小波变换及在图像压缩中的应用硕士学位论文.doc

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1、硕 士 学 位 论 文小波变换及在图像压缩中的应用学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，

2、可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日摘 要小波分析是上个世纪八十年代初发展起来的新兴数学分支，它无论是对数学，还是对其他应用学科都产生了深远的影响。小波分析的出现，是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结晶。图像压缩是小波分析中十分重要的一个应用，目前小波分析在图像压缩中的应用已经十分广泛。本文所作的主要工作具体如下： 在第二章中主要讨论了有关连续小波变换的几种不同定义，分析其联系，然后举了一些常用的连续小波例子，并通过定义验证了Haar和Mexican帽为基小波；给出了一种基于卷积的基小

3、波的构造方法，并证明之；证明了尺度函数和多分辨分析(MRA)产生的半正交小波是基小波。详细的介绍了双正交多分辨分析；研究了图形显示算法，推导了二维情形的图形显示算法，并实现了一维情形的图形显示算法。 在第三章中探讨了在图像压缩中小波滤波器选取的原则；研究了矩阵法构造小波滤波器的方法，对其前提条件进行总结，研究了如何确定滤波器长度与消失矩的阶数，以此构造出几种小波；对各种滤波器进行小波编码的仿真实验，实验表明新小波的性能很好。 在第四章中讨论了有关图像压缩的一些问题，讨论了JPEG、WSQ、EZW等算法；最后采用小波分解与矢量量化结合的压缩方法，在分裂法产生初始码书的过程中充分考虑小波分解的特性

4、，采用合适的参数进行分裂，并在编码搜索码字的时候考虑人眼对低频部分敏感而对高频部分不敏感，从而对误差采取加权的形式，这样在一定程度上可以保证重要的低频部分误差得到控制。关键词：容许小波；连续小波变换；小波滤波器；小波编码；图像压缩。 AbstractWavelet analysis is a new branch of mathematics developed from earlier 1980s, it has far-reaching influence not only on mathematics but many other application fields. The emer

5、gence of wavelet analysis is the result of a multidisciplinary effort that brought together many intersect fields. Image compression is an important application of wavelet analysis, now the application of wavelet analysis on image compression is very popular. The main work is as follows: In chapter

6、2, the author discusses several definitions of CWT, tells the difference and relation between them, then gives some common example, and prove Haar and Mexihat to be basic wavelet. One method for constructing basic wavelet based on convolution is put forward, and is proved; the paper proves that wave

7、let produced by scaling function and MRA is basic wavelet. Detailed knowledge of biorthogonal multiresolution analysis is introduced; and studies Interpolation graphical display algorithm(IDGA), derived the 2-deminision case of IDGA, and then give an implemented example of IDGA. In chapter 3, princi

8、pia for choosing wavelet filter in image compression is discussed; the paper studies the matrix method of constructing wavelet filters, summarize some precondition, make how to confirm the length and vanish moments of filters, and construct some new filters with it; at last experiments for wavelet c

9、oding is done using kinds of filters, and the result show that the new wavelet filters have good performance. In chapter 4, some issue of image compression as well as JPEG, WSQ, EZW are discussed; and then the author use the wavelet decomposition and vector quantization for image coding, considering

10、 characteristic of wavelet decomposition, use an appropriate parameter to split when producing initial codebook. When searching codeword we use weighted error to control the error of low frequency part for human eyes are sensitive to the low frequency part and not sensitive to high frequency part.Ke

11、ywords: admissible wavelet; continuous wavelet transform; wavelet filters; wavelet coding; image compression目 录摘 要IAbstractII目 录III第一章 绪 论11.1引言11.2图像压缩11.3小波变换编码的优越性21.4本文的主要工作2第二章 小波分析的基本理论42.1连续小波变换42.2离散小波变换102.3多分辨分析112.4 双正交多分辨分析132.5图形显示算法及其实现162.6小结19第三章 小波基的选取及构造203.1小波基选取原则203.2构造小波滤波器的矩阵方

