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1、基于“数学问题资源”的互评学教模式构建的实践研究一、研究缘起发展学生个性，不仅是教育本质的复归，而且是社会发展的要求，传统的教学观念和师生关系理念发生了很大的变化，并逐渐被注重发展学生个性，注重发展学生主动性和创造性的新型师生关系所代替。在这种师生关系中，学生需要与教师建立更为深厚的感情，期望得到教师更多的理解和尊重，在平等的价值理念下进行互动、互学、互纠和互探。但在我们周围的现实社会中，由于社会地位、价值观念的变化，教师对学生的情感投入却并没有引起自身的高度重视，甚至有个别教师对学生的情感投入不增反减，师生之间心理距离很大。为了解我校学生学习的主体性和师生的互动性进行了问卷调查。调查内容主要
2、包括了以下几个方面：课前预习、课堂互动、作业批改、思维互动等。（一）课前预习盲目多问题少学习问题缺少互寻平台课前预习方面：38.1%的学生有预习习惯，但不坚持；46.6%的学生很少预习；6.9%的学生从不预习；而只有8.4%的学生能长期坚持预习。从调查可看出，大多数学生还不懂得预习的重要性，这就造成课堂上学生只能被动地跟着老师走，而不能主动参与到教学中去，更不用说培养其探究能力了。“先学后教”教学模式就是以优化数学教学过程、提高数学教学质量、培养学生创新精神与实践能力为目标而设计的。这种教学模式使学生带着明确的学习任务目标，主动地进行学习，在执行任务过程中，通过独立思考、实践、讨论、交流与合作
3、，培养学生良好的学习习惯和学习方法，充分发挥学生在学习中的积极性和主动性，提高自身的学习能力，这充分体现了以学生发展为本的新的教学理念。目前，有些学生在预习的环节上存在着盲目性，随意性和无目的性，有些学生甚至不知道如何进行预习，因此教师应该引导好学生进行课前预习，做好课前预习工作。好的课前预习是听好课的前提，基础，也是培养学生自主学习的有效方式，先决条件。应该指出的是课前预习主要是对新内容进行总体把握，不必看得过细，过于具体。否则，听课就会失去新鲜感。但目前我校学生课前预习少，学生上课在跟不上教师的思路，学起来感到吃力；有些学生虽然参与预习但盲目性多，他们不会带着问题去思考，没有目标更谈不上提
4、出问题，学生自主学习缺少互寻平台。（二）课堂教学伪探多真探少知识问题缺少互探讲台本次调查显示，有 23.5%的学生“对于老师或课本上的说法”表示原封不动地接受，只有33%的学生时常表示怀疑；“当某位同学在课堂上对老师的讲解提出异议时”，36.6%的学生选择“沉默”或“事不关己，高高挂起”；54%的学生“与别人发生意见分歧时怀疑自己的观点”（从众心理）。这样，学生的思维受到限制，不敢想象，不敢探究。过于严谨、思维定势、从众心理、信息饱和，被认为是探究思维的4种主要障碍。由此可见，大多数学生在探究思维中存有4种障碍的状况没得到根本性的转变，课堂伪探究多真探究少。关于老师上课精讲的时间。12.5%的
5、学生说上课全讲，48.9%的学生说30分钟以上；31.5%的学生说一半时间左右。从中可见，学生的独立思考能力差，依赖性强。教师的讲述取代了学生的独立思考，学生只会死记硬背，使思维停滞不前。课堂讨论、发言方面：积极参加讨论，是发展与培养思维的重要方法。积极参加讨论，可以从别人的思维中吸取营养，变成自己的探究思维，这就是我们平时所说的集思广益。但在调查中我发现：在课堂有时参与讨论，但浅尝辄止的学生占了30.2%；高达39.4%的学生只在老师要求时才参与讨论，在老师抽到时才发言；还有12.9%的学生从不参与讨论，不习惯发言；只有17.5%的学生经常与别人展开讨论，有针对性发表自己的见解。由此可见，学
6、生在课堂上思维不活跃，学生分析能力不强，课堂探究问题学生缺少互探讲台。（三）作业批改应付多实效少作业问题缺少互批舞台作业批改方面：75%的学生认为教师应付多缺少沟通，只有15%的学生认同作业批改的有效性，甚至有5%的学生认为教师作业批改无效。特别是文科学科的教师在作业批改的方法上就是正确打“”，错误打“”。甚至还有的学生用直尺来量“”的长短，越长越好越短越有缺陷。从现象看，似乎合情合理，但它不能激发学生对错误的警觉，不利于培养学生自我检查，自我纠错，自我评价的能力。因为，仅用“”或“”这两种批改符号不能具体地指明学生犯错之处和错因，不利于学生迅速准确地找到错误，并把错误改正过来。学校要求作业有
