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1、中考复习专题,圆,1,如图,1,，点,A,，,B,，,C,在,D,上，,ABC,70,，则,ADC,的度数为（,）,A,110,B,140,C,35,D,130,2,如图,2,，,O,的半径为,5,，弦,AB,的长为,8,，,M,是弦,AB,上的动点，则线段,OM,长的最小值为,(,),A,2 B,3 C,4 D,5,3,如图,3,，,O,的内接四边形,ABCD,中，,BAD,115,，则,BOD,等于,_,B,B,130,课前热身,4.,如图,4,所示，,PA,，,PB,是,O,的切线，且,APB,=40,，下列说法不正确的是（,C,）,A.,PA=PB,B.,APO,=20,C.,OBP,
2、=70,D.,AOP,=70,5.,如图,5,所示，直线,AB,与,O,切于,A,点，,O,的半径为,2,，若,OBA=,30,，则,AB,的长为（,C,）,A.B.4 C.D.2,4,3,2,3,图,4,图,5,课前热身,知识梳理,一、圆的基本性质,圆的定义,定义,1,：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另,一个端点所形成的的图形，叫做圆。,定义,2,：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆。,弦,连接圆上任意两点的线段，叫做弦。,直径,直径是经过圆心的弦，是园内最长的弦。,弧,圆上任意两点间的部分，叫做弧。弧有优弧、半圆、劣弧之分。能够完,全重合的弧，叫做等弧。,
3、圆心角,顶点在圆心的角，叫做圆心角。,圆周角,顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。,知识梳理,圆的,对称性,1,、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线；,2,、圆是中心对称图形，对称中心为圆心；,3,、圆具有旋转不变性。,垂径定理及,其推论,定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。,推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,圆心角、弧,之间的关系,在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧或两条弦中，有一组量相等，,那么它们所对应的其余各组量也分别相等。,一、圆的基本性质,知识梳理,圆周角定理,及其推论,定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
4、心角的一半。,推论,1,：同弧或等弧所对的圆周角相等。,推论,2,：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；,90,的圆周角所对的弦是直径。,推论,3,：圆内接四边形的对角互补。,一、圆的基本性质,1.,(2018,广州,7,3,分,),如图,AB,是,O,的弦,OC,AB,交,O,于点,C,连接,OA,OB,BC,若,ABC,=20,则,AOB,的度数是,(,),A.40,B.50,C.70,D.80,一、圆的基本性质,经典回顾,分析,D,根据“圆上一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”可得,AOC,=2,ABC,=40,由,OC,AB,可得,=,AOB,=2,AOC,=80,.,AC,
5、BC,2.,(2017,广东,9,3,分,),如图,四边形,ABCD,内接于,O,DA,=,DC,CBE,=50,则,DAC,的,大小为,(,),A.130,B.100,C.65,D.50,一、圆的基本性质,经典回顾,思路分析,由圆内接四边形的对角互补知,D,=,CBE,再由三角形的内角和为,180,及等腰三角形的性质,求得,DAC,的大小,.,分析,四边形,ABCD,是,O,的内接四边形,D,=,CBE,=50,DA,=,DC,DAC,=,(180,-50,)=65,故选,C.,1,2,3.,(2017,广州,9,3,分,),如图,3,在,O,中,AB,是直径,CD,是弦,AB,CD,垂足为
6、,E,连接,CO,A,D,BAD,=20,则下列说法中正确的是,(,),A.,AD,=2,OB,B.,CE,=,EO,C.,OCE,=40,D.,BOC,=2,BAD,一、圆的基本性质,经典回顾,分析,AB,为,O,的直径,AB,=2,OB,又,AB,AD,AD,=2,OB,不正确,即,A,不正确,;,连接,OD,则,BOD,=2,BAD,=40,OC,=,OD,OB,CD,BOC,=,BOD,=40,OCE,=50,EO,CE,B,不正确,C,不正确,;,BOC,=40,BAD,=20,BOC,=2,BAD,D,正确,故选,D.,一、圆的基本性质,4,.(2015,深圳,10,3,分,),如