12、法223.3矩阵法构造滤波器的一些条件253.4具体小波的构造263.5小波编码中滤波器选取仿真293.6小结32第四章 小波变换在图像压缩中的应用334.1小波编码的基本框架334.2标量量化与矢量量化344.3误差的度量354.4常见的图像压缩算法354.5基于小波树结构的矢量量化压缩算法434.6小结46第五章 总结与展望47参考文献48第一章 绪 论小波分析是上个世纪八十年代初发展起来的新兴数学分支，它无论是对数学，还是对其他应用学科都产生了深远的影响。小波分析的出现，是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结晶。1.1引言上个世纪八十年代初，Morlet和Arens等人首次提出了“

13、小波”的概念。小波分析的出现和发展，源于许多不同科学领域信号处理的需要。作为一种数学工具，小波分析已广泛应用于信号分析、图像处理、数值分析等方面，而这些应用中产生的问题进一步激发了人们研究小波分析的兴趣。由此，带来了小波分析的迅速发展。小波分析主要研究函数的表示，即将函数分解为“基本函数”之和，而“基本函数”是由一个小波函数经伸缩和平移而得到的，这个小波函数具有很好的局部性和光滑性，使得人们通过分解系数刻画函数时，可以分析函数的局部性质和整体性质。小波分析出现之前，人们用Fourier基、Haar基来分解函数。Fourier基具有很好的光滑性，但局部性很差；而Haar基的局部性虽很好，但光滑性

14、很差。小波基却兼有它们的优点。在信号分析中，由于小波变换在时域和频域都有很好的局部特性，因此在数据压缩与边缘检测方面，小波分析是一种非常有效的方法。 小波分析正在处于迅速发展之中，从事小波分析的人越来越多，随着研究的进一步深入，小波分析还将更加广泛和深入地应用在理论数学、应用数学、信号处理、图像处理与分析、语音识别与合成等方面。1.2图像压缩在人类认识自然、改造自然的科学探索与实践中，信息扮演了至关重要的角色。特别是二十世纪中叶以后，随着计算机科学的迅猛发展，信息科学与计算机科学紧密结合，相互促进，其地位与日俱增。当今的人们已普遍意识到，未来的时代就是信息时代。一般的，信息需要通过媒体来进行记

15、录、传播和获取。最终要的信息媒体包括文字、图像、声音等人们能感知到的，或微波、激光等人们无法感受的。其中，图像是最常见的信息存载和表现形式，它不仅十分直观，而且内涵非常丰富。图像作为信息的载体具有数据量非常大的缺点。例如，一副512512象素、8bit/pixel的灰度图像占256KB，一副512512象素、8bit/pixel的彩色图像则占3256768KB；一副229121908bit的气象卫星红外云图占4.90MB，而一颗卫星每半个小时可发回一次全波段数据(5个波段)，每天的数据量高达1.2GB。另外电视会议数字化的视频图像需要很宽的传输带宽以及巨大的存储容量。视频大致以每秒30帧的速率

16、传输，将达到90Mbps的数据传输率。由此可见，无论基于存储还是传输考虑，图像数据的压缩都是十分必要的。当前，图像压缩被认为是一种“开放技术”。由于现代图像传感器不断提高空间分辨率以及电视广播标准的不断发展，图像压缩已经成为一种基本技术，在许多重要且性质不同的领域中扮演着主要角色，比如，电视会议、遥感（使用卫星成像进行天气预报和其他地球资源的应用）、记录文献和医疗成像、传真（FAX）、军事上的远程遥控车辆驾驶、空间中的危险废弃物管理等方面。简而言之，不断扩大的应用领域依赖于对各种图像进行有效的处理、存储和传输。1.3小波变换编码的优越性长期以来，图像压缩编码利用离散余弦变换(DCT)作为主要的

