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1、3.1 从算式到方程,第三章 一元一次方程,3.1.1 一元一次方程,1.通过算术与方程方法的使用与比较，体验用方程解 决某些问题的优越性，提高解决实际问题的能力.2.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学 会判断某个数值是不是一元一次方程的解.（重点）3.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程.（难点）,导入新课,情境引入,数学无处不在，即便是一些综艺节目中，也时常会用到一些数学知识.其中在“奔跑吧，兄弟”中，有一期节目就涉及中国古代著名典型趣题之一 鸡兔同笼问题.观看视频，你能帮陈赫解决问题吗？,温故知新,小学我们已经学过简易方程，你能判断出下列各式哪些是方程吗？,(1)()(
2、2)()(3)()(4)()(5)()(6)(),含有未知数的等式叫做方程.,一辆快车和一辆慢车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是70 km/h，慢车的行驶速度是60 km/h，快车比慢车早1 h经过B地，A，B两地间的路程是多少？,讲授新课,合作探究,1h,60 km/h,70 km/h,(1)上述问题中涉及到了哪些量？,快车70 km/h，慢车60 km/h,快车比慢车早1h经过B地,AB之间的路程,速度：,时间：,路程：,快车每小时比慢车多走10km,60km,相同的时间，快车比慢车多走60km,快车走了6h,算式：60(70-60)70=420(km),（2）如果将A
3、B之间的路程用x表示，用含x的式子表示 下列时间关系：,快车行完AB全程所用时间：,慢车行完AB全程所用时间：,两车所用的时间关系为：快车比慢车早到1h,即：（）-（）=1,慢车用时,快车用时,方程,（3）如果用y表示快车行完AB的总时间，你能从 快车与慢车的路程关系中找到等量关系，从 而列出方程吗？,方 程：70 y=60（y+1）,等量关系:快车y小时路程=慢车（y+1）小时路程,（4）如果用z表示慢车行完AB的总时间，你能 找到等量关系列出方程吗?,方 程：70（z-1）=60z,等量关系：慢车z小时路程=快车提前1小时走的路程,比较：列算式和列方程,从算式到方程是数学的进步！,列算式:
4、列出的算式表示解题的计算过程,只能用已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难.,列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式.既可用已知数,又可用未知数,解决问题比较方便.,观察下列方程，它们有什么共同点？,70 y=60（y+1）,70（z-1）=60z,观察与思考,问题1 每个方程中，各含有几个未知数？,问题2 说一说每个方程中未知数的次数.,问题3 等号两边的式子有什么共同点？,1个,1次,都是整式,知识要点,这样的方程叫做一元一次方程.,等号两边都是整式，,（一次）,只含有一个未知数,（一元）,未知数的次数都是1,下列哪些是一元一次方程？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（
5、7）.,练一练,例1 若关于x的方程 是一元一次方程，则 n 的值为.,【变式题】加了限制条件，需进行取舍 方程 是关于x的一元一次方程，则 m=.,2或2,1,典例精析,注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件：未知数的次数为1；未知数的系数不为0.,例2 根据下列问题，设未知数并列出方程：(1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形 的边长是多少？,解：设正方形的边长为x cm.,等量关系：正方形边长4=周长，,列方程：.,x,典例精析,(2)一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用 150 h，经过多少月这台计算机的使用时间 达到规定的检修时间2450 h？,解：设x月后
6、这台计算机的使用时间达到2450 h.,等量关系：已用时间+再用时间=检修时间，,列方程：.,(3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？,解：设这个学校的学生人数为x，那么女生人数为 0.52x，男生人数为(10.52)x.等量关系：女生人数男生人数=80，,列方程：0.52x(10.52)x=80.,例3 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元该店在“61”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.,解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60 x）支.等量关系
