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1、第一章,整式的乘除,初中数学（北师大版）,七年级,下册,第一章,整式的乘除,知识点,同底数幂的乘法,同底数幂的乘法法则,:,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,.,用字母表示,:,a,m,a,n,=,a,m,+,n,(,m,n,都是正整数,).,举例,:,x,4,x,3,=,x,4+3,=,x,7,m,m,5,=,m,1+5,=,m,6,.,注意,:(1),同底数幂是指底数相同的幂,乘法法则中的,a,可以是单项式,也,可以是多项式,如,3,2,与,3,4,(,xy,),3,与,(,xy,),2,(,a,+,b,),3,与,(,a,+,b,),5,等,.,(2),指数相加的和作为最终结果的幂的指数
2、,即同底数幂的乘法的结果,仍为幂的形式,.,(3),当幂的指数为,1,时,“,1,”常省略不写,不要误以为没有指数或指数为,0,如,c,c,3,c,0+3,.,(4),同底数幂的乘法的推广,:,a,m,a,n,a,p,=,a,m,+,n,+,p,(,m,n,p,都是正整数,).,(5),同底数幂的乘法法则的逆用,:,a,m,+,n,=,a,m,a,n,(,m,n,都是正整数,).,例,计算下列各题,.,(1)5,6,5,9,;(2),x,2,x,6,;(3)(-,y,),7,(-,y,),6,;,(4)-,x,3,x,5,;(5),a,2,m,a,2,m,+1,;(6),a,a,4,a,5,.
3、,分析,(1)(2)(3),可以直接按法则进行计算,;(4),要注意,-,x,3,的底数是,x,;(5),指,数是代数式仍遵循运算法则,;(6),按,a,m,a,n,a,p,=,a,m,+,n,+,p,进行计算,.,解析,(1)5,6,5,9,=5,6+9,=5,15,.,(2),x,2,x,6,=,x,2+6,=,x,8,.,(3)(-,y,),7,(-,y,),6,=(-,y,),7+6,=(-,y,),13,.,(4)-,x,3,x,5,=-(,x,3,x,5,)=-,x,3+5,=-,x,8,.,(5),a,2,m,a,2,m,+1,=,a,2,m,+(2,m,+1),=,a,4,m,
4、+1,.,(6),a,a,4,a,5,=,a,1+4+5,=,a,10,.,注意,:(1),运用乘法法则的前提条件是幂的底数相同,是乘法运算而不是,加法运算,;,(2),运算法则中,m,n,都是正整数,;,(3),运算法则可以推广到多个同底数幂的乘法运算中,a,m,a,n,a,p,=,a,m,+,n,+,p,.,题型一,可转化为同底数幂的乘法运算,例,1,计算,:,(1),y,5,(-,y,4,);,(2)100,10,n,+1,10,n,-1,.,解析,(1),原式,=-,y,5,y,4,=-,y,5+4,=-,y,9,.,(2),原式,=10,2,10,n,+1,10,n,-1,=10,2
5、+,n,+1+,n,-1,=10,2,n,+2,.,点拨,在进行同底数幂的乘法运算时,一定要先看幂的底数是否相同,如果相同,那么直接运用运算法则计算,.,题型二,同底数幂的乘法与加减混合运算,例,2,计算,:,(1),a,3,a,4,+,a,a,2,a,4,;,(2),a,n,+1,a,2,n,-1,-2,a,2,n,+1,a,n,-1,+,a,n,a,2,n,.,解析,(1),a,3,a,4,+,a,a,2,a,4,=,a,7,+,a,7,=2,a,7,.,(2),a,n,+1,a,2,n,-1,-2,a,2,n,+1,a,n,-1,+,a,n,a,2,n,=,a,(,n,+1)+(2,n,
