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1、初中数学分式一、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。二、与分式有关的条件分式有意义：分母不为0（） 分式无意义：分母为0（）分式值为0：分子为0且分母不为0（） 分式值为正或大于0：分子分母同号（或）分式值为负或小于0：分子分母异号（或）分式值为1：分子分母值相等（A=B） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
2、：注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。四、分式的约分1定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。2步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。3注意：分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。4最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。约分时。分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果
3、分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！）2最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。通分时，最简公分母的确定方法：1系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：分式除以分式：把
4、除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为： 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为： 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出
5、错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。七、整数指数幂 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即： （） ） （） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。八、分式方程的解的步骤：去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为0。九、列分式方程基本步
6、骤： 审仔细审题，找出等量关系。 设合理设未知数。 列根据等量关系列出方程（组）。 解解出方程（组）。注意检验 答答题。分式计算题精选一选择题（共2小题）1（2012台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（）ABCD2（2011齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（）A0和3B1C1和2D3二填空题（共15小题）3计算的结果是_4若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=_5已知等式：2+=22，3+=32，4+=42，10+=
7、102，（a，b均为正整数），则a+b=_6计算（x+y）=_7化简，其结果是_8化简：=_9化简：=_10化简：=_11若分式方程：有增根，则k=_12方程的解是_13已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为_14若方程有增根x=5，则m=_15若关于x的分式方程无解，则a=_16已知方程的解为m，则经过点（m，0）的一次函数y=kx+3的解析式为_17小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶，若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为_三解答题（共13小题）1
8、8计算： 19化简：20A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试验田是边长为（a1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克（1）哪种玉米的单位面积产量高？21化简：=_ 22化简：23计算： 24计算25解方程： 26解方程：27解方程：=028解方程：2=1；利用的结果，先化简代数式（1+），再求值29解方程：（1） （2）30解方程：（1）=1； （2）=02014寒假初中数学分式计算题精选参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1（2012台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多2
9、0千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（）ABCD考点：由实际问题抽象出分式方程3415023专题：压轴题分析：根据公共汽车的平均速度为x千米/时，得出出租车的平均速度为（x+20）千米/时，再利用回来时路上所花时间比去时节省了，得出分式方程即可解答：解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，根据回来时路上所花时间比去时节省了，得出回来时所用时间为：，根据题意得出：=，故选：A点评：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，本题的关键是把握题意，利用回来时路上所花时间比去时节省了，得出方程是解