7、图,4,AB,为,O,的直径,已知,DCB,=20,则,DBA,为,(,),A.50,B.20,C.60,D.70,经典回顾,分析,解法一,:,AB,为,O,的直径,ACB,=90,DCB,=20,ACD,=70,同弧所对的圆周角相等,DBA,=,ACD,=70,故选,D.,解法二,:,连接,AD,则,DAB,=,DCB,=20,AB,为,O,的直径,ADB,=90,DBA,=70,，故选,D,一、圆的基本性质,1,.(2019,吉林,5,2,分,),如图,在,O,中,所对的圆周角,ACB,=50,若,P,为,上一点,AOP,=55,则,POB,的度数为,(,),A.30,B.45,C.55,
8、D.60,AB,AB,答案：,1.B 2.D,2.,(2017,陕西,9,3,分,),如图,ABC,是,O,的内接三角形,C,=30,O,的半径为,5.,若点,P,是,O,上一点,在,ABP,中,PB,=,AB,则,PA,的长为,(,),A.5,B.,C.,D.,5,3,2,5,2,5,3,真题练习,3.,(2016,陕西,9,3,分,),如图,O,的半径为,4,ABC,是,O,的内接三角形,连接,OB,、,OC,.,若,BAC,与,BOC,互补,则弦,BC,的长为,(,),A.3,B.4,C.5,D.6,一、圆的基本性质,真题练习,3,3,3,3,答案：,3.B 4.,4.,(2018,湖北
9、黄冈,11,3,分,),如图,ABC,内接于,O,AB,为,O,的直径,CAB,=60,弦,AD,平分,CAB,若,AD,=6,则,AC,=,.,2,3,二、圆的证明,知识梳理,位置关系,相离,相切,相交,公共点个数,0,1,2,公共点名称,无,切点,交点,数量关系,?,?,?,=,?,?,?,直线与圆的位置关系,二、圆的证明,知识梳理,圆的切线,切线的判定,（,1,）与圆有唯一公共点的直线，是圆的切线；,（,2,）到圆心的距离等于半径的直线，是圆的切线；,（,3,）过半径外端点，且垂直于半径的直线，是圆的切线。,切线的性质,切线垂直于经过切点的半径。,切线长,过圆外一点作圆的切线，这点和切点
10、之间的线段长，就是这,点到圆的切线长。,切线长定理,从圆外一点可以引出圆的两条切线，它们的切线长相等，这,一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,二、圆的证明,知识梳理,圆与三角形,确定圆的条件,不在同一直线的三个点，确定一个圆。,三角形的外心,经过三角形的三个顶点的圆，叫作三角形的外接圆。外接,圆的圆心叫作三角形的外心。外心到三角形三个顶点的距,离相等。,三角形的内心,与三角形三边都相切的圆，叫作三角形的内切圆。内切圆,的圆心叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。,经典回顾,二、圆的证明,1,.(2019,广州,5,3,分,),平面内,O,的半径为,1,点,P,到,O,的距离为,2,过
11、点,P,可作,O,的,切线的条数为,(,),A.0,条,B.1,条,C.2,条,D.,无数条,分析,C,点,P,到点,O,的距离为,2,O,的半径为,1,点,P,到圆心的距离大于半径,点,P,在,O,外,.,过圆外一点可以作圆的两条切线,过点,P,可以作,O,的两条切线,.,故选,C.,经典回顾,二、圆的证明,2.(,2017,广州,6,3,分,),如图,O,是,ABC,的内切圆,则点,O,是,ABC,的,(,),A.,三条边的垂直平分线的交点,B.,三条角平分线的交点,C.,三条中线的交点,D.,三条高的交点,分析,B,O,内切于,ABC,点,O,到,ABC,三边的距离相等,点,O,是三条角
12、平分线的交点,故选,B.,经典回顾,二、圆的证明,3.(,2015,梅州,6,3,分,),如图,AB,是,O,的弦,AC,是,O,的切线,A,为切点,BC,经过圆心,.,若,B,=20,则,C,的大小等于,(,),A.20,B.25,C.40,D.50,分析,D,连接,OA,在等腰,ABO,中,B,=,BAO,=20,AOC,=40,.,AC,是,O,的切线,OA,AC,则,OAC,=90,在,Rt,ACO,中,C,=50,故选,D,经典回顾,二、圆的证明,4.,(2019,广东,24,9,分,),如图,1,在,ABC,中,AB,=,AC,O,是,ABC,的外接圆,过点,C,作,BCD,=,A