17、变换技术，并成功的应用于各种标准，如JPEG，MPEG-1，MPEG-2。但是，在基于DCT的图像变换编码中，人们将图像分成88象素或1616象素的块来处理，从而容易出现方块效应与蚊式噪声。小波变换是全局变换，在时域和频域都具有良好的局部化性能，而且在应用中易于考虑人类的视觉特性，从而成为图像压缩编码的主要技术之一。基于小波变换的图像编码与经典的图像编码方法相比，至少具有如下优点：(1) 小波变换本质上是全局变换，重建图像中可以免除采用分块正交变换编码所固有的“方块效应”。(2) 小波变换采用塔式分解的数据结构，与人眼由粗到精、由全貌到细节的观察习惯相一致，这是将WT(wavelets tra

18、nsform)与HVS(human visual system)的空间分解特性结合起来以改善图像压缩性能的有利条件。小波变换比经典的变换(DCT)更符合人的视觉特性，通过合理的量化编码产生的人为噪声比同样比特率的JPEG方法产生的影响要小的多。(3) 小波变换式图像的时-频表示，具有时间-频域定位能力，并可实现图像中平稳成分与非平稳成分的分离，从而可对其进行高效编码。因此，小波变换用于图像压缩时，除具有时-频局部化分析方法处理非平稳信号的固有长处外，还体现在它具有易于与HVS相结合的潜力上。目前，基于小波变换的图像压缩算法JPEG2000已经成为新一代的图像压缩标准。这能够说明小波变换在图像压

19、缩编码中的应用。1.4本文的主要工作本文主要研究了小波的基本理论及在图像处理中的应用。讨论了小波的基本理论，小波滤波器的构造，小波分析在图像压缩中的应用。第二章主要讨论了有关连续小波变换的几种不同定义，分析其联系，然后举了一些常用的连续小波例子，并通过定义验证了Haar和Mexican帽为基小波；给出了一种基小波的构造方法，并证明之；证明了尺度函数和多分辨分析(MRA)产生的半正交小波是是容许小波。研究了图形显示算法，推导了二维情形的图形显示算法，并实现了一维情形的图形显示算法。第三章探讨了在图像压缩中小波滤波器选取的原则；研究了矩阵法构造小波滤波器的方法，对其前提条件进行总结，以此构造出几种

20、小波。对包括新小波在内的各种滤波器进行小波编码的仿真实验，实验表明新小波的性能很好。第四章讨论了有关图像压缩的一些问题，讨论了JPEG、WSQ、EZW等算法；最后采用小波分解与矢量量化结合压缩方法，在分裂法产生初始码书的过程中充分考虑小波分解的特性，采用合适的参数进行分裂，并在编码搜索码字的时候考虑人眼对低频部分敏感而对高频部分不敏感，从而对误差采取加权的形式，这样在一定程度上可以保证重要的低频部分误差得到控制，以得到较好的恢复图像。第五章对全文进行了总结并展望。第二章 小波分析的基本理论2.1连续小波变换在小波的许多著作中，连续小波的定义并不是很统一，本节讨论了几种连续小波的定义，分析它们的

21、联系和区别；然后举了一些常用的连续小波例子，并通过定义验证了Haar和Mexican帽为基小波；给出了一种基于卷积的基小波的构造方法，并证明之；证明了尺度函数和多分辨分析(MRA)产生的小波是基小波；最后简要讨论了连续小波重构、性质及应用。1、 连续小波变换的定义定义1 如果满足“容许性”条件：，那么称是一个“容许小波”或“母小波”。关于一个基小波，在上的连续小波变换或积分小波变换定义为，容许条件是为了确保小波逆变换可以进行。定义1中的条件似乎稍弱，如果和都是窗函数，则基小波可以给出有限面积的时间-频率窗。另外是一个连续函数，则有；而是窗函数表明 ，这样可以得到定义2。定义2 如果满足“容许性