6、-1),-2,a,(2,n,+1)+(,n,-1),+,a,n,+2,n,=,a,3,n,-2,a,3,n,+,a,3,n,=0.,点拨,注意区分同底数幂的乘法与整式的加减法的运算规律,如,:,a,n,+,a,n,与,a,n,a,n,是两种截然不同的运算,其中,a,n,+,a,n,是整式加法,实质上是合并同,类项,系数相加,字母和字母的指数不变,而,a,n,a,n,是同底数幂的乘法,法则,是底数不变,指数相加,.,易错点,同底数幂的运算,不能忽略幂指数为,1,的项,例,计算,:,x,x,5,x,6,.,错解,原式,=,x,5+6,=,x,11,.,错因分析,把,x,的指数误以为是,0,了,.,
7、正解,原式,=,x,1+5+6,=,x,12,.,纠错心得,单个字母或数字可以看成指数为,1,的幂,进行同底数幂的运,算时,不能忽略幂指数为,1,的项,.,知识点,同底数幂的乘法,1.,若,x,2,x,4,(,)=,x,16,则括号内应填的代数式为,(,),A.,x,10,B.,x,8,C.,x,4,D.,x,2,答案,A,根据“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”得括号内应填的,代数式为,x,10,.,2.,化简,(-,x,),3,(-,x,),2,结果正确的是,(,),A.-,x,6,B.,x,6,C.,x,5,D.(-,x,),5,答案,D,(-,x,),3,(-,x,),2,=(-,x,
8、),3+2,=(-,x,),5,.,3.,计算,:,a,a,4,a,2 016,=,.,答案,a,2 021,解析,a,a,4,a,2 016,=,a,1+4+2 016,=,a,2 021,.,4.,计算,:,a,a,2,+,a,3,=,.,答案,2,a,3,解析,a,a,2,+,a,3,=,a,3,+,a,3,=2,a,3,.,5.,下面的计算是否正确,?,如果不正确,怎样改正,?,(1),b,5,b,5,=2,b,5,;(2),b,5,+,b,5,=,b,10,;(3),x,5,x,5,=,x,25,;,(4),y,5,y,5,=2,y,10,;(5),c,c,3,=,c,3,.,解析,
9、5,个都是错误的,.(1),b,5,b,5,=,b,10,.(2),b,5,+,b,5,=2,b,5,.,(3),x,5,x,5,=,x,10,.(4),y,5,y,5,=,y,10,.(5),c,c,3,=,c,4,.,6.,计算,:(1)2,2,2,3,2;(2)4,2,7,8;(3)(-,a,),4,(-,a,),3,.,解析,(1)2,2,2,3,2=2,2+3+1,=2,6,.,(2)4,2,7,8=2,2,2,7,2,3,=2,2+7+3,=2,12,.,(3)(-,a,),4,(-,a,),3,=(-,a,),4+3,=(-,a,),7,.,1.,计算,a,2,a,4,的结果是,
10、(,),A.,a,8,B.,a,6,C.2,a,6,D.2,a,8,答案,B,a,2,a,4,=,a,2+4,=,a,6,.,故选,B.,2.,下列计算中正确的是,(,),A.,x,2,x,2,=2,x,4,B.,y,7,+,y,7,=,y,14,C.,x,x,3,=,x,3,D.,c,2,c,3,=,c,5,答案,D,3.,计算,:,x,x,3,x,4,-,x,3,x,5,=,.,答案,0,解析,x,x,3,x,4,-,x,3,x,5,=,x,1+3+4,-,x,3+5,=,x,8,-,x,8,=0.,1.,已知,a,m,a,2,=,a,6,则,m,=,.,答案,4,解析,a,m,a,2,=
11、,a,m,+2,=,a,6,所以,m,+2=6,所以,m,=4.,2.,已知,a,m,=3,a,m,+,n,=12,则,a,n,的值是,.,答案,4,解析,a,m,+,n,=,a,m,a,n,即,12=3,a,n,所以,a,n,=4.,3.,计算,:,(1)(3,10,8,),(4,10,4,);,(2),;,(3)(2,x,-,y,),3,(2,x,-,y,),(2,x,-,y,),4,.,4,1,10,?,?,?,?,?,?,3,1,10,?,?,?,?,?,?,解析,(1),原式,=3,10,8,4,10,4,=12,10,12,=1.2,10,13,.,(2),原式,=,.,(3),原
