《寿命不确定下的消费.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《寿命不确定下的消费.doc（12页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、寿命不确定下的消费贺菊煌作者工作单位：中国社会科学院数量经济与技术经济研究所联系电话：68463380E-mail：hejuhuang寿命不确定下的消费内容提要 本文讨论寿命不确定下个人消费决策的方法。在指出前人方法的缺陷以后，提出了2种新方法：预期余年法和期望效用下的期望收支平衡法。本文强调：个人消费优化决策的目标函数与约束条件在逻辑上要保持一致；寿命不确定下的消费决策必须动态化，因为它所依据的余年概率分布随年龄而变，使得每次决策的结果中，只有头一年（或头一期）的优化消费有实际意义，其他的没有意义。关键词 不确定寿命，余年概率分布，不确定寿命下的消费决策方法Consumption under
2、 Uncertain LifeAbstract: this paper discusses the method for individuals to make decision on consumptions under uncertain life. After pointing out the short comings of prior methodologies in this field, this paper proposes two new methodologies: the expected remaining life method and the expected ba
3、lance between income and expenditure method. This paper emphasizes that the objective function for individual consumption decision should be consistent in logic with constraining conditions. The consumption decision under uncertain life must be dynamic, because the probability distribution of remain
4、ing life, on which the consumption decision is based, changes with age. As a result, only the first year (or first period) optimization consumption is meaningful, and the remainder does not have real significance.Key words: uncertain life, probability distribution of remaining life, method to make c
5、onsumption decision under uncertain life 前言在许多经济问题的研究中，个人消费的跨时优化占有重要地位。这就涉及如何处理个人寿命的问题。在需要考虑人口结构的经济模型中，这个问题尤其突出。在现有的关于个人消费跨时优化的模型中，对于人的寿命主要有以下三种假定：1）确定的无限寿命。即假定人们永远不死。2）不确定的无限寿命。即假定人们无论已经活了多久，在未来任何时期的死亡概率永远小于1。3）确定的有限寿命。即假定人们在某个确定的较大年龄以前，死亡概率为零；在到达这个确定的较大年龄以后，死亡概率为1。我们从经济科学研究的实践中认识到，以上三种假定离实际很远或较远，不
6、能满足某些经济问题研究的要求，需要采取以下更切合实际的假定：4）不确定的有限寿命。即人们有一个最大可能年龄；在到达最大可能年龄以前，在每个年龄上都有一个大于0小于1的死亡概率，而且除了婴幼儿阶段和少年阶段，死亡概率随年龄的增大而增大；在到达最大可能年龄以后，死亡概率为1。在消费的跨时优化中引入不确定有限寿命，是为了适应人口结构进入经济模型的需要。许多经济问题的研究涉及人口结构问题；例如人口变动对储蓄率的影响、社会养老保险、遗产规模等问题的研究，都涉及人口结构问题。在经济模型中引入人口结构，起码需要引入分年龄的人口死亡率；这就意味着个人寿命的不确定性。所以，在消费的跨时优化中引入不确定有限寿命，
7、是人口结构进入经济模型的逻辑延伸。本文关于消费决策方法的研讨仅限于不确定有限寿命。为了集中精力解决最基本的问题，本文假定个人消费计划不受流动性约束，不考虑人寿保险，不故意留遗产。一、寿命不确定的含义和描述 寿命不确定就是个人死亡时间（年龄）不确定。有关的描述指标如下。（1）生命表。就是分年龄的死亡率表。令x表示人的年龄，N表示最大可能年龄，表示年龄为x者的死亡概率。则有：当，；当x=N，。 （1）（2）存活概率。令表示x岁者到岁还活着的概率（简称存活概率），则有： ； （2）（3）余年概率分布。令表示x岁者死于x+岁的概率（简称余年概率）,则有 （3）不难证明， (4)与之间有以下关系: (5