22、”条件：，那么称是一个“基小波”，也称“容许小波”。关于一个基小波，在上的连续小波变换或积分小波变换定义为，注：基小波属于，在理论上会对判定函数是否是基小波产生困难。定义3 如果满足如下两条要求 是连续的且呈现指数衰减即，对某些常量C，M 的积分为零即则定义函数的小波变换为，定义3中的衰减条件和积分为零条件可以推出定义2中的容许性条件，而定义2中，可推出是一个连续函数，所以由容许性条件中的有限性可以推出，或者等价地有，这就是称为“小波”的原因。2、 连续小波的例子例1 Haar小波证明：=故(t)是一个基小波。例2 Mexican帽小波(t)= (1t) 证明：令，则=（）=故是一个基小波。例

23、3 Morlet实小波图1.1.1-1.1.3分别为Haar小波、Mexihat小波、Morlet小波的图形： 图1.1.1: Haar 图1.1.2: Mexihat 图1.1.3: Morlet例4 Morlet复值小波-例5 复高斯小波例6 复香农小波 图1.1.4: 复Morlet小波实部 图1.1.5: 复Morlet小波虚部3、 连续小波的构造定理1 设是一个基小波，且，那么对任意，有也是一个基小波。证明：（1）首先证明是上的有界函数：即存在一个正整数M，使得|M。（2）于是，也是一个基小波。例7 设是Haar小波，g是具有紧支的连续函数，则是一个基小波。比如，很明显|，此时(Ha

24、ar小波为基小波)因此，为基小波。引理1 是由尺度函数和多分辨分析生成的半正交小波，则（j, kZ）是的Riesz基。引理2 设是可分Hilbert空间H中的一列向量，则下述命题等价： 是H的Riesz基； 是H的框架，且是线性无关的。定理2 由尺度函数生成的半正交小波是基小波。证明：由引理1可知尺度函数成生的半正交小波得到的是的Riesz基，而由引理2可知是上的框架。即生成的一个框架，而框架一定满足二进小波的稳定性条件，那么它必定是一个二进小波，而一个二进小波必然是一个基小波。这样，就证明了通过尺度函数和多分辨分析生成的小波是基小波。推论 Meyer小波与Daubechies小波以及样条小波

25、都是基小波。因为Meyer小波和Daubechies小波都是由尺度函数和多分辨分析产生的正交小波，样条小波是半正交小波，因此根据定理2它们都是基小波。4、 连续小波的重构及性质连续小波变换的重构公式为：具体证明参见文献4。从连续小波的定义知道，任何信号的连续小波变换是一个关于的二元函数，但是具体信号的连续小波变换的表达式一般说来是相当复杂的。下面介绍连续小波的重要性质： 线性：一个多分量信号的小波变换等于各分量的小波变换之和。 平移不变性：若的小波变换为，则的小波变换为。 伸缩共变性：若的小波变换为，则的小波变换为 ， 自相似性：对应不同尺度参数和不同平移参数，连续小波变换之间是自相似的。 冗

26、余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。这种冗余性主要表现在2个方面： 连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的。 小波变换的核函数存在许多可能的选择，如他们可以是非正交的小波、正交小波、双正交小波、甚至允许是彼此线性相关。小波变换在不同的之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此小波变换的冗余度应该尽可能的减小。5、 具体信号的连续小波变换例8设，基小波取为Harr小波，则时，信号连续小波变换。仅从此例就可以体会到，在具体应用中，不同信号的连续小波变换是很复杂的，文献11给出了门函数、单边指数函数、阶跃函数等信号在给定小波基下的连续小波变换的表达式，并且做出了相应的三维图形。下

27、面给出了两个具体信号的连续小波变换的图形。左边的信号除了明显的奇异点外均比较光滑，而右边的信号存在较多的奇异点，小波变换对奇异点是很敏感的。图1.1.6: 连续小波变换的例子，纵轴表示，横轴表示b。一般计算连续小波变换都采用数值计算的方法：设，取步长为，令，则。上式可以用快速卷积运算来完成。卷积运算可以在时域完成，也可以在频域里通过FFT来完成。6、 连续小波的应用小波分析的最初是在工程应用中发展起来的，是工程应用与数学结合的结晶。小波变换是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数和信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题，被