10、题关键2（2011齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（）A0和3B1C1和2D3考点：分式方程的增根；解一元一次方程3415023专题：计算题分析：根据分式方程有增根，得出x1=0，x+2=0，求出即可解答：解：分式方程=有增根，x1=0，x+2=0，x1=1，x2=2两边同时乘以（x1）（x+2），原方程可化为x（x+2）（x1）（x+2）=m，整理得，m=x+2，当x=1时，m=1+2=3；当x=2时，m=2+2=0，当m=0时，分式方程变形为1=0，此时分式无解，与x=2矛盾，故m=0舍去，即m的值是3，故选D点评：本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理
11、解分式方程的增根的意义是解此题的关键二填空题（共15小题）3计算的结果是考点：分式的混合运算3415023专题：计算题分析：根据运算顺序，先对括号里进行通分，给a的分子分母都乘以a，然后利用分式的减法法则，分母不变，只把分子相减，进而除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，并把a21分解因式，约分即可得到化简结果解答：解：=（）=故答案为：点评：此题考查学生灵活运用通分、约分的方法进行分式的加减及乘除运算，是一道基础题注意运算的结果必须是最简分式4若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=3考点：分式的混合运算3415023专题：计算题分析：分别将去分母，然后将所得两式相加，求出yz+xz+
12、xy=3xyz，再将xy+yz+zx=kxyz代入即可求出k的值也可用两式相加求出xyz的倒数之和，再求解会更简单解答：解：若，则+=5，yz+2xz+3xy=5xyz；+=7，3yz+2xz+xy=7xyz；+得，4yz+4xz+4xy=5xyz+7xyz，4（yz+xz+xy）=12xyz，yz+xz+xy=3xyzxy+yz+zx=kxyz，k=3故答案为：3点评：此题主要考查学生对分式的混合运算的理解和掌握，解答此题的关键是先求出yz+xz+xy=3xyz5（2003武汉）已知等式：2+=22，3+=32，4+=42，10+=102，（a，b均为正整数），则a+b=109考点：分式的混
13、合运算3415023专题：规律型分析：易得分子与前面的整数相同，分母=分子21解答：解：10+=102中，根据规律可得a=10，b=1021=99，a+b=109点评：此题的关键是找到所求字母相应的规律6（1998河北）计算（x+y）=x+y考点：分式的混合运算3415023专题：计算题分析：把第一个分式的分母先进行因式分解，再算乘法化简，再算加法即可解答：解：原式=点评：此题要注意运算顺序：先算乘法，再算加法；也要注意yx=（xy）的变形7（2011包头）化简，其结果是考点：分式的混合运算3415023分析：运用平方差公式、平方公式分别将分式分解因式，将分式除法转换成乘法，再约分化简，通分合
14、并同类项得出最简值解答：解：原式=（a+2）+=+=故答案为：点评：本题主要考查分式的混合运算，其中涉及平方差公式、平方公式、约分、通分和合并同类项等知识点8（2010昆明）化简：=考点：分式的混合运算3415023专题：计算题分析：先把括号里的式子通分，然后把除法运算转化成乘法运算，最后进行约分解答：解：原式=点评：本题主要考查分式的混合运算，注意运算顺序9（2009成都）化简：=考点：分式的混合运算3415023专题：计算题分析：把第二个分式的分子分母先因式分解，再把除法统一成乘法化简，最后算减法解答：解：=1=1=点评：此题运算顺序：先除后减，用到了分解因式、约分、合并同类项等知识点10
15、（2008包头）化简：=考点：分式的混合运算3415023专题：计算题分析：能因式分解的分子或分母要先因式分解，先算小括号里的，再算除法解答：解：原式=，故答案为点评：此题主要考查分式的化简、约分对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的在此基础上，有时也应该根据具体问题的特活应变，注意方法11（2012攀枝花）若分式方程：有增根，则k=1考点：分式方程的增根3415023专题：计算题分析：把k当作已知数求出x=，根据分式方程有增根得出x2=0，2x=0，求出x=2，得出方程=2，求出k的值即可解答：解：，去分母得：2（x
16、2）+1kx=1，整理得：（2k）x=2，分式方程有增根，x2=0，2x=0，解得：x=2，把x=2代入（2k）x=2得：k=1故答案为：1点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，把分式方程变成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于0，则此数是分式方程的增根，即不是分式方程的根，题目比较典型，是一道比较好的题目12（2012太原二模）方程的解是x=2考点：解分式方程3415023分析：首先分时两边同时乘以x3去分母，再去括号、移项、合并同类项、把x的系数化为1，可以算出x的值，然后要进行检验解答：解：，去分母得：1+2（x3）=（x1），去括号得：1+2x6=x+1，
17、移项得：2x+x=11+6，合并同类项得：3x=6，把x的系数化为1得：x=2，检验：把x=2代入最简公分母x30，则x=2是分式方程的解，故答案为：x=2点评：此题主要考查了分式方程的解法，关键是掌握（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根13（2012合川区模拟）已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为2，0或4考点：分式方程的解3415023分析：首先解此分式方程，即可求得x=2，由方程只有整数解，可得1a=3或1或3或1，然后分别分析求解即可求得答案，注意分式方程需检验解答：解：方程两边同乘以（x1）（x+2），得：2（x+