7、布置有批，批改不隔天但很多教师应付多、认真少，文科教师看长短，理科教师看结果，缺少沟通缺少对学生思维过程的评判，久而久之教师懒散学生盲目，真正没有挖掘作业的内在价值，学生作业问题缺少互批舞台。（四）反馈检测分数多思维少思维问题缺少互思展台对于探究思维的“发散思考法”、“收敛思考法”等，表示“听说而已”或“完全不知道”的学生占了36.4%；想掌握一些思维方法，但教材上没有，渴望得到老师的指导占到55.4%；而只有8.2%的学生不仅知道，而且能在学习上应用。学生获得思维和学习方法的途径主要有：老师课堂渗透；阅读有关书籍；主动向人请教；班级经验交流这就要求教师在教学中应有意识地培养学生掌握求新、求异
8、、综合、发散等思维方法。学生的思维能力的培养不是一朝一夕之事，而是需要不断摸索、不断实践、不断反思不断感悟。而我校的现实情况是反馈检测大部分教师只关心学生的分数，不关心学生思维的达成和能力的培养，师生之间思维缺少互思展台。 二、研究综述国内外对“问题解决”的研究数学方面比较多，无论是20世纪60年代的“新数学”运动还是70年代的“回到基础”运动,都给学生留下了许多遗憾,如在“新数学”运动中学生不仅没有掌握所要求的抽象概念而且学生的数学学习积极性受到挫折,以至没有掌握改革前学生所成功掌握的一些基本技能,而70年代的“回到基础”集中于训练学生的死记硬背的机械技能,因此这代学生缺乏数学探究和体验,他
9、们的思维方式和问题解决表现贫乏。这导致了80年代改革的钟摆开始向“问题解决”方向摆动。国外：在西方，对合作学习的研究和实践都有相当久远的历史渊源。早在公元1世纪，古罗马昆体良学派就指出，学生们可以从互教中受益。1806年合作学习小组的观念从英国传入美国，受到美国教育家帕克(Park)、杜威(Dewey)等人的推崇并被广为应用，最终于20世纪70年代初在美国兴起了现代的合作学习研究热潮。由此开始，为了突出合作学习的集体化、过程性特点，实现有意义的而非形式化的合作学习，西方的研究者与教师进行了长期的探索。开发了小组成绩分享法、小组游戏竞赛法、切块拼接法、共学式、小组调查法、合作辩论等多样化的实施策
10、略，以及对于学术表现的双重评价、学习与合作技巧合计评分等评价方法。这些实施策略与评价方法随着合作学习的广泛开展而不断丰富、完善。国内：北京师范大学肖川博士认为：“合作学习是指学生在小组或团队中为了完成共同的任务，有明确的责任分工的互助性学习。” 山东教育科学研究所所长、博士生导师王坦认为：“真正的合作学习其实是以教学目标为导向，以异质小组为基本组织形式，以教学各动态因素的互动合作为动力资源，以团体成绩为奖励依据的一种教学活动和策略体系。” 三、研究设计（一）概念界定问题资源：就是指师生在“学和教”的过程中发现学生知识学习过程中的的一系列问题如预习中的学习问题、课堂中的探究能力问题、课后作业知识
11、性问题、检测反馈理解思维方法问题等。通过双边互动互评在师生共同“寻问”、“探问”、“识问”、“思问”过程中生成的课程资源。互评学教:指在新课程理念指导下，学生自我、同伴、师生开展课前互寻发现问题、课内教学中互探问题、课后练习互批解决问题、检测反馈跟踪反思互议问题的新型学教模式。（二）理性思考1问题资源是激发学生学习兴趣的内驱力我校是一所农村普高，学生整体素质相对低，学习中问题多，学习兴趣不浓。调动学生的学习积极性，积极主动发现问题，并通过同伴、教师共同解决问题是当前重中之重。使学生充分感受学习和成功的快乐，从而产生巨大的学习兴趣和参与热情，树立自信。老师要充分相信学生，充分依靠学生，充分解放学
12、生，让学生发现问题，要把课堂上更多的时间还给学生，让学生成为解决问题的主人、学习的主人。通过研究让学生更多地思考，更多地探索，更多地说和做，让学生相互的学习、交往中得到锻炼，并在教师的引导下，让问题资源成为实现课堂教学的轻负担、高效率，最终成为学生学习兴趣的内驱力。2互评学教是开拓学生思维的必然选择从本校实际来看，新课程新高考以来我校面临机遇和挑战，特别是2010年和2011年高考更加注重对学生思维和能力的考察，试卷整体难度大。如何结合学科特点，研究把学科创新的基本理念和创新课堂的基本要求转化为具体的教学行为，在学生学习、作业设计、教学理念、教学内容和教学方法上必须开拓创新，创造性地实施新课程