7、：x支铅笔的售价+（60 x）支圆珠 笔的售价=87，列方程：.,分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.,请同学们思考：1.怎样将一个实际问题转化为方程问题？2.列方程的依据是什么？,抓关键句子找等量关系,实际问题,对于方程4x=24，容易知道 x=6可以使等式成立，对于方程 170+15x=245，你知道 x 等于什么时，等式成立吗？我们来试一试.,我们知道当x=5时，170+15x的值是245，所以方程 170+15x=245中的未知数的值应是5,185,200,215,230,245,260,170+15x,思考,使方程左右两边相等的未知数
8、的值叫方程的解.求方程解的过程叫做解方程.,x=420是 方程的解吗?,知识要点,例4 x=1000和x=2000中哪一个是方程 0.52x-(1-0.52)x=80的解？,解：当x=1000时，方程左边=0.521000-(1-0.52)1000=520-480=40，右边=80，左边右边，所以x=1000不是此方程的解.当x=2000时，方程左边=0.522000-(1-0.52)2000=1040-960=80，右边=80，左边=右边，所以x=2000是此方程的解.,1.将数值代入方程左边进行计算，,2.将数值代入方程右边进行计算，,3.若左边右边，则是方程的解，反之，则不是,判断一个数
9、值是不是方程的解的步骤：,方法归纳,练一练,检验 x=3是不是方程 2x3=5x15的解.,解：把 x=3分别代入方程的左边和右边，得,左边233=3，右边5315=0.,左边右边，,x=3不是方程的解.,当堂练习,2.若 x=1是方程x2 2mx+1=0的一个解，则m的值为（）A.0 B.2 C.1 D.-1,1.x=1是下列哪个方程的解（）A.B.C.D.,B,C,3.下列方程：；.其中是方程的是，是一元一次方程的 是(填序号),4.根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其是不是一元一次方程.,（1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可 以跑3000 m？,解：设沿跑道
10、跑x周.,400 x=3000，是一元一次方程.,（2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共20 支，两种铅笔各买 了多少支？,解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20-x)支.,0.3x+0.6(20 x)=9，是一元一次方程.,（3）一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面 积是40 cm2，求上底,解：设上底为x cm，则下底为(x+2)cm.,，是一元一次方程.,(上底+下底）高=梯形面积,5.已知方程 是关于x的一元一 次方程，求m的值，并写出其方程,解：因为方程 是关于x的一元 一次方程，所以|m|1=1，且m20，得m=2.所以原方
11、程为4x+3=7.,课堂小结,1.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两 边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.2.方程的解：解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知 数的值，这个值就是方程的解.,第三章 一元一次方程,3.1 从算式到方程,3.1.2 等式的性质,1.理解、掌握等式的性质.(重点)2.能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程.(难点),对比天平与等式，你有什么发现？,把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平保持两边平衡.,等式的左边,等式的右边,导入新课,情境引入,下列各式中哪些是等式？；3；2+3=5；3
12、4=12；9x+10=19；.,用等号表示相等关系的式子叫做等式.我们可以用a=b表示一般的等式.,讲授新课,观察与思考,观察天平有什么特性？,天平两边同时加入相同质量的砝码,天平仍然平衡,天平两边同时拿去相同质量的砝码,天平仍然平衡,天平两边同时,天平仍然平衡,加入,拿去,相同质量的砝码,相同的数(或式子),等式两边同时,加上,减去,等式仍然成立,换言之，,等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.,如果a=b，那么ac=bc.,合作探究,等式的性质1,由天平看等式的性质2,等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.,等式的性质2,如果a=b，那么ac=bc；如果a=b