12、式,=(2,x,-,y,),8,.,7,1,10,?,?,?,?,?,?,4.,我们规定,a,b,=2,a,2,b,.,例如,:2,3=2,2,2,3,=2,5,=32.,求,4,8,的值和,4,(1,2),的值,.,解析,4,8=2,4,2,8,=2,12,.4,(1,2)=4,(2,1,2,2,)=4,8=2,4,2,8,=2,12,.,1.,计算,(-2),100,+(-2),99,所得的结果是,(,),A.-2,99,B.-2,C.-(-2),99,D.2,答案,C,(-2),100,+(-2),99,=(-2),(-2),99,+(-2),99,=(-2+1),(-2),99,=-(
13、-2),99,故选,C.,2.,已知,a,m,=2,a,m,+,n,=8,求,a,n,的值,.,解析,因为,a,m,+,n,=,a,m,a,n,所以,8=2,a,n,所以,a,n,=4.,选择题,1.(2018,陕西西安音乐学院附中期中,2,),已知,3,a,=1,3,b,=2,则,3,a,+,b,的值,为,(,),A.1,B.2,C.3,D.27,答案,B,3,a,+,b,=3,a,3,b,=1,2=2.,2.(2016,江苏盐城大丰实验中学期中,3,),下列计算正确的是,(,),A.,a,2,+,a,3,=2,a,5,B.,a,2,a,3,=,a,5,C.,a,2,a,3,=,a,6,D.
14、,a,2,+,a,3,=,a,5,答案,B,a,2,a,3,=,a,2+3,=,a,5,.,(2018,江苏扬州树人学校期中,11,),已知,a,m,=4,a,n,=5,则,a,m,+,n,的值是,.,答案,20,解析,a,m,+,n,=,a,m,a,n,=4,5=20.,一、选择题,1.(2018,海南中考,2,),计算,a,2,a,3,结果正确的是,(,),A.,a,5,B.,a,6,C.,a,8,D.,a,9,答案,A,a,2,a,3,=,a,2+3,=,a,5,.,2.(2016,福建福州中考,4,),下列代数式中,结果等于,a,6,的是,(,),A.,a,4,+,a,2,B.,a,2
15、,+,a,2,+,a,2,C.,a,2,a,3,D.,a,2,a,2,a,2,答案,D,A.,a,4,与,a,2,不是同类项,不能合并,;B.,原式,=3,a,2,;C.,原式,=,a,5,;D.,a,2,a,2,a,2,=,a,2+2+2,=,a,6,.,二、填空题,3.(2015,安徽中考,13,),按一定规律排列的一列数,:2,1,2,2,2,3,2,5,2,8,2,13,若,x,、,y,、,z,表示这列数中的连续三个数,猜测,x,、,y,、,z,满足的关系式是,.,答案,xy,=,z,(,只要关系式对于前六项是成立的即可,),解析,2,1,2,2,=2,3,2,2,2,3,=2,5,2
16、,3,2,5,=2,8,2,5,2,8,=2,13,x,、,y,、,z,满足的关,系式是,xy,=,z,.,1.(2017,江苏连云港中考,2,),计算,a,a,2,的结果是,(,),A.,a,B.,a,2,C.2,a,2,D.,a,3,答案,D,a,a,2,=,a,3,.,2.(2015,天津中考,13,),计算,x,2,x,5,的结果等于,.,答案,x,7,解析,根据同底数幂的乘法法则,:,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可,得,x,2,x,5,=,x,2+5,=,x,7,.,1.(2017,江苏无锡前洲中学月考,),阅读材料,:,求,1+2+2,2,+2,3,+2,4,+,+2,2 0
17、13,的,值,.,解,:,设,S,=1+2+2,2,+2,3,+2,4,+,+2,2 012,+2,2 013,将等式两边同时乘,2,得,2,S,=2+2,2,+2,3,+2,4,+2,5,+,+2,2 013,+2,2 014,-,得,2,S,-,S,=2,2 014,-1,即,S,=2,2 014,-1,即,1+2+2,2,+2,3,+2,4,+,+2,2 013,=2,2 014,-1.,仿照此法计算,:,(1)1+3+3,2,+3,3,+,+3,100,;,(2)1+,+,+,+,+,.,1,2,2,1,2,3,1,2,100,1,2,解析,(1),设,S,=1+3+3,2,+3,3,