13、。互评学教模式的成败关键在于教师，研究学生学习方式的转变，教师必然要研究教的方式的转变，转变教育观念，通过对自己的教育教学行为对学生问题进行诊断与评价、研究与分析的自我反思，实现认识上的升华与飞跃，从而为课堂学习的改革奠定基础，开拓学生的思维促进学生能力的提高。（三）研究内容欲 问课前预习提出问题提出问题互寻问题会学会纠会 探探 问识 问思 问会评分析问题互探问题课内教学探究问题解决问题互纠问题课后练习解决问题感悟问题互评问题检测反馈反思问题互评学教模式操作路径图本课题主要从师生在“学和教”的过程中针对学生知识学习过程中的的一系列问题（预习中的学习问题、课堂中的探究能力问题、课后作业知识性问题
14、、检测反馈理解思维方法问题等）通过双边互动互评在师生“欲问”、“探问”、“识问”、“思问”过程中培养学生分析问题、解决问题、反思问题的能力。主要研究内容包括课前预习、课内教学、课后练习、检测反馈四方面的师生互动和互评。1问题预设互寻：研究指导学生进行提出问题，主要方向是创造环境让学生“生疑”，即创设“欲问”情境。主要内容有等“陷阱”式、“放大”式、“倾听”式等。2课堂教学互探：构建和谐互融、互探的民主课堂，让学生主动参与和体验，还学生时间收获一份精彩。主要研究内容有学生自主探究、同伴研修、师生共探等。3课后作业互纠：开展学生作业自我纠正、同伴互纠、教师互激等互批作业式。重要内容有同伴作业互纠机
15、制、学生作业目标机制、学生作业打分机制等。4师生阅卷互评：开展互评式阅卷并对暴露出得问题进行分析、研讨、反思和跟踪。主要内容有知识问题跟踪制、思维能力互碰制、技能与方法互评制等研究。（四）研究目标我们希望通过研究达成以下两个目标：1通过课前师生互寻研究使学生会提出问题，课堂教学师生互探研究使学生学会探究问题，课后作业师生互批研究使学生学会解决问题，反馈检测师生互思研究使学生学会反思问题。2通过本课题的研究，构建“提出问题-探究问题解决问题反思问题”四问四环节互评学教模式。（五）创新之处本课题主要的创新在于采取“师生课前问题互寻、课内教学互探、课后练习互批、检测反馈互议”的四问四环节互评模式。充
16、分发挥学生在知识学习过程中的主体性，进而促使学生在体验的过程中提升学业水准。四、操作实践（一）寻问题预设互寻教师如何培养学生的“问题意识”，即如何培养学生发现会提出数学问题的能力？课题组认为，“问”的前提是“疑”，首先教师要创造环境让学生“生疑”，即创设“欲问”情境。除了学生通过自己自学而“生疑”外，教师的设疑是教学过程中的一种重要手段，而教师的设疑主要手段是通过课堂提问。为了解学生在生疑环节中到底存在哪些问题，课前教师首先必须设置一些用于诊断的问题进行“问诊”，而后再想方设法让学生“生疑”，进而提出数学问题，所有这些环节都必须遵循以下三个原则。预设问题应科学性：在教学中，预设是必要的。因为教
17、学首先是一个有目标、有计划的活动，教师必须在课前对自己的教学任务有一个清晰、理性的思考与安排，但同时这种预设是有弹性的、有留白的预设。我们的“预设”要从教师的“教”走向学生的“学”，更多地为学生的“学”而“预设”。预设问题应生成性：新课程下的课堂是开放、互动、创新的统一，师生是一条船上的舵手和水手，但此去前进的方向是未知世界的旅程，多元而有界。师生都渴望发现意外的通道却不强求遵循固定的路线。而只有源于高质量的精心预设，才能出现柳暗花明的精彩生成。预设问题应发展性：富兰克林有一句名言：垃圾是放错了地方的宝贝。在一切为了学生的发展的新课程理念下，课堂生成的一个情境、一个问题、一个信息乃至一个错误都