13、CB,交,O,于点,D,连接,AD,交,BC,于点,E,延长,DC,至点,F,使,CF,=,AC,连接,AF,.,(1),求证,:,ED,=,EC,;,(2),求证,:,AF,是,O,的切线,;,4.,解析,(1),证明,:,如图,AB,=,AC,1=,3.,1=,2,2=,3.,3=,4,2=,4,ED,=,EC,.,(2),证明,:,如图,连接,OA,、,OB,、,OC,经典回顾,二、圆的证明,OB,=,OC,AB,=,AC,AO,垂直平分,BC,AO,BC,由,(1),知,2=,3,AB,DF,AB,=,AC,=,CF,四边形,ABCF,是平行四边形,AF,BC,AO,AF,又,OA,是
14、,O,的半径,AF,是,O,的切线,真题练习,二、圆的证明,1.,(2019,福建,9,4,分,),如图,PA,PB,是,O,的两条切线,A,B,为切点,点,C,在,O,上,且,ACB,=55,则,APB,等于,(,),A.55,B.70,C.110,D.125,答案：,1.B 2.,60,2.,(2018,安徽,12,5,分,),如图,菱形,ABOC,的边,AB,AC,分别与,O,相切于点,D,E,.,若点,D,是,AB,的中点,则,DOE,=,.,真题练习,二、圆的证明,3.,(2019,内蒙古包头,18,3,分,),如图,BD,是,O,的直径,A,是,O,外一点,点,C,在,O,上,AC
15、,与,O,相切于点,C,CAB,=90,若,BD,=6,AB,=4,ABC,=,CBD,则弦,BC,的长,为,.,答案：,3.,2,6,真题练习,二、圆的证明,4,.(2017,湖北黄冈,20,7,分,),已知,:,如图,MN,为,O,的直径,ME,是,O,的弦,MD,垂直于过点,E,的直线,DE,垂足为点,D,且,ME,平分,DMN,.,求证,:(1),DE,是,O,的切线,;,(2),ME,2,=,MD,MN,.,三、圆的计算,知识梳理,弧长公式,扇形面积公式,?,=,?,180,?,扇,=,?,2,360,=,1,2,?,圆与正多边形的计算，总是归结为一个直角三角形的计算，,它的三边分别
16、为正多边形边长的一半、半径和边心距，,隐含条件是中心角的一半,?,=,180,?,三、圆的计算,经典回顾,1,.(2015,广东,9,3,分,),如图,某数学兴趣小组将边长为,3,的正方形铁丝框,ABCD,变形为以,A,为圆心,AB,为半径的扇形,(,忽略铁丝的粗细,),则所得扇形,DAB,的面积为,(,),A.6,B.7,C.8,D.9,分析,D,依题意知,的长,=,BC,+,CD,=6,S,扇形,DAB,=,1,2,?,=,6,3=9,故选,D.,BD,1,2,三、圆的计算,经典回顾,2.,(2018,广东,15,4,分,),如图,矩形,ABCD,中,BC,=4,CD,=2,以,AD,为直
17、径的半圆,O,与,BC,相,切于点,E,连接,BD,则阴影部分的面积为,.(,结果保留,),分析,解法一：连接,OE,.,阴影部分的面积,=,S,BCD,-(,S,正方形,OECD,-,S,扇形,OED,),=,2,4-,=.,解法二：如图,连接,OE,交,BD,于点,H,则,S,BEH,=,S,OHD,所以阴影部分的,面积,=,S,扇形,OED,=,2,2,=.,1,2,2,1,2,2,2,4,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,4,三、圆的计算,经典回顾,3,.(2016,广州,15,3,分,),如图,以点,O,为圆心的两个同心圆中,大圆的弦,AB,是小圆的切线,点,P,为切点,A
18、B,=12,OP,=6,则劣弧,的长为,(,结果保留,).,AB,3,分析,:,连接,AO,由于弦,AB,为小圆的切线,点,P,为切点,故,OP,AB,AP,=,BP,=,AB,=6,在,Rt,AOP,中,tan,AOP,=,=,OA,=,=12,AOP,=60,连接,OB,则,AOB,=120,l,=,=8.,1,2,3,AP,OP,3,2,2,AP,OP,?,AB,120,12,180,?,?,?,三、圆的计算,经典回顾,4.,(2019,四川成都,9,3,分,),如图,正五边形,ABCDE,内接于,O,P,为,上的一点,(,点,P,不与点,D,重合,),则,CPD,的度数为,(,),A.
19、30,B.36,C.60,D.72,DE,分析,B,连接,CO,DO,五边形,ABCDE,为正五边形,COD,=,360,=72,CPD,=,COD,=36,故选,B.,1,5,1,2,三、圆的计算,真题练习,1,.(2019,云南,11,4,分,),一个圆锥的侧面展开图是半径为,8,的半圆,则该圆锥的,全面积是,(,),A.48,B.45,C.36,D.32,分析,S,全,=,S,侧,+,S,底,=32+16=48.,故选,A,三、圆的计算,真题练习,2.(,2019,广州,15,3,分,),如图放置的一个圆锥,它的主视图是直角边长为,2,的等腰,直角三角形,则该圆锥侧面展开扇形的弧长为,.