18、+,+3,100,将等式两边同时乘,3,得,3,S,=3+3,2,+3,3,+3,4,+,+3,100,+3,101,-,得,3,S,-,S,=3,101,-1,即,S,=,即,1+3+3,2,+3,3,+,+3,100,=,.,(2),设,S,=1+,+,+,+,+,将等式两边同时乘,得,S,=,+,+,+,+,+,+,-,得,-,S,=,-1,101,3,1,2,?,101,3,1,2,?,1,2,2,1,2,3,1,2,100,1,2,1,2,1,2,1,2,2,1,2,3,1,2,4,1,2,100,1,2,101,1,2,1,2,101,1,2,即,S,=2-,即,1+,+,+,+,
19、+,=2-,.,100,1,2,1,2,2,1,2,3,1,2,100,1,2,100,1,2,2.,已知,2,a,=3,2,b,=6,2,c,=12,求,a,b,c,之间的关系,.,解析,2,a,=3,2,c,=12=3,4=2,a,2,2,=2,a,+2,c,=,a,+2.,2,b,=6,2,c,=12=2,6=2,2,b,=2,1+,b,c,=1+,b,.,由,+,得,2,c,=,a,+,b,+3.,3.,我们规定,:,a,*,b,=10,a,10,b,例如,:3*4=10,3,10,4,=10,7,.,(1),试求,12*3,和,2*5,的值,;,(2),想一想,(,a,*,b,)*,
20、c,与,a,*(,b,*,c,)(,其中,a,b,c,都不相等,),相等吗,?,请验证你的结,论,.,解析,(1)12*3=10,12,10,3,=10,15,2*5=10,2,10,5,=10,7,.,(2),不相等,.,(,a,*,b,)*,c,=(10,a,10,b,)*,c,=10,a,+,b,*,c,=1,10,c,=1,a,*(,b,*,c,)=,a,*(10,b,10,c,)=,a,*10,b,+,c,=10,a,1,=1,(,a,*,b,)*,c,a,*(,b,*,c,).,10,0,a,b,?,10,0,a,b,c,?,?,10,0,b,c,?,10,0,b,c,a,?,?,
21、4.,已知,3,x,+3,=,y,试用含有,y,的代数式表示,3,x,.,解析,因为,3,x,+3,=,y,所以,3,x,3,3,=,y,所以,3,x,=,y,3,3,即,3,x,=,.,27,y,1.,已知,x,m,x,n,=,x,5,其中,m,n,都是正整数,所有符合条件的,m,n,的值共有几组,?,说明理由,.,解析,符合条件的,m,n,的值共有,4,组,.,x,m,x,n,=,x,m,+,n,=,x,5,m,+,n,=5,m,n,为正整数,当,m,=1,时,n,=4;,当,m,=2,时,n,=3;,当,m,=3,时,n,=2;,当,m,=4,时,n,=1.,故符合条件的,m,n,的值共
22、有,4,组,.,2.,仔细阅读下面的材料,找出其中的规律,并解答问题,.,a,n,表示,n,个,a,相乘,(,a,2,),n,表示,n,个,a,2,相乘,因此,(,a,2,),n,=,=,a,=,a,2,n,.,同样可得到,(,a,3,),n,=,a,3,n,由此可推出,(,a,m,),n,=,.,请利用你发现的规律计算,:,(1)(,a,3,),4,;,(2)(,x,4,),5,;,(3)(2,a,-,b,),3,9,.,2,2,2,2,n,a,a,a,a,?,?,个,2,2,2,2,n,?,?,个,解析,a,mn,.,(1)(,a,3,),4,=,a,3,4,=,a,12,.,(2)(,x,4,),5,=,x,4,5,=,x,20,.,(3)(2,a,-,b,),3,9,=(2,a,-,b,),3,9,=(2,a,-,b,),27,.,