18、是宝贵的教学资源，对于这些教学资源，教师必须迅速地做出相关检索，进行有效分类，对于有效的生成性资源，适时进行价值引领，让学生充分展示思维过程，显露资源中的“闪光点”，顺着学生的思路将“合理成分”激活。1. 精心预设错误蕴含价值。爱因斯坦也曾经说过：提出一个问题往往比解决一个问题更重要。在教学中要培养学生的发现意识，当学生在学习中出现错误时，我们可以利用错误，适时给学生创设一个自主探究的问题情景，让学生自主地发现问题、解决问题。很多错误是可以预见的。教师在备课时，应该预设到学生在学习的过程中可能出现的错误并充分呈现出来，以此为重点展开教学，让学生在“尝试错误”的活动中比较、思辨，从“错误”中寻找
19、真理。链接4-1：设置“陷阱”，提高识错能力。为了让学生明白“过圆外一点必定可作两条切线”，我提出问题：已知圆外一点P（2,2），求过点作圆的切线，求切线方程。学生根据相切条件，很快就求出一条切线方程。由于学生刚刚接触这方面的知识，几乎没有一位学生发现这道题解答不完整，于是我问：“过圆外一点可作几条切线？” 学生异口同声回答“两条！”这时，学生又说：“为什么我们只求出一条呢？”带着错误，通过学生独立思考、热烈讨论，找出了错误原因，得到了正确的结论。“课堂陷阱”教学法的基本过程：在备课时要充分估计学生容易出现错的误地方，并有针对性设置错误陷阱题在课堂上通过错误陷阱题诱使学生充分暴露错误学生通过回
20、答问题、练习、实验等出现错误正误反差，形成强烈的刺激和纠错欲望在恰当时机教师指出答案错误开展活动，讨论出错的原因等总结错误，形成理性认识 “陷阱”式纠错小结：数学教学中设“陷阱”，是针对学生由于某些数学概念、法则、定理、公式等方面理解不够深刻全面而表现在判断、论证、计算及解决问题上的失误现象，有的放矢地选编一些颇具迷惑性的题目，借以考查学生对知识的理解和掌握的程度，使学生在“陷入”和“走出”误区的过程中，吃一堑长一智，从而提高学生的纠错能力。2.放大错误激发认知冲突。学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“
21、观念冲突”作为必要的前提。有效帮助学生纠正错误，教师就应十分注意如何提供或创造适当的外部环境来达到这个目的。在教学中，当学生出现意外错误时，老师不是回避或者遮盖，更不是轻描淡写一带而过，而是将错就错，在序构建，引导他们从正反不同角度去修正错误，给他们一些研究争论的时间和空间，从而让学生在争论中分析、反驳，在争论中明理，在争论中内化知识。链接4-2：构设错析课，提高识错能力。已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 。分析：在学生作业中，学生做此题出现了以下两种错误：错解一、因为对a0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。错解二、，所以z的最小值是。错解分析：解一等号成立的条件是相矛
22、盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。正解：z=，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当时 有最小值,所以当时z有最小值。错析课小结：教师要有意识地把学生一段时间以来学习某一部分知识所犯的错误记录下来，分类整理，以备错析课之用。教学时教师首先有目的地给出错例，让学生探索错因，指出错处，师生共同纠错。其次，师生共同解答某个问题，教师预测学生易犯错误之处有意解错，看看学生能否发现，了解学生解题的警觉程度。第三，让学生独立练习，最后教师总结发生错误的原因。为避免学生解题时少犯错，不犯错，教师应针对各类错误，制定相应的对策，解决问题。3.引发碰撞错误产生智慧。课堂教学是一个动态生成的过程，学生的学习错误
23、具有不可预见性，而这样的错误又往往是学生思维的真实反映，蕴含着宝贵的“亮点”，让学生充分展示思维过程，探求其产生错误的内在因素，则能有针对性地展开教学，有利于学生的自主建构。由于学生的知识经验和思维方式的不同，学生的学习成果也必然是丰富多彩的，其中也包含着一些错误的观点和想法。抓住和利用这些多样化的学习成果，引导学生积极地投入学习活动，能有效地促进学生的学习。链接4-3：如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅垂面内，已知飞机的高度在海拔10000m，速度是180km/h，飞机先看到山顶的俯角为，经过420s后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度。（取，）解法1：由正弦定理，在Rt中，又，代入