8、)（4）预期余年。令表示年龄为x者余年的期望值（简称预期余年），则有 （6） 死亡概率、存活概率、余年概率、预期余年都随年龄而变。下面图1和图2是根据我国1990年生命表（见本文附录）画出的一些存活概率曲线和余年概率分布曲线。图1中从左至右的曲线依次是0岁、20岁、50岁、70岁者到x岁还活着的概率。图2中从下至上的曲线依次是0岁、50岁、70岁者死于x岁的概率，这3条曲线各自下面的面积等于1。图1 零岁、20岁、50岁、70岁者 图2 零岁、50岁、70岁者到x岁还活着的概率 死于x岁的概率余年概率分布曲线的完备性（每条余年概率分布曲线下的面积等于1）使它成了寿命不确定下消费决策的基础。余年
9、概率分布曲线随年龄而变，要求消费决策动态化。二、文献述评 关于寿命不确定下消费决策理论的研究虽然早在20世纪60年代就已出现，但是到目前为止，有关的文献还很少。 雅里（Yaari，Menahem）1965年的文章“不确定寿命、人寿保险和消费者理论”，是这方面最早、最有影响的文献。该文在消费者行为上区分了留遗产和不留遗产两种情况；在消费决策环境上区分了人寿保险可得和不可得两种情景。该文的主要贡献是明确了寿命不确定下期望效用的含义，给出了正确的计算公式，并且把它作为消费决策的目标。在不留遗产的情况下，雅里的期望效用公式如下： (7)式中，EV(c)表示期望效用的主观现值； 表示生存时间的上限；p(
10、t)表示在时刻t死亡的密度（满足）；表示 在时刻t还活着的概率；a(t)表示在时刻t的主观贴现因子；c(t)表示在时刻t的消费；g表示即时效用函数。式（7）设计合理，含义清楚，后来研究寿命不确定下消费决策的学者普遍把它作为分析的基础。哈德（Hurd，Michael D.）1989年的文章“死亡风险和遗产”，是这方面研究的另一重要文献。他的主要工作一是对目标函数中遗产的作用作了适当的设定；二是考虑了有无流动性约束对消费决策的影响。 布兰查德和费希尔在其宏观经济学中提出的“永葆青春模型”，也是这方面研究的重要文献。他们把不确定寿命下的消费纳入了宏观经济模型之中，有重要的理论意义。我发现，这些文章都
11、存在这样的逻辑缺陷：个人寿命的不确定性在目标函数中得到了合理的反映，在约束条件中则没有得到反映。在约束条件的设定上，这些文章的作者都假定个人能够活到生命的上限，排除了随时死亡的可能性。在个人消费不受流动性约束、不考虑人寿保险、不故意留遗产的条件下，他们的消费决策方法如下： （8）式中，x表示年龄，N表示年龄上限；表示年龄为x者到岁还活着的概率；c表示消费，u表示效用函数；表示时间偏好率；r表示资产收益率；表示x岁时的资产，y表示非资产收入（以下简称劳动收入）。为了简便，此后我们把（8）所描述的消费决策方法称为“单纯期望效用法”。假如即时效用函数为， (9)则（8）的解如下： （10） （11）
12、其中 （12）以上消费决策方法所产生的消费路径具有“动态一致性”：一次计划产生的消费路径与逐年（或逐期）计划产生的消费路径相同。限于篇幅，其证明从略。对于这种消费决策方法，我有以下2点批评。1） 式（8）中，个人寿命的不确定性在目标函数中得到了反映（其中含有存活概率），在约束条件中则没有反映（其中不含存活概率）。后者意味着个人一直活到生命上限N，完全排除了随时死亡的可能性。这说明：这种消费决策方法存在逻辑不一致的缺陷。2） 当x处于非高龄阶段、而x+处于高龄阶段时，存活概率的值很小，因此（10）（12）所决定的消费在高龄阶段的值也就会很小。这显然远离实际。下面，我们对式（8）进行数值解。假定：
13、个人20岁开始工作，65岁退休；工作期每年的劳动收入为1，退休期每年的退休金为0.65；即时效用函数为，j=2；时间偏好率q为每年1.5%；资产收益率r为每年2% 或5%；个人在不同年龄的死亡概率如中国1990年生命表所示；个人20岁时的资产为零。在这些假定下，式（8）产生的个人消费路径和资产路径见图3。 图3 单纯期望效用法产生的个人消费路径和资产路径图3中，cL、vL表示资产收益率r取2%时的消费路径、资产路径，cH、vH 表示资产收益率r取5%时的消费路径、资产路径。此图表明：1）个人消费在高龄阶段严重偏低：当r=2%时，90岁的消费仅为20岁消费的0.26倍，95岁的消费仅为20岁消费
14、的0.09倍！2）资产路径远离实际。当r=2%时，个人资产在几乎整个生命期为负，当r=5%时，个人资产在生命后期为负，显然都远离实际。单纯期望效用法得出的结论之所以远离实际，原因在于它的目标函数与约束条件在逻辑上不一致。 笔者1998年和2004年提出了消费决策的2种新方法：1998年的文章“消费函数研究”提出了以预期余年作为消费优化区间的方法（后来称为“预期余年法”）；2004年的文章“寿命不确定下的消费决策”提出了“余年分析法”。这2种方法保持了目标函数与约束条件之间逻辑上的一致性，得出的结论比较符合实际。其中预期余年法简明易懂，计算工作量小，下面就详细介绍它。三、消费决策的预期余年法1、
