4297.2475-792098510070109151.770.850.9292.2680-8411302495163520.950.420.5377.9585-894436176026760.370.150.2365.7990-9411233327910.090.030.0741.9795+280752060.020.010.0236.22附表2 : 2007各年龄
28、段人口死亡率平均男女合计6.356.965.720-48.637.839.595-90.720.970.4610-140.640.740.5315-190.790.750.8320-241.221.560.8925-291.361.431.3030-341.682.191.1735-391.812.321.2940-442.353.121.5645-493.804.882.6750-544.925.214.6255-599.3612.006.6460-6417.6622.6712.5165-6926.4530.6622.2070-7443.1350.3036.5675-7965.3176.14
29、56.5480-84112.31134.1198.4485-89148.03212.00118.4390+275.23313.04258.80附表三：问题一的MATLAB程序for t=1990:2060 p=1014/(1+(1014/34-1)*exp(-0.1054*(t-1989)endx=1990:1:2080y=1014./(1.+(1014/34-1).*exp(-0.1054.*(x-1989)plot(x,y)grid on附表四 ：问题二的MATLAB程序n=26833 30927 38936 46481 40081 39510 44130 58270 58198 3814
30、0 45858 36243 25050 19554 16851 10915 6352 2676 791 206;b=0 0 0 0.00383 0.09367 0.10378 0.05234 0.02041 0.0067 0.00519 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;d=0.0095 0.00046 0.00053 0.00083 0.00089 0.0013 0.00117 0.00129 0.00156 0.00267 0.00462 0.00664 0.01251 0.0222 0.03656 0.0565 0.09844 0.11843 0.2588;for i=1:19 s
31、(i)=1-d(i);endj=1;for i=2009:5:2054; shen(1)=sheng(i); j=j+1;endfor i=1:20 t(i)=(1-shen(1)*b(i);endm=diag(s);u=zeros(19,1);e=m u;l=t;e;c1=l*n;c2=l(2)*n;c3=l(3)*n;c4=l(4)*n;c5=l(5)*n;c6=l(6)*n;c7=l(7)*n;c8=l(8)*n;c9=l(9)*n;c10=l(10)*n;o1=0;o2=0;o3=0;o4=0;o5=0;o6=0;o7=0;o8=0;o9=0;o10=0;for i=1:20 o1=o1+c1(i); o2=o2+c2(i); o3=o3+c3(i); o4=o4+c4(i); o5=o5+c5(i); o6=o6+c6(i); o7=o7+c7(i); o8=o8+c8(i); o9=o9+c9(i); o10=o10+c10(i);endo=2*o1 2*o2 2*o3 2*o4 2*o5 2*o6 2*o7 2*o8 2*o9 2*o10x=2008:5:2053;
