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1、实二次型与实对称矩阵的定性分析摘 要： 本文以矩阵理论在二次型理论中的应用为基础,重点讨论了正定矩阵、负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵的若干等价命题,并给出详细的证明,得到了一些有一定价值的结论.关键词： 实二次型； 实对称矩阵； 正定矩阵1 引言数域上一个元实二次齐次多项式:可表示成矩阵形式:其中是由的系数构成的实对称矩阵.反之,若是数域上阶实对称矩阵,则可得上的一个元实二次型.所以,数域上元实二次型与数域上阶实对称矩阵一一对应.因此要研究实二次型,只要研究该实二次型的矩阵即可.事实上, 实二次型的等价分类问题与矩阵的合同分类问题本质上是同一个问题.设实二次型,是实对称矩阵,若对于任意的实非
2、零列向量有,则称和是正定的;若对于任意的实非零列向量有,就称和是负定的;若对于任意的实非零列向量有,就称和是半正定的;若对于任意的实非零列向量有,就称和是半负定的;若存在两个实向量和,使和则称是不定实二次型,便是不定的.2 实二次型性质的简单分析2.1 线性替换实二次型经过非退化线性替换化为标准形实二次型的上述过程相当于在实二次型的矩阵表示式中,对于实对称矩阵通过寻找一个可逆矩阵,使.2.2 正定实二次型的有关结论（1） 正定实二次型经过实满秩线性替换后仍为正定实二次型.（2） 实二次型是正定的充分必要条件是(3) 元实二次型正定的充分必要条件是的正惯性指数为.2. 3 负定实二次型的有关结论
3、(1) 负定实二次型经过实满秩线性代换后仍为负定实二次型.(2) 实二次型是负定的充分必要条件是(3) 元实二次型负定的充分必要条件是的负惯性指数为. 2. 4 半正定实二次型的有关结论 的正惯性指数等于实二次型的秩.2. 5 半负定实二次型的有关结论 的负惯性指数等于实二次型的秩.3 实对称矩阵的等价条件和证明3.1 正定矩阵设是实对称矩阵,则以下命题等价(1) 是正定的;(2) 的正惯性指数等于矩阵的阶数;(3) 合同于单位矩阵;(4) 存在可逆矩阵,使;(5) 的所有顺序主子式全大于0,特别地的行列式大于0.证明 : 由于是正定矩阵,所以二次型正定.设元实二次型经过非退化线性替换变成.正
4、定当且仅当正定,而我们知道实二次型是正定的当且仅当.即正惯性指数为,且矩阵的秩为.: 设元实二次型所对应的系数矩阵为,的正惯性指数为,则经过非退化线性替换变为规范形式,所以与单位矩阵合同.: 与单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,使.: 因为,其中是可逆矩阵,所以是正定矩阵,则所对应的实二次型是正定二次型.对于每一个令,我们来证明是元的正定二次型对于任意一组不全为零的实数,有.因此是正定的,有上面的推论的矩阵的行列式.这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零.: 对作数学归纳,设,其中当时,由条件知,所以,是正定二次型,矩阵对应是正定矩阵.假设上述论断对于元实二次型已经成立.现在来证元的情形,令,于是矩阵
5、可以分块写成,既然的顺序主子式全大于零,当然的顺序主子式也全大于零.由归纳假设,是正定矩阵.换句话说,有可逆的级矩阵,使,这里代表级单位矩阵. 令于是 再令 ,于是令就有,再两边同时取行列式条件,因此,显然 这就是说,矩阵与单位矩阵合同,因此是正定矩阵.3.2 负定矩阵根据定义: 设负定, 任给,且.有于是,同时也为实对称矩阵,因此得（）是正定矩阵.设是实对称矩阵,则以下命题等价(1) 是负定的;(2) 的负惯性指数等于矩阵的阶数;（）的正惯性指数即为的负惯性指数）(3) 合同于（）;（由,即得）(4) 存在可逆矩阵,使;(5) 的所有顺序主子式满足:,特别地.（）的阶主子式即为）证明 : 由
6、于是负定矩阵,所以二次型负定.设元实二次型经过非退化线性替换变成负定当且仅当负定,而我们知道二次型是负定的当且仅当.即负惯性指数为,且矩阵的秩为.: 设元实二次型所对应的系数矩阵为,的负惯性指数为,则经过非退化线性替换变为规范形式,所以与负单位矩阵合同.: 与负单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,使.: 因为,其中是可逆矩阵,因此是正定矩阵,故的一切顺序主子式全大于零,从而,即且有.: 对作数学归纳,设,其中.当时,由条件知,所以当时, ,因此是负定二次型, 对应矩阵 是负定矩阵.假设上述论断对于元二次型已经成立.现在来证元的情形,令,于是矩阵可以分块写成,既然的顺序主子式全大于零,当然的顺序主子式
7、也全大于零.由归纳假设,是负定矩阵.换句话说,有可逆的级矩阵,使,这里代表级单位矩阵.令于是再令, 令就有其中再两边同时取行列式由条件,因此,即,所以且有这就是说,矩阵与负单位矩阵合同,因此是负定矩阵,或者说是负定的.3.3 半正定矩阵设是实对称矩阵,(1) 是半正定的;(2) 正惯性指数等于秩;(3) 存在可逆矩阵使得;(4) 存在实矩阵,使得;(5) 的所有主子式都大于或等于0.证明 : 实对称矩阵一定合同于对角矩阵（其中r为A的秩,p为A的正惯性指数）即,若,令,其中则一定有,也就是:,且.这与为半正定矩阵矛盾,于是得.即得证.: 由上面的证明得, ,且,即得证.: 由, 只要令,即得,