15、模型为了克服上面所述单纯期望效用法的缺点，这里介绍另一种消费决策方法：预期余年法。这种方法是用一个“预期余年”（余年的期望值）代替许多个可能的余年；个人每年在预期余年下建立跨时效用函数和跨时预算约束条件，从中求解最优消费。此方法最早见于笔者1998年的文章“消费函数研究”。在此方法下，年龄为x者当年的最优消费由以下优化问题解出： （13）式中，表示x岁者的预期余年，q表示时间偏好率，表示x岁时的资产，r表示资产收益率，y表示劳动收入，c表示消费，u（c）表示即时效用函数。简言之，这种消费决策方法是先用(6)求余年的期望值，然后用(13)求优化消费。假定，则（13）关于c（x）的解为 （14）其
16、中 2、模型的基本性质：动态性式（13）所描述的消费决策方法以预期余年作为跨时优化的区间。由于预期余年随年龄而变，以此为基础的个人消费决策必须是动态的跨时优化决策。也就是说，消费优化决策必须逐年做：个人在x岁时，以预期余年为优化区间决定x岁的优化消费；如果活到岁，就要以预期余年为优化区间决定岁的优化消费。3、数值模拟假定模型参数与前面的相同：人们20岁开始工作，64岁退休；工作期每年的劳动收入为1，退休期每年的退休金为0.65；个人即时效用函数为，j=2；时间偏好率q为每年1.5% ；20岁时的资产（）为零；资产收益率r为每年2% 或5%；个人在不同年龄的死亡概率如中国1990年生命表所记。在
17、这些假定下，我们首先用预期余年法计算个人20岁的最优消费；然后假定他在21岁时仍然活着，按公式计算他21岁时的资产，再用预期余年法计算他21岁的最优消费。如此依次计算到103岁。这样产生的个人消费路径和资产路径见图4。图4 预期余年法产生的个人消费路径和资产路径图4中，cL、vL表示资产收益率r取2%时的消费路径、资产路径，cH、vH 表示资产收益率r取5%时的消费路径、资产路径。当r=2%时，90岁的消费为20岁消费的0.74倍，95岁的消费为20岁消费的0.71倍，比较符合实际。个人资产始终非负，也符合实际。4、与单纯期望效用法比较现在，把预期余年法的数值解与前面所述的单纯期望效用法的数值
18、解作一比较。为此，把图3和图4合到一起，见图5。图5 预期余年法与单纯期望效用法的比较图5中，c1、v1表示单纯期望效用法产生的消费路径、资产路径，c2、v2表示预期余年法产生的消费路径、资产路径；L表示资产收益率取2%，H表示资产收益率取5% 。从图5我们看到：1）预期余年法产生的消费路径的数值范围是（0.65，1.41），同工资水平1、退休金水平0.65对比，这样的消费量比较符合实际；单纯期望效用法产生的消费路径的数值范围是（0，1.41），其中老龄阶段消费很低，同退休金水平0.65对比，这样的消费量不符合实际。2）预期余年法产生的资产路径非负，比较符合实际；单纯期望效用法产生的资产路径有
19、的几乎全为负（当r=2%），有的老龄阶段为负（当r=5%），都不符合实际。这2点说明，预期余年法比较符合实际，单纯期望效用法不符合实际。四、消费决策的另一种方法：期望效用下的期望收支平衡法单纯期望效用法的缺点，还可以用另一种方法克服：以“期望消费现值等于期望收入现值”作为约束条件，取代单纯期望效用法中的“消费现值等于收入现值”这个约束条件；目标函数仍然取期望效用。这样的消费决策方法可称为期望效用下的期望收支平衡法。1、模型这种消费决策方法的要点是：以个人未来效用主观现值的期望值最大为目标；以个人未来消费现值的期望值等于个人未来劳动收入现值的期望值加现有资产为约束条件；这些期望值的计算都以余年概
20、率分布为依据。在此方法下，年龄为x者当年的最优消费由以下优化问题解出： (15)运用公式(5)，式（15）可简化如下： （15）式中，表示x岁者死于x+岁的概率，表示x岁者到岁还活着的概率，q表示时间偏好率，r表示资产收益率，表示x岁时的资产，y表示劳动收入，c表示消费，u（c）表示即时效用函数。假定，则（15）关于c（x）的解为 （16）其中 2、模型的基本性质：动态性式（15）所描述的消费决策方法以余年概率分布为基础。由于余年概率分布随年龄而变，以此为基础的个人消费决策必须是动态的跨时优化决策。也就是说，消费优化决策必须逐年（或逐期）做：个人在x岁时，以x岁的余年概率分布为依据决定x岁的优
21、化消费；如果活到岁，就要以岁的余年概率分布为依据决定岁的优化消费。3、数值模拟下面，我们对式（15）进行数值解。参数和求解方法与上一部分相同。求解得到的个人消费路径和资产路径见图6。图6 期望效用下的期望收支平衡法产生的个人消费路径和资产路径图6中，cL、vL表示资产收益率r取2%时的消费路径、资产路径，cH、vH 表示资产收益率r取5%时的消费路径、资产路径。当r=2%时，90岁的消费为20岁消费的0.74倍，95岁的消费为20岁消费的0.72倍，比较符合实际。个人资产始终非负，也符合实际。4、与预期余年法比较 现在，把期望效用下的期望收支平衡法的数值解同预期余年法的数值解作一比较。为此，把