24、，得，因此，山顶海拔高度为2650米。我讲完上述解法后，问学生是否有其它解法，有学生提出解法2：因为，在Rt中，,所以，代入，得因此，山顶海拔高度为1000米。课堂对有争论的解法进行讨论，提出释疑，终于有学生发现最后一步的小小瑕疵而落下巨大的差异！学生讨论探究活动基本过程： 对象过程 活动学生教师激发动机产生积极、探究的学习心理激发学生探究的意识和学习的热情确定目标探究发现错误指导总结错误归因学生自主活动阅读分别进行细读、精读设疑、集疑、布疑分析观察、思考、实验演示、指导讨论思、听、议、疑组织讨论，及时进行启发和引导反馈收集小组讨论结果提供产生相似错误的信息自结错误原因和防范策略进行理性的引导
25、和个别指导教师导析分析、思考、对比重点、疑点、错点分析讲解反思总结反思自我认知、学习过程与结果组织讨论探究情况评价在课堂中，教师要善于激疑，提出问题引起讨论，让有疑问的同学登台当众演示，想错的同学才恍然大悟，从而留下深刻印象。同时，在探讨、合作研究中，不仅全面提高了学生的知识理解、操作技能，纠正了学生的错误思维，而且还培养了学生在操作时的协作意识。4.善于倾听让“错误”变“美丽”。错误的价值有时并不终于错误本身，而在于通过师生的活动促进相互的发展。课堂教学中的错误，对学生来说是一次很好的锻炼机会，对老师来说有时简直就是一次机遇，正确应对，妥善处理，能够锤炼教学艺术，提高自身专业水平。“教育成功
26、的秘密在于尊重。”面对学生的错误，首先要做的就是倾听，了解其内在的想法，有时学生的思维角度、思维方式和思考过程比错误的答案本身更有价值，学生犯错的过程其实也是一种尝试和创新的过程，从这个意义上说，“错误”也是一种“美丽”。曾有人说过：“教室学生出错的地方”。错误是伴随着学生一起成长的。教师要有“容错”的气度，经常以学生的眼光看待他们自己的错误，甚至欣赏这些错误，当好课堂教学的组织者、引导者，给学生创设一个宽松、和谐的思考空间。我们应更多地关注学生的情感体验，从课堂教学出发，正确引导学生对错误分析、评价，从错误中领略成功，实现学生由“失败者”向“成功者”的转变，让学生在评错、纠错的过程中感受到学
27、习的成功和快乐。链接4-4： 倾听与赏识学生错误解绝对值不等式是一堂高三文科的复习课，老师在引入后进行绝对值不等式的性质的复习，让学生理解性质后，进行变式训练（一）以巩固性质，其中有这么一题：解不等式：【师】：请你们思考，可用哪些方法来解这题？（五分钟后）【生】：（板演过程）：解：当时，12x-x1解得：x0当时，12xx1，解得x1 当时，无解当x时综上所述：原不等式的解为【师】：很好！你用的是分类讨论思想，必须注意保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。【生】：我还有不同的解法：（学生边说边板演过程）表示数轴上一点x离开原
28、点的距离， 表示数轴上一点x离开1表示的点的距离X 0 1 0 x 1 x 0 1 图（1） 图（2） 图（3）由图形可知有三种情况：图（1）：点x在点0左边，得； 图（2）：无解； 图（3）：点x在点1左边，得综上所述：原不等式的解为或【生】：（许多人）答案怎么不一样啊！【师】：你们认为哪一种方法正确？（进行检验，教室里出现了议论声）老师引导学生对两种方法都进行检验。学生还是没有发现问题。（老师也表现出一种没发现问题的样子）【生】：5分钟后还是疑惑不解的样子。【师】：请你们回忆一下绝对值的定义。表示什么意义？表示什么意义？【生】：（思考后）= 表示数轴上一点x离开表示的点的距离的2倍。（教室