8、且易见为阶实矩阵.: 若存在,使得,则任取,有,设,由的任意性可知,矩阵是半正定矩阵.: 令取,令.由矩阵的半正定性知:,也即,记且 是任意的,于是得是半正定的,则据结论3有: ,.两边取行列式得:,因此,而正是矩阵的任意阶主子式.至此得证.: 考察矩阵的阶顺序主子式 ,任给.而,为的全部阶主子式和.由结论（5）,又,所以,且是任意的,于是的所有顺序主子式大于0,从而是正定的.再者,为任意大于0的数,即得:任给一实非零列向量,必有成立.（否则,若存在实非零列向量,使得,那么只要取使之满足,就有成立,与是正定的矛盾）由此可知, 是半正定矩阵.3.4 半负定矩阵由定义,任给,有 从而,即（）为半正
9、定矩阵.比较可得如下等价判别条件:设是实对称矩阵,(1) 是半负定的;(2) 的负惯性指数等于秩;（）的正惯性指数即为的负惯性指数（是的正惯性指数）;(3) 存在可逆矩阵使得,.也即为 ,;(4) 存在实矩阵 ,使得;(5) 的所有主子式都大于或等于0.证明 : 由于实对称矩阵一定合同于对角矩阵,（其中为的秩,为的负惯性指数.）即,若,则,令,.则一定有,也就是:,且这与为半负定矩阵矛盾,于是得.即得证.待添加的隐藏文字内容2: 由上面的证明得,即则,且,即证.: 由,得 .只要令,即得,且易见为阶实矩阵.: 若存在,使得,则任取,有,设,由的任意性可知,矩阵是半负定矩阵.: 设半负定,则应是
10、半正定矩阵,由半正定矩阵的性质知的所有主子式都大于或等于零.: 考察矩阵的阶顺序主子式,对于 ,有,为的全部阶主子式的和.由条件（5）知,又,所以,且是任意的,于是的所有顺序主子式大于0,从而是正定的.再者,为任意大于0的数,即得任给一实非零列向量,必有成立.（否则,若存在实非零列向量,使得,那么只要取使之满足,就有 成立,与是正定矛盾）由此可知, 是半正定矩阵,故是半负定矩阵.4 应用例1 实二次型是_二次型.解 方法1: 任找两点(1,0,0)和(1,0,-2)代入,得,所以是不定二次型.方法2: 设二次型的系数矩阵是,则,由,而中有二阶主子式,可得是不定二次型.例2 为何值时才能使二次型
11、为正定的.解 二次型的矩阵为由于有一个二阶主子式故知无论为何值,二次型都不能是正定的.例3 判断二次型是否为正定二次型.解 该二次型的矩阵 , 的 阶顺序主子式 , 该二次型是正定二次型.例4 证明设是实对称矩阵,证明（1）当正实数充分大时,是正定矩阵;（2）当正实数充分小时,是正定矩阵;证明 (1)首先,由于是实对称矩阵,故对任意的实数,显然也是实对称矩阵.其次,令,为的顺序主子式,它们都是首项系数为1的实系数多项式,于是由分析学知,对充分大的正实数,可使.因此对充分大的正实数,可使为正定矩阵.(2)由于对任何正实数,都有.而当充分小时,为充分大的正数,因此由(1)知为正定矩阵,从而为正定矩
12、阵.例5 证明若实对称矩阵的特征根均在闭区间上,则当时, 是负定矩阵; 则当时, 是正定矩阵.证明 设阶实对称矩阵的全部特征值为,设的全部特征值为,则,由知,当时,则有,.所以为负定的.当时,则有,.所以为正定矩阵.参考文献：1杨子胥. 高等代数习题集M. 济南：山东科技出版社,2003,390507.2钱吉林. 高等代数解题精粹M. 北京：中央民族出版社,2002,.224,227,255.3北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编. 高等代数M. 高等教育出版社,1987,.232236.4秦少青. 二次型与实对称矩阵的正定性J. 晋东南师范专科学校学报,2002（5）：759.5杜琦.
13、有关实对称矩阵的若干问题J.华东师范大学学报,2004,5658.6李伟. 二次型判别的一个方法J. 合肥学院学报(自然科学版),2006,12.16卷.7李桂荣. 高等代数习题的方法研究M. 香港亚太经济出版社.8徐丽媛,孟道冀. 关于实对称矩阵的惯性定理J. 2007,10.21卷10期.9李永乐,李正元. 数学复习全书一（理工类）M. 国家行政学院出版社,2006,427.10RogerA.Horn.Topics inMatrix AnalysisM. 北京民邮电大学出版社,2005.Analysis for Properties of Real Quadratic Forms and
14、Real Symmetric MatrixesAbstract: On the basis of applications of matrix theory to quadratic form theory, this paper mainly discusses and proves in detail some propositions equivalent each other on positive definite matrixes, negative definite matrixes, semi-positive matrixes and semi-negative matrixes, and obtain some valuable results.Key words: Real quadratic form; Real symmetric matrix; Positive definite matrix