28、誉为“数学的显微镜”。现在连续小波变换已经广泛地应用于时频联合分析、去噪、特征提取、地质勘探、涡流、力学等领域。比如在去噪中，连续小波变换具有较大的冗余性，对于去噪和数据恢复是十分有利的，而冗余对图像压缩是不利的，图像压缩中需要的是无冗余的正交小波；小波对信号的奇异点十分敏感，对突变信号的分析非常有效，因而在故障检测和边缘检测中，连续小波是很有效的，文献15也表明连续小波变换具有比传统的二进小波更好的检测能力，非常适合于故障检测；而复小波能够提取有关相位信息，因而可以实现包络分析处理；后面介绍的离散小波变换的各个尺度的小波分量的系数就是信号在各尺度下的连续小波变换，因此，可以这样说，几乎所有小

29、波分析的应用都与连续小波变换有关。2.2离散小波变换1在实际应用中，需要将连续小波离散化。这里的离散是指将连续小波和连续小波变换离散化。在连续小波中，考虑函数 ，是容许的，在离散化时，总限制取正值，这样离散小波变换的容许条件就变为：当离散化时，即，则得到离散小波为 从而离散小波变换表示为：其重构公式为：为一与信号无关的常数。这样，我们将信号分解为不同尺度与平移参数的小波分量之和。如果还有一个对偶，它们一起满足双正交条件，则系数 是的连续小波变换在第尺度与第平移处的值。所以，连续小波变换与离散小波变换是不可分离的。实际应用中，通常用卷积形式的小波变换，对于函数，在尺度上的卷积小波变换记为这时容易

30、计算的连续小波变换的傅立叶变换。2.3多分辨分析关于多分辨分析，我们先给出一个三层分解的结构图如图2.3.1所示，其中A表示低频部分，D表示高频部分。图2.3.1 三层多分辨分析的树结构D1SA1D2D3A2A3 从图2.3.1的多分辨分析的树结构图中，可以看出，多分辨分析只是对低频空间进一步分解，使频率的分辨率变得越来越高。下面我们分析多分辨分析是如何构造正交小波基的。定义3：设为空间中的闭子空间序列，如果满足下面六个条件，则称为的一个多分辨分析。 单调性： 逼近性：，. 平移不变性：若，则，.，则，. 二进伸缩性：. Riesz基的存在性：存在，使得是的Riesz基，即a. (2.3.1)

31、b. 存在，使得对任意有 (2.3.2)把规范正交化得到 (2.3.3)则称为多分辨分析的一个尺度函数，为的规范正交基。设表示图2.1中分解的低频部分，表示图2.1中分解的高频部分，则是在中的正交补空间，即：，且有：从而能得到这样就把分解为互相正交的子空间。这样形成的序列具有以下两个性质： 平移不变性：若，则. 二进伸缩性：.由于，是的规范正交基，所以可以表示为： （2.3.4）其中，且，我们称为低通滤波器冲击响应。（2.3.4）式的Fourier变换为： (2.3.5)记，则（2.3.5）式表示为 .对于，它是低通滤波器传递函数，且是一个以为周期的函数，满足 （2.3.6）类似的，设，则 且

32、，同样有 （2.3.7）其中，其Fourier变换为 （2.3.8）（2.3.8）式中 且也是一个以为周期的函数，且满足 （2.3.9）由（2.3.9）式得 因此 （2.3.10）将（2.3.10）式作Fourier反变换得 （2.3.11）就是小波函数，构成的标准正交基。2.4 双正交多分辨分析在紧支撑正交小波基中，只有Haar小波的尺度函数具有对称性。在实际应用比如图像处理中，人们需要尺度函数(小波函数)具有对称性、线性相位，双正交小波基具有这种优越的特性。与正交多分辨分析不同的是，在双正交多分辨分析的框架下，尺度函数与小波函数关于时间平移参数都不是正交的。当函数与作时间平移与频率伸缩得到