29、里出现了掌声）【师】：非常好！数学是非常严谨的事情，我们心须认真对待数学中的每一个细节和问题，每一步低推理都要有依据。你能完成过程吗?【生】：完成解题过程。【师】：变式训练（二）：对于xR恒成立，求a的取值范围。【案例反思】这两种解法反映出两种不同的教学思想。在解法一中，学生运用分类讨论思想来解不等式，并引导学生掌握分类运用讨论思想的注意事项。在解法二中，学生运用定义法和数形结合法来解不等式，但出现了问题，而这个问题是学生在学习过程中经常出现的（学生找不出错误的原因），老师没有急于说出正确答案，而是让学生去分析到底是哪一种方法出现了问题。这样让学生对这两种方法解不等式又进行了一次复习。在学生确
30、定是第二种方法出现了问题之后再让学生去寻找错误的原因。从而使学生认识到错误，防止学生下次再出现同类型的错误。我们教师就应该拥有一双“赏识”的眼睛，要善于因势利导。它能够重新扬起学生自信的风帆，使他们勇于面对自己的错误、勇于认识自己的错误、勇于在错误中学习和成长。在心理学中，也有“试误”的理论，就是说学生的学习过程是一个尝试错误的过程，从而让他们经历错误后，得到正确的知识，这个知识点内化了，将永生难忘。同时，从新课标的“经历”、“体验”和“感悟”的角度说，对于经历了错误的学生就会产生深刻的体验，感悟到的解题的思路和方法，会受益终生的。因此，教师一定要善于赏识“走入误区”的学生。以前，在我的课堂教
31、学中，学生探究时一犯错误，我就急于把他们引上“我”的教学思路上去，或者是直接告诉他们做的不对。现在想想，真是有可能“抹杀”了一个“爱迪生”啊！因此，在今后的教学中，我一定要学会善于赏识学生。（二）探课堂教学互探当一个人在行为得到外界的肯定时，其行为会得到固化和积极的迁移；当其行为得到否定或轻视时，往往会削弱相应的行为倾向。一个成绩差或自信心不足的学生，对教师和同学的反馈信息往往较其他同学要敏感，当他们鼓起勇气第一次提出自己的问题时，教师尤其要重视，挖掘提问中的积极因素，努力提高学生提问的胆量。教师除了创设鼓励学生大胆提出数学问题的环境外，还要在平时教学过程中注意激励学生的思维批判意识，包括对课
32、本、参考材料乃至对教师本人提出的数学问题提出大胆的质疑。教之道在于“导”。新的数学课程标准是在“以学生发展为本”的理念下，要求教师转变课堂教学方法，从而要求学生也转变学习方式，师生之间要多开展讨论，交流，探究，学生原本是有思想的，课堂教学应当是鲜活的，作为教师-课堂教学的掌舵人，要学会“导”。在教学设计时，首先注意到了两个支点的支撑必不可少，不仅要对“知识生成过程”进行整合，凝缩，拓广，而更应对学生的思维方式进行梳理，使学生的思维能感悟，升华出“问题”的本质 ，也就是说，既要得到“鱼”，更要学会“渔”，否则学生只获得了知识，技能，技巧，只能解决一个个孤立的数学问题，而不能获得问题解决的本质（数
33、学思想方法与策略），更不能获得一般的数学研究方法（模型的应用），其次，在课堂上，要敢花时间，有耐心地引导学生的思维进行探究活动，切实体验数学问题的解决和创造的历程，达到“悟道”与反思后的升华，并最终推进学生思维的螺旋上升，这里面都与教师课堂教学中的点拨、启发“导艺术”息息相关。学生学习数学，不能单靠简单的模仿与“对号入座”的练习，没有两个支点作支撑，没有学生思维的螺旋上升，要想取得“双基”与“创新”双赢的局面，只能是“水中月”，“镜中花”，可望而不可及！1.师生互探链接4-5：杨辉三角的类比推理教学案例【课本练习题预热】：观察下面的“三角阵”，试找出相邻两行数之间的关系。 1 1 1 1 2
34、1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 10 4545 10 112 34 5 67 8 9 10师：如果把它的结构改为如右上图排列，请问它有哪些规律？生1：每行的数构成公差为1的等差数列，第一行一个数，第二行两个数，（停顿）并且数阵呈直角三角形，自上而下数字越来越大。师：同学们，你们最关心这个数阵会求哪些问题？生2：第行的第一个数是多少？最后一个数又是多少？生3：第行的各数之和是多少？前行的各数之和是多少？师：要解决这些问题的关键是什么呢？【过了两分钟左右的时间】生4：抓住数列的通项公式来解决，【上黑板写出】满足利用叠加法即可求得从而得到第行最后一个数为。师：很好！还有其它不一样的方法吗