13、（c0），那么.,(2)怎样从等式 3+x=1 得到等式 x=2?,(3)怎样从等式 4x=12 得到等式 x=3?,依据等式的性质1两边同时减3.,依据等式的性质2两边同时除以4或同乘.,依据等式的性质2两边同时除以 或同乘100.,例1(1)怎样从等式 x5=y5 得到等式 x=y?,依据等式的性质1两边同时加5.,典例精析,(4)怎样从等式 得到等式 a=b?,例2 已知mx=my，下列结论错误的是（）A.x=y B.a+mx=a+my C.mxy=myy D.amx=amy,解析：根据等式的性质1，可知B、C正确；根据等式的性质2，可知D正确；根据等式的性质2，A选项只有m0时才成立，
14、故A错误，故选A,A,易错提醒：此类判断等式变形是否正确的题型中，尤其注意利用等式的性质2等式两边同除某个字母参数，只有这个字母参数确定不为0时，等式才成立.,(2)从 a+2=b+2 能不能得到 a=b，为什么?,(3)从3a=3b 能不能得到 a=b，为什么?,(4)从 3ac=4a 能不能得到 3c=4，为什么?,说一说,(1)从 x=y 能不能得到，为什么?,能，根据等式的性质2，两边同时除以9,能，根据等式的性质1，两边同时加上2,能，根据等式的性质2，两边同时除以-3,不能，a可能为0,例3 利用等式的性质解下列方程：(1)x+7=26,解:,得,方程两边同时减去7，,x+7=26
15、,于是=,x,19,小结：解一元一次方程要“化归”为“x=a”的形式.,(2)5x=20,思考：为使(2)中未知项的系数化为1，将要用到等式的什么性质？,化简，得,x=4,-5x(5)=20(5),解：方程两边同时加上5，得,化简，得,方程两边同时,乘 3，,得 x=,27,x=27是原方程的解吗?,思考：对比(1)，(3)有什么新特点？,(3),一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等.例如，将 x=27 代入方程 的左边，,方程的左右两边相等，所以 x=27 是原方程的解.,针对训练：,(1)x+6=17;,(2)-3x=15;,(4),(3)2x
16、-1=-3;,解：(1)两边同时减去6，得x=11.,(2)两边同时除以-3，得x=-5.,(3)两边同时加上1，得2x=-2.,两边同时除以2，得x=-1.,(4)两边同时加上-1，得,两边同时乘以-3，得x=9.,当堂练习,A,1.下列说法正确的是_A.等式都是方程B.方程都是等式C.不是方程的就不是等式D.未知数的值就是方程的解,B,3.下列变形，正确的是（）A.若ac=bc，则a=b B.若，则a=b C.若a2=b2，则a=b D.若，则x=2,B,4.填空(1)将等式x3=5 的两边都_得到x=8，这是 根据等式的性质_；(2)将等式 的两边都乘以_或除以 _得 到 x=2，这是根
17、据等式性质 _；,加3,1,2,2,减y,1,除以x,2,(3)将等式x+y=0的两边都_得到x=y，这是 根据等式的性质_；(4)将等式 xy=1的两边都_得到，这是根据等 式的性质_,5.应用等式的性质解下列方程并检验:(1)x+3=6；(2)0.2x=4；(3)-2x+4=0；(4),6.已知关于x的方程 和方程3x 10=5 的解相同，求m的值.,解：方程3x10=5的解为x=5，将其代入方程，得到，解得m=2.,课堂小结,等式的基本性质,基本性质1,基本性质2,应用,运用等式的性质把方程“化归”为最简的形式 x=a,1.上课认真听讲，理解透彻这都是老师家长说烂了的东西，确实重要。与其
18、他科目不同的是，数学强调知识与逻辑的迁移与转化。所以，对于数学知识根本不需要去死记硬背，能理解，会推导即可。,如何学好初中数学？,2.积极解决难题与错题在数学学习中，肯定会遇到我们毫无头绪或一知半解的题目。千万不要嫌麻烦，多向老师、同学请教，向老师请教也能给老师留下好印象。不要放过每道不会的题，要学会在问题中寻找知识。,3.认真反思错题并不是简单的想想自己为什么错，留下没有思路、计算错误、逻辑不清的字眼，应该仔细分析思路结果与已知条件的关系（敲重点！）对于几何辅助线（一个大难点吧），要建立起常规思路。比如说，已知中点有哪些可能性来应用，是用三线合一连接，是用斜中半连接，还是倍长中线延长，亦或是
19、建立平行得中位线等等。从多条件的共同指向和所求问题联合思考。下一次怎么做？能得到什么启示？这是更重要的。,4.坚持练习题目“练习”并不一定是“刷题”。有针对性、有效率地练习，才是最有效的。题最好坚持每天，或者两天一次做，抽一点点时间，坚持按一定频率做少量题，也是对你很有帮助的。做题并不是刻意地要去押到题或者短时间内突击提高，更多的是学习思路，打开思维。,5.善于总结巧记跟3比较类似，总结其实就是从问题中找规律。此外，一些方法、技巧，在总结的基础上，可以通过编口诀（自己懂的语言就好）、调动想象与情感等方式来记忆。个人认为数学在理解的基础上记方法和技巧还是很重要的（方法其实与1类似）。同时技巧也是在不断尝试中习得的。,