22、图4和图6放到一起,情况见图7。 图7 期望效用下的期望收支平衡法同预期余年法的的比较图7中，c3、v3表示期望效用下的期望收支平衡法产生的消费路径、资产路径，c2、v2表示预期余年法产生的消费路径、资产路径；L表示资产收益率取2%，H表示资产收益率取5% 。此图表明:期望效用下的期望收支平衡法消费决策结果与预期余年法消费决策结果很接近，二者几乎没有差别。从适应性看，这2种消费决策方法有以下差别：预期余年法适用于连续寿命和个人生命分期较细（例如按年分期）的离散寿命，但不适用于个人生命分期较粗的离散寿命。期望效用下的期望收支平衡法既适用于连续寿命，又适用于离散寿命（无论分期的粗细）。 从计算工作
23、量看，预期余年法工作量小，期望效用下的期望收支平衡法工作量很大。从这一点说，预期余年法有较大的实用价值。五、简短的结论 总结本文的分析，有以下结论：（1）雅里等人对于寿命不确定下消费决策方法的研究，既有重要贡献，又有重大缺陷。重要贡献在于：明确了寿命不确定下期望效用的含义；把期望效用作为消费决策的目标函数，合理地反映了寿命不确定性对效用的影响。重大缺陷在于：他们在约束条件的设定上，假定个人能够活到生命的上限，排除了个人随时死亡的可能性。这样的消费决策方法得出的结论远离实际：在个人消费不受流动性约束、不考虑人寿保险、不故意留遗产的条件下，个人消费在高龄阶段严重偏低；尤其是当资产收益率接近时间偏好
24、率时，个人资产在几乎整个生命期为负。 （2）笔者提出的2种关于寿命不确定下消费决策的新方法“预期余年法”和“期望效用下期望收支平衡法”，具有逻辑上的一致性，得出的消费路径和资产路径比较符合实际。 （3）期望效用下的期望收支平衡法产生的结果与预期余年法产生的结果很接近；但在求解的工作量上，后者比前者小得多。所以，预期余年法具有较大的实用价值。 （4）寿命不确定下的消费决策必须动态化，因为它所依据的余年概率分布随年龄而变，使得每次决策的结果中，只有头一年（或头一期）的优化消费有实际意义，其他的没有意义。附录 中国1990年生命表（分年龄的死亡概率表）年龄死亡概率年龄死亡概率年龄死亡概率年龄死亡概率
25、年龄死亡概率00.03289210.00121420.00299630.02211840.1574410.00561220.00125430.00326640.02437850.1733920.00298230.00129440.00356650.02686860.1910030.00197240.00131450.00390660.02960870.2104440.00144250.00134460.00427670.03261880.2319050.00113260.00137470.00468680.03591890.2556060.00092270.00139480.00514690.
26、03954900.2818070.00078280.00142490.00566700.04351910.3107080.00069290.00145500.00622710.04787920.3426090.00063300.00149510.00685720.05264930.37942100.00060310.00153520.00755730.05785940.41896110.00060320.00159530.00832740.06355950.46270120.00063330.00165540.00917750.06977960.51110130.00068340.001735
27、50.01011760.07654970.56465140.00074350.00182560.01115770.08392980.62392150.00081360.00193570.01229780.09194990.68951160.00089370.00205580.01356790.100641000.76212170.00096380.00220590.01495800.110061010.84250180.00103390.00236600.01649810.120241020.93150190.00110400.00255610.01819820.131231031.00000
28、200.00116410.00276620.02005830.14307资料来源：中国统计年鉴1995第7071页。表中斜体数字是我们根据死亡概率拟合曲线推算的。主要参考文献布兰查德、费希尔.宏观经济学中的“永保青春模型”，经济科学出版社，1992年。贺菊煌(1998). 消费函数研究，数量经济与技术经济研究1998年第12期。贺菊煌(2004). 寿命不确定下的消费决策,数量经济技术经济研究2004年第12期。Hurd, Michael D.(1989). Mortality Risk and Bequests, Econometrica Vol 57, n4(July 1989):779-813.Yaari, Menahem(1965). Uncertain Lifetime, Life Insurance and the Theory of the Consumer, Review of Economic Studies, Vol 32(1965):137-150.