35、？【这里放手让学生探索解决问题的方法，让学生自己纠正，调整解题思路，教师只要在一旁及时点拨即可】生5：也可以先求第行最后一个数，再求第行第一个数，因为第行最后一个数即为前行数字个数之和从而得到第n行首位数为也可由第行最后一个数加1得到。生6：我认为没有必要，只要知道末位数（或首位数）和项数即可求得第行各数之和【也在黑板上写出】师：嗯，很不错，很灵活！那如何求第2009行的第100个数呢？生6：只要知道第2009行的第一个数再加99即可。师：那2009位于第几行的第几个数？生6：当时，得2009位于第63行倒数第8个数。【至此，课堂中各种涉及到的问题，那些思维快、基础好的学生可以带动思维慢、基础
36、差的学生，创造良好的课堂学习氛围，使学生的思维更加活跃，探索热情更加高涨。】师：我们来简单小结一下，解决“三角数阵”问题的关键是什么？归根结底，解决问题的本质是什么？生7：注意数阵中数的排列规律，各行、各列所构成数列的特征，以及行与行，列与列之间的联系。（1,1）（1,2）（2,1）（1,3）（2,2）（3,1）（1,4）（2,3）（3,2）（4,1）生8：我认为关键是充分挖掘数阵所提供的信息，通过观察，分析，归纳，猜想转化为等差、等比数列的求通项，求和问题。师：到底是不是这样呢？下面，我们改变一下“三角数阵”的排列规律，在由如图所示实数对组成的序列中，规律是什么？生9：两数之和相等的“实数对
37、”放在同一行，且他们的和比行数大1.生10：每行的“实数对”的个数分别为实数对的第一个数与它所在的列数相同。师：那第2009个数对是什么？生11：第2009个数对位于第63行的第56个数位置上，即数对为（56，8）。【到了这里，学生通过类比，数形结合，借助于数阵的直观，从一维数阵推广到二维数阵，已经接近“水到渠成”的境地了。教师接下来的事，就是将学生的思维不断地引入深入，挖掘出解决问题的“模型”。】35 69 10 1217 18 20 24师：将集合所有元素按从小到大的顺序排成如图所示的三角形数阵，那么第2009个数是多少？生12：【上黑板写出】把数阵中各数写成的形式，便于寻找规律： （1,
38、0）（2,0）（2,1）（3,0）（3,1）（3,2）（4,0）（4,2）（4,3）（4,3）如果把指数抽出来，构成数对，可以写成从而得到第2009个数在数对阵中位于第63行第56列，对应的指数为（63，55），所以第2009个数为【这是班里数学成绩比较好的一个学生，由此可见，我们的数学课堂教学只要把学生的思维活动放在主体地位，放手让学生探究，教师点拨，启发，引导为辅，加强师生互动，努力让学生走在探究的前头，多角度，多渠道，纵向稍挖深度，横向广取联系，突破难点，不断鼓励学生去超越别人“未曾走过的路”， 而不是停留在口头与口号上。】师：至此，我们借鉴高一学过解函数应用题的一般模式，给出解“三角数
39、阵”的一般模式（水到渠成的意境）：实际问题数学模型可用结果解模这样的探索过程不仅是对学生思维能力的加强与巩固训练，且思维力度呈螺旋上升态势，同时对学生深刻认识归纳推理的抽象度（即一般化的程度）也很有帮助。2.学生自探解数学题，即是实现问题条件与目标的转化，始终想着目标，围绕目标，进行变换，要抓住条件，紧扣目标，广泛联想，全面考虑问题，注意思维的广阔性，多角度多侧面地思考问题，若从一个方面看问题思路受阻，就应调整观察分析问题的角度，从另一个侧面思考问题，从不同的方向探索思路。根据题目的难易程度把题分成三类：基础题、能力题、创新题。三者之间的联系如右图所示：（1）基础试题善挖本质古语云：授人予鱼，
40、不如授人予渔。这句话用在高中的数学教学中是最恰当不过的，让学生掌握好的学习方法，学会学习才是教育教学的关键。数学教学中应强调对基本概念基本思想的理解和掌握，对一些核心的概念和基本思想要贯穿高中数学教学始终，帮助学生逐步加深理解。数学演绎推理是数学思维的基本方式，演绎推理是基于逻辑规则的推理，只要前提正确，经任子朝老先生曾说过：“不能借口能力考查和理论联系实际而弱化、淡化基础知识、基本理论”。所以高三教学，仍以夯实基础知识为首要任务。链接4-6：基础试题问题设计案例1：（08浙江）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 问题分析：有些同学见到求的长，第一直觉就是设出直线方程，列方程组