18、2）（a+1）（x1）=3a，解得：x=2，方程只有整数解，1a=3或1或3或1，当1a=3，即a=2时，x=21=3，检验，将x=3代入（x1）（x+2）=40，故x=3是原分式方程的解；当1a=1，即a=0时，x=25=7，检验，将x=7代入（x1）（x+2）=400，故x=7是原分式方程的解；当1a=3，即a=4时，x=2+1=1，检验，将x=1代入（x1）（x+2）=20，故x=1是原分式方程的解；当1a=1，即a=2时，x=1，检验，将x=1代入（x1）（x+2）=0，故x=1不是原分式方程的解；整数a的值为：2，0或4故答案为：2，0或4点评：此题考查了分式方程的解知识此题难度较大
19、，注意分类讨论思想的应用是解此题的关键14若方程有增根x=5，则m=5考点：分式方程的增根3415023专题：计算题分析：由于增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，所以将方程两边都乘（x5）化为整式方程，再把增根5代入求解即可解答：解：方程两边都乘x5，得x=2（x5）m，原方程有增根，最简公分母x5=0，解得x=5，把x=5代入，得5=0m，解得m=5故答案为：5点评：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值15若关于x的分式方程无解，则a=0考点：分式方程的解341502
20、3专题：计算题分析：分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x1=0，求出x的值代入整式方程即可求出a的值解答：解：去分母得：2x2a+2x2=2，由分式方程无解，得到2（x1）=0，即x=1，代入整式方程得：22a+22=2，解得：a=0故答案为：0点评：此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为016已知方程的解为m，则经过点（m，0）的一次函数y=kx+3的解析式为y=x+3考点：解分式方程；一次函数图象上点的坐标特征3415023专题：计算题分析：首先解分式方程求出m的值，然后把（m，0）代入一次函数y=kx+3的解析式中，从而确定k的值，也就确定了函数的解析式解
21、答：解：，x1=2，x=3，当x=3时，x10，m=3，把（3，0）代入解析式y=kx+3中3k+3=0，k=1，y=x+3点评：此题考查了分式方程的解法，也考查了待定系数法确定一次函数的解析式，对于解分式方程时要注意验根17小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶，若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为考点：由实际问题抽象出分式方程3415023专题：应用题；压轴题分析：关键描述语为：“每袋比周三便宜0.5元”；等量关系为：周三买的奶粉的单价周日买的奶粉的单价
22、=0.5解答：解：周三买的奶粉的单价为：，周日买的奶粉的单价为：所列方程为：点评：列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系本题中用到的等量关系是：总金额=数量单价三解答题（共13小题）18（2010新疆）计算：考点：分式的混合运算3415023专题：计算题分析：分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除解答：解原式=x+2点评：分式的混合运算中，通分和约分是解题的关键19（2009常德）化简：考点：分式的混合运算3415023专题：计算题分析：先把小括号的通分，再把除法统一为乘法，化简即可解答：解：原式=点评：本题主要考查分式的混合运算，
23、注意运算顺序，通分、约分是解题的关键20（2006大连）A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试验田是边长为（a1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克（1）哪种玉米的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？考点：分式的混合运算3415023专题：应用题分析：此题要先读懂题意，列出式子，再进行分式的混合运算解答：解：（1）A玉米试验田面积是（a21）米2，单位面积产量是千克/米2；B玉米试验田面积是（a1）2米2，单位面积产量是千克/米2；a21（a1）2=2（a1）a10，0（a1）2a21B玉米的单位面积产量高
24、；（2）=高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍点评：此题是一道简单的应用题，学生在利用面积公式列出分式才可化简21（2005南充）化简：=考点：分式的混合运算3415023分析：首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简解答：解：原式=点评：分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除22（2002苏州）化简：考点：分式的混合运算3415023专题：计算题分析：本题的关键是正确进行分式的通分、约分，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分解答：解
25、：=1，故答案为1点评：本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键23（1997南京）计算：考点：分式的混合运算3415023专题：压轴题分析：先算括号里面的（通分后进行计算），同时把除法变成乘法，再约分即可解答：解：原式=+=1点评：本题考查了分式的混合运算的应用，注意运算顺序：先算括号里面的，再算除法24（2012白下区一模）计算考点：分式的混合运算；分式的乘除法；分式的加减法3415023专题：计算题分析：先把除法变成乘法，进行乘法运算，再根据同分母的分式相加减进行计算即可解答：解：原式=，=，=点评：本题考查可分式的加减、乘除运算的应用，主要考查学生的计算能力，分式的
