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1、双曲线及其标准方程,一、复习与问题,1，椭圆的第一定义是什么？,平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。,F1,F2,M,|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）,a2=b2+c2,(c,0),(c,0),(0,c),(0,c),（ab0）,（ab0）,平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。,平面内与两定点F1，F2的距离的 为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？,F1,F2,差,一、复习与问题,定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点,两焦
2、点的距离叫双曲线的焦距.,思 考：平面内与两定点F1，F2的距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？,A1,A2,O,F1,F2,M,此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。,则|MF1|=|MF2|,2.定义中这个常数2a能否为0？,(|F1F2|记为2c；常数记为2a),（1）2a2c；,（2）2a 0；,注意,试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？（F1、F2是两定点,|F1F2|=2c(a,c为正常数)当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹；当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹；当a=c时，动点M的轨迹；当ac时，动点M的轨迹.,因此，在应用定义时，首先要考查.,双曲线
3、的右支,双曲线的左支,以F1、F2为端点的两条射线,不存在,2a与2c的大小,线段F1F2的垂直平分线,当a=0时，动点M的是轨迹_.,如图建立坐标系，使x轴经过F1、F2，并且原点O与线段F1F2的中点重合。设M(x,y)为双曲线上任一点,双曲线焦距为2c(c0),则F1(c,0),F2(c,0),F1,F2,M,二、双曲线的标准方程：,再次平方，得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),由双曲线的定义知，2c2a,即ca,故c2-a20,令c2-a2=b2,其中b0,代入整理得：,F1,F2,二、双曲线的标准方程：,(a0,b0),方程,叫做双曲线的标准方程,它表示的双曲线焦点
4、在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2,(-x)2,x2,y2,方程,叫做双曲线的标准方程,它表示的双曲线焦点在y轴上，焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2,（1）双曲线的标准方程用减号“-”连接；,（2）双曲线方程中a0,b0,但a不一定大于b,说明：,（3）如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上；,（4）双曲线标准方程中，a，b，c的关系是c2=a2+b2；,（5）双曲线的标准方程可统一写成Ax2-By2=1（AB0),F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，
5、a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,练习1：写出以下曲线的焦点坐标及a,b：,练习2.直接写出适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a=4，b=3，焦点在x轴上；(2)a=2，经过点A(2，-5)，焦点在y轴上.,一、巩固练习,1.焦点在x轴上的双曲线的标准方程是_,焦点为_.焦点在y轴上的双曲线的标准方程 是,焦点为_,其中_.,c2=a2+b2,4.过双曲线 的焦点且垂直于x轴的弦的长度 为.,2.双曲线 的焦点坐标是.,3.方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是_.,AB 0,(c,0)
6、,(0,c),例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，若双曲线上有一点，且|F1|=10,则|F2|=_。若|F1|=7，则|F2|=_。,4或16,13,上题的椭圆与双曲线的一个交点为P，焦点为F1,F2,求|PF1|.,变式:,|PF1|+|PF2|=10,分析:,例3:如果方程 表示双曲线，求m的取值范围.,或,例4:化简,使结果不含根式.,答案：,例4.已知A、B两地相距800m，在A处听到炮弹爆炸声的时间比在B处晚2s,且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程,思考：如果A，B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？,例5.已知F1、F2为双曲线 的焦点，弦MN过F1且M,N在同一支上，若|MN|=7,求MF2N的周长.,例6.已知双曲线16x2-9y2=144 求焦点的坐标；设P为双曲线上一点，且|PF1|PF2|=32，求；设P为双曲线上一点，且 F1PF2=120，求.,小结：,1.双曲线的定义、焦点、焦距概念；,2.双曲线标准方程的推导过程：,3.双曲线标准方程的两种形式及其与 焦点位置的关系：,4.与双曲线的定义和标准方程有关的三个参数a、b、c间的关系。,a、b、c都为正数且c最大；结构类似勾股定理，为c2=a2+b2。,