41、求解，由于方法的选择不对，运算很繁琐，运算量很大，最终还不一定做对，浪费大量的精力和时间。如何透过现象问本质显得相当重要。问题1：本题考察何知识点问题2：椭圆如何定义问题3；涉及椭圆的焦点问题是如何解决问题的问题4：问题解决；只需抓住椭圆这个模型，问题便轻松解决了。在解决这个问题的推理中，首先根据“为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点”构造一个模型，画出图形。把聚焦到,根据椭圆的定义得到： ，从而，得到=8。思维障碍分析：本人开始想用利用弦长公式直接求解但考虑计算量大最终放弃。案例2；抛物线 y = 4 x2上的一点 M 到焦点的距离为1, 则点 M 的纵坐标是( ) (A) (B) (C)
42、 (D) 0问题设计：问题1：本题考察何知识点问题2：图形如何画出问题3：抛物线“是什么”定义问题4：定直线是？准线问题5：M与F 距离为：MF = MB =1问题6：M纵坐标是? y0 = MA解决问题：y0= MB-AB= 1- 思维障碍：利用两点间的距离公式直接求解本题反思：数学演绎的推理本质是以结论为目标，对前提进行模型建构和表征，在这些模型中通过模型搜索，模型组合寻找和构造与数学概念事实相匹配的典型模型系列，从而得出正确答案。但若知识掌握不全，基础不夯实，推理无从下手，俗话说的好：熟能生巧。所以在高三的数学教学中，切忌过分的追求复习进度或解题技巧而忽视基础知识，一切好题、新题都是在基
43、础知识的基础上进行深化，创新，要嬴的高考，首先基础必须挖掘问题的本质。（2）能力创新试题善自问问题学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。常用数学思想有：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。善于观察 心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最
44、初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能让题说话，最终确定解题思路，找到解题方法。虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。链接4-7：能力创新试题问题设计案例1：已知都是实数，求证 问题1：观察不等式两边的外表
45、形式都与根号有关，根号的几何背景是什么？问题2：本质考察的能力是什么？命题者的出发点是什么？证明 不妨设如图121所示，则 在中，由三角形三边之间的关系知： 当且仅当O在AB上时，等号成立。 因此， 思维障碍：很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。善于联想 联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到
46、的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。链接4-8：能力创新试题问题设计案例2：在中，若为钝角，则的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定问题设计： 问题1：三角形中三个角有何联系？问题2：钝角C如何利用？角C与A、B有何联系？问题3：三个三角函数中选择哪个函数？问题解决：此题是在中确定三角函数的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式可得下面解法。解 为钝角，.在中且故应选择（B）思维障碍分析：有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。善于转化数学家G . 波利亚在怎样解题中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那