26、除法应先把除法变成乘法，再进行约分，同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减25（2010孝感）解方程：考点：解分式方程3415023专题：计算题分析：本题考查解分式方程的能力，因为3x=（x3），所以可得方程最简公分母为（x3），方程两边同乘（x3）将分式方程转化为整式方程求解，要注意检验解答：解：方程两边同乘（x3），得：2x1=x3，整理解得：x=2，经检验：x=2是原方程的解点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根（3）方程有常数项的不要漏乘常数项26（2011衢江区模拟）解方程：考点：换元法解分式方程3415023专题
27、：计算题分析：设=y，则原方程化为y=+2y，解方程求得y的值，再代入=y求值即可结果需检验解答：解：设=y，则原方程化为y=+2y，解之得，y=当y=时，有=，解得x=经检验x=是原方程的根原方程的根是x=点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧27（2011龙岗区三模）解方程：=0考点：解分式方程3415023专题：计算题；压轴题分析：观察可得方程最简公分母为x（x1）方程两边同乘x（x1）去分母转化为整式方程去求解解答：解：方程两边同乘x（x1），得3x（x+2）=0，解得：x=1检验：x=1
28、代入x（x1）=0x=1是增根，原方程无解点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根28解方程：2=1；利用的结果，先化简代数式（1+），再求值考点：解分式方程；分式的化简求值3415023专题：计算题分析：观察可得最简公分母为（x1），去分母后将分式方程求解同时对进行化简，即：（1+）=x+1，再将求得数值代入求值即可解答：解：方程两边同乘x1，得2（x1）1=x1，解得x=2经检验x=2是原方程的解（1+）=x+1当x=2时，原式=2+1=3点评：解分式方程要注意最简公分母的确定，同时求解后要进行检验；中要化简后再代入求值2
29、9解方程：（1）（2）考点：解分式方程3415023专题：计算题分析：（1）观察可得方程最简公分母为（x2）（x+1）；（2）方程最简公分母为（x1）（x+1）；去分母，转化为整式方程求解结果要检验解答：解：（1）方程两边同乘（x2）（x+1），得（x+1）2+x2=（x2）（x+1），解得，经检验是原方程的解（2）方程两边同乘（x1）（x+1），得x1+2（x+1）=1，解得x=0经检验x=0是原方程的解点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根（3）分式中有常数项的注意不要漏乘常数项30解方程：（1）=1；（2）=0考点：解分
30、式方程3415023专题：计算题分析：（1）由x21=（x+1）（x1），可知最简公分母是（x+1）（x1）；（2）最简公分母是x（x1）方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解解答：（1）解：方程两边都乘（x+1）（x1），得（x+1）2+4=x21，解得x=3检验：当x=3时，（x+1）（x1）0，x=3是原方程的解（2）解：方程两边都乘x（x1），得3x（x+2）=0解得：x=1检验：当x=1时x（x1）0，x=1是原方程的解点评：当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母作业一、选择题 (每题3分,
31、共36分)1.下列各分式中，最简分式是（ ）A B C D2. 一件工作,甲独做a小时完成,乙独做b小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时.A. B. C. D.4.若分式的值为零,则x的值是( )A.2或-2 B.2 C.-2 D.45、已知的值为（ ）A、 B、 C、2 D、3.已知两个分式：，其中，则A与B 的关系是（ ） A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A大于B6.不改变分式的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( )A. B. C. D. 7、下列等式中不成立的是（ ）A、=xy B、C、 D、 8.计算的结果是( )A. - B. C.-1 D.19、已知n1，M
32、，N，P，则M、N、P的大小关系为（ ）A. MNPB. MPNC. PMND. PNM10、若关于x的方程ax=3x-5有负数解,则a的取值范围是( )A.a3 C.a3 D.a3二、填空题:(每小题4分,共20分)11.把下列有理式中是分式的代号填在横线上 (1)3x；(2)；(3)；(4)；(5) ； (6)；(7)； (8).19.当x 时，分式的值为负数当时，分式的值为零；已知m-n=5,mn=-4,则+= 。12. 计算结果为 。13. 已知的和等于，则15.若代数式有意义,则x的取值范围是_.16.如果记 =f(x)，并且f(1)表示当x=1时y的值，即f(1)=；f()表示当x=时y的值，即f()=；那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(n)+f()= （结果用含n的代数式表示）三、计算题:(每小题6分,共12分)（1） ； （2） 、 （2）； 已知a22a10，求（）的值请将下面代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数代入求值：例4 已知，其中为常数求的值已知a、b、c为实数,=，=,=.求分式的值.
