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1、3.2,双曲线,第三章,3.2.1 双曲线及其标准方程,学习目标,1.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.4.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.核心素养：数学运算、直观想象、数学抽象,新知讲解,复习引入 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.如果平面内与两个定点F1,F2的距离之差也是一个常数，这样的点的轨迹是什么图形呢？,新知学习,1.双曲线的定义（1）模型试验取一条拉链，如图，把它固定在板上的F1、F2两点，拉动拉链（M），思考拉链头
2、（M）运动的轨迹是什么图形？,如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a,如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a,由可得：|MF1|-|MF2|=2a（差的绝对值）上面 两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支.,（2）定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线.,两个定点F1、F2双曲线的焦点;,|F1F2|=2c 焦距；,此常数记为2a，则ac.,|MF1|-|MF2|=2a|F1F2|如果没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支.,双曲线的一支，如右图.,两条射线，如右图.,2、若常数2a=0,轨迹是什么?,
3、线段F1F2的垂直平分线，如右图.,4、若常数2a|F1F2|轨迹是什么？,轨迹不存在,3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？,思考 1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于非零常数2a(小于|F1F2|)的 点的轨迹是什么？,（1）双曲线标准方程的推导：建立直角坐标系-设点-列式-化简,建系,以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系.,设点,设M（x,y）,双曲线的焦距为2c（c0）,非零常数等于2a（a0），则F1(-c,0),F2(c,0).,2.双曲线的标准方程,列式,|MF1|MF2|=2a即,化简,c2a2 a2y=c2a2 令c2-a2=b2,其中
4、b0,代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2,整理得：2 2 2 2 1（a0，b0）,思考 以F1，F2所在的直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系.则双曲线的标准方程怎么写？,3.双曲线的两种标准方程的特征,方程用“”号连接.a，b 大小不定.c=a+b如果x的系数是正的，则焦点在x轴上；如果y的系数是正的，则焦点在y轴上.记忆口诀：化成标准形式，焦点跟着正项走,1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程 x 2 a 2 y 2 b 2=1中，a0，b0且ab()(3)双曲线标
5、准方程中，a，b的大小关系是ab(),D,即时巩固,一、求双曲线的标准方程,例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.,解 因为双曲线的交点在x轴上，所以设它的标准方程为 2 2 2 2=1(0,0)由2c=10，2a=6，得c=5，a=3，因此b2=c2-a2=52-32=16，所以双曲线的标准方程为 2 9 2 16=1,典例剖析,反思感悟 双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程 2 2 2 2 1或 2 2 2
6、2 1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可,跟踪训练 若中心为原点的双曲线的焦点在x轴上，焦距为4，且过点P（2，3），则双曲线的标准方程为.,解析 设双曲线的标准方程为 2 2-2 2 1（a0，b0），由题意知，该双曲线的左、右焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0）.由双曲线的定义可得2a|PF1|-|PF2|2+2 2+3 2 22 2+3 2|2，a1，则b=2=3，因此双曲线的标准方程为-2 3 1.,-2 3 1,二、求动点的轨迹方程,例2 一炮弹在某处爆炸.在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.已知A，B两地相距800m，并且此时声速 为340m/s.问
7、爆炸点应在什么样的曲线上？并求出轨迹方程.,分析 因为在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，所以在A处与爆炸点的距离比在B处 远680m800m.因此爆炸点应位于以A，B为焦点且靠近B点的双曲线的一支上.,解 如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B在x轴上，并且原点O与线段AB的中,又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2-a2=44400.因为|PA|-|PB|=6800，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x340,所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为 2 115600 2 44400=1（340）,点重合，设炮弹爆炸点P的坐标为（x，y），则|PA|-|PB|=3402=68
8、0 即2=680，=340,反思 利用定义法求轨迹方程的一般步骤1.建立直角坐标系，结合图形确定动点满足的几何条件.2.依据几何条件和曲线方程的定义确定轨迹的形状.3.确定曲线方程中的参数并直接写出方程.4.验证所求方程（检查是否有要去掉的点）.,跟踪训练 在ABC中，边BC固定，且|BC|2.当三内角A，B，C满足sin C-sin B sin A时，建立适当的直角坐标系，求顶点A的轨迹方程.,解 如图，以BC边所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0）.由sin C-sin B 1 2 sin A，得|AB|-|AC|1 2|AC|，可知
9、点A的轨迹是双曲线的右支，且除去点（1 2，0），即顶点A的轨迹方程为 1 4-3 4=1（x 1 2）.,三、双曲线标准方程的应用,例3已知方程（1+k）x2-（1-k）y21表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为（A）A.（-1，1）B.（1，+）C.（-，-1）D.（-，-1）（1，+）,解题提示由题意可知1+k与1-k同大于0.解析 由题意得 1+0，10，解得 1，1，即-1k1.,反思 若mx2+ny21，则mn0是该方程表示双曲线的充要条件.,跟踪训练 已知双曲线 3+2 1的焦点在x轴上，若焦距为4，则a（C）A.21 2 B.7C.9 2 D.1 2,解析 由双曲线 3+
10、2 1的焦点在x轴上，焦距为4，可得 20，30，32+=2，解得a 9 2.,1.已知点（2，3）在双曲线C：1（a0，b0）上，双曲线C的焦距为4，则双曲线的方程为.,随堂小测,3=1,2.已知F1（-5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|-|PF2|2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为（C）A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条射线D.双曲线的一支和一条直线,3.若mR，则“m4”是“方程 4+1 1表示双曲线”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,4.椭圆 4+21与双曲线 2-y21有相同的焦点F1，F
11、2，点P是椭圆与双曲线的一个交点，则PF1F2的面积是（C）A.4B.2C.1D.1 2,5.某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如右图），|AP|100 m，|BP|150 m，APB60，试说明怎样运土才能最省工.,解如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|+|AP|MB|+|BP|，即|MA|-|MB|BP|-|AP|150-10050（m），这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a25.在APB中，|AB|2|AP|2+|BP|2-2|AP|BP|cos 6017 500，从而c2 2 4 375，b23 750，故所求分界线的方程为 625 3750 1（x25）.即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工.,1.知识清单：(1)双曲线的定义.(2)双曲线的标准方程.(3)双曲线的应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：忽略双曲线定义中的限制条件，即对|PF1|-|PF2|2a0）限制要求,课堂小结,