20、(,结果保留,),答案：,2,.,主视图是直角边长为,2,的等腰直角三角形,此圆锥的底面圆的直径为,2,圆锥的底面圆的周长为,2,等于圆锥侧面,展开扇形的弧长,2,斜边长为,=2,2,2,2,2,?,2,2,2,三、圆的计算,真题练习,3,.(2016,山东青岛,7,3,分,),如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条,AB,和,AC,的夹角,为,120,AB,长为,25 cm,贴纸部分的宽,BD,为,15 cm,若纸扇两面贴纸,则贴纸的面积为,(,),A.175 cm,2,B.350 cm,2,C.,cm,2,D.150 cm,2,800,3,分析：贴纸的面积为,2,=350(cm,2,),故
21、选,B.,625,100,3,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,三、圆的计算,真题练习,4.,(2019,贵州贵阳,6,3,分,),如图,正六边形,ABCDEF,内接于,O,连接,BD,则,CBD,的,度数是,(,),分析,A,在正六边形,ABCDEF,中,BCD,=,=120,BC,=,CD,CBD,=,(180,-120,)=30,故选,A.,(6,2),180,6,?,?,?,1,2,中考冲刺,1.,（,2019.,温州）若扇形的圆心角为,90,，半径为,6,，则该扇形的弧长（,C,）,A.B.2 C.3 D.6,3,2,?,2.,（,2019.,长沙）一个扇形的半径为,6,，圆心
22、角为,120,，则该扇形的面积是（,C,）,A.2 B.4 C.12 D.24,中考冲刺,3,.(2018,辽宁沈阳,10,2,分,),如图,正方形,ABCD,内接于,O,AB,=2,则,的长是,(,A,),A.,B.,C.2,D.,2,AB,3,2,1,2,中考冲刺,4,.(2017,辽宁沈阳,10,2,分,),正六边形,ABCDEF,内接于,O,正六边形的周长是,12,则,O,的半径是,(,B,),A.,B.2,C.2,D.2,3,2,3,中考冲刺,5.,(2019,重庆,A,卷,16,4,分,),如图,在菱形,ABCD,中,对角线,AC,BD,交于点,O,ABC,=60,AB,=2.,分
23、别以点,A,、点,C,为圆心,以,AO,的长为半径画弧分别,与菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为,.(,结果保留,),答案：,S,阴影,=,S,菱形,ABCD,-2,1,2,=2,-,.,120,360,?,?,3,2,3,中考冲刺,6.(2019,山东青岛,12,3,分,),如图,五边形,ABCDE,是,O,的内接正五边形,AF,是,O,的直径,则,BDF,的度数是,.,答案：,54,中考冲刺,7.,(2019,广东,22,7,分,),在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为,1,每个小正,方形的顶点叫格点,ABC,的三个顶点均在格点上,以点,A,为圆心的,与,BC,相,切于点,D,分别交
24、,AB,、,AC,于点,E,、,F,.,(1),求,ABC,三边的长,;,(2),求图中由线段,EB,、,BC,、,CF,及,所围成的阴影部分的面积,.,EF,FE,中考冲刺,7.,解析,(1),由题图可知,AB,2,=2,2,+6,2,=40,AB,=2,，,AC,2,=2,2,+6,2,=40,AC,=2,BC,2,=4,2,+8,2,=80,BC,=4,(2),连接,AD,由,(1),知,AB,2,+,AC,2,=,BC,2,AB,=,AC,ABC,是等腰直角三角形,BAC,=90,.,以点,A,为圆心的,与,BC,相切于点,D,10,10,5,EF,AD,BC,AD=BC,=2,S,A
25、BC,=,BC,AD=,4,2,=20,又,S,扇形,EAF,=,(2,),2,=5,S,阴影,=20-,5.,1,2,5,1,2,1,2,5,5,1,4,5,中考冲刺,8,.(2018,黑龙江齐齐哈尔,20,8,分,),如图,以,ABC,的边,AB,为直径画,O,交,AC,于点,D,半径,OE,BD,连接,BE,DE,BD,设,BE,交,AC,于点,F,若,DEB,=,DBC,.,(1),求证,:,BC,是,O,的切线,;,(2),若,BF,=,BC,=2,求图中阴影部分的面积,.,中考冲刺,8.,解析,(1),证明,:,AB,是,O,的直径,ADB,=90,A,+,ABD,=90,又,A,=,DEB,DEB,=,DBC,A,=,DBC,DBC,+,ABD,=90,BC,是,O,的切线,.,(2),BF,=,BC,=2,且,ADB,=90,CBD,=,FBD,又,OE,BD,FBD,=,OEB,OE,=,OB,OEB,=,OBE,CBD,=,FBD,=,OBE,=,ABC,=,90,=30,.,C,=60,AB,=,BC,=2,O,的半径为,.,如图,连接,OD,阴影部分面积为,S,扇形,OBD,-,S,OBD,=,(,),2,-,(,),2,=,-,.,1,3,1,3,3,3,3,1,6,3,1,2,3,2,3,2,?,3,3,4,