33、与时，双正交要求它们与其对应的对偶函数与满足下面的正交条件：， （2.4.1）上式也称为双正交条件。定义4 若,是双正交的，其伸缩平移构成的空间： 各自形成空间的多分辨分析，则称这两个多分辨分析为由和生成的双正交多分辨分析。在双正交的多分辨分析下，双尺度方程表示为，此时形成两个多分辨空间：并且存在空间分解(但不是正交分解)，这里算子表示直接和，是在空间的补(不是正交补)，即，且。是在空间的补。同样 于是形成两个多分辨空间的分解：于是对某个j，有， （2.4.2）由双正交的定义可知，当nj时，此时，(nj)，而，所以， 同理.所以这两个多分辨空间就像“拉链”一样相互正交：第一个小波空间垂直于第二

34、个多分辨，而第二个的小波空间垂直于第一个多分辨空间，它们相互补充，最终实现完整的信号分解和重构。式子（2.4.2）表明函数与，以及与彼此正交。因此，可以假设，双正交小波的变换与正交小波的变换是一样的，不过此时有两对滤波器：()和()。我们可以选择其中一对(例如()进行小波变换，另外一对(例如()进行信号的重构，此时进行分解的滤波器称为分析滤波器，进行重构的滤波器称为综合滤波器。对于中的任意子空间，有因此，中的任意函数都存在如下多分辨表示：其中，表示的低频成分，而，l = M, , j-1表示在不同分辨率下的高频成分。与正交多分辨分析表示类似，假设已知在中的投影为，记为，根据两尺度方程，有又根据

35、双正交条件，可得到分解算法 （2.4.3）重构算法为： （2.4.4）2.5图形显示算法及其实现在信号分析中，许多情况下都需要提取弱信号，这在Fourier分析中根本不可能办到。例如，在机器故障监测与诊断中，当机器发生故障时，由于机器各零部件的结构不同，致使振动信号所包含不同零部件的故障频率分布在不同的频段范围内。如机器隐藏有某一零部件的早期微弱缺陷时，它的缺陷信息被其它零部件的运行振动信号和随机噪声所淹没。为了有效地提取弱故障信号，即提取某一弱信号，实现早期诊断，可用小波分析理论，对信号进行小波与小波包分解，把信号分解为各个频段的信号，再根据诊断的目的选取包含所需零部件故障信息的频段序列，进

36、行深层信息处理以查找机器的故障源。而小波变换中使用的Mallat塔式算法在分解过程中，随着分解层数的增大，数据点成倍减少，这样对信号的进一步分析带来不便。4中首次提出的图形显示算法可以解决这一问题。本节分析了一维信号的实例，并推导了二维情形的图形显示算法。1图形显示算法设是一个给定的多分辨分析，为相应的尺度函数，待分析信号为，为信号经Mallat算法分解j层后的低频部分的图形，为信号经Mallat算法分解j层后的高频部分的图形。对于固定的尺度j，低频部分表示为： (2.5.1)根据两尺度关系，式(2.5.1)可化为： (2.5.2)其中称为小波系数，记做：，为低通滤波器。因为，所以有：， (2

37、.5.3)则由(2.5.3)和(2.5.4)式得： (2.5.4)这时 (2.5.5)同理，高频部分的作图类似于。 (2.5.6)事实上，由两尺度关系，可表示为，其中 (2.5.7)式中为相应的低通滤波器。其它的由式(2.5.3)来计算。所以有下式成立： (2.5.8)当的系数采用直接选取法的时候，则信号经小波分解后的低频部分的图形显示算法的公式如下：， (2.5.9) (2.5.10)高频部分的图形显示算法的公式如下： (2.5.11)， (2.5.12) (2.5.13)2图形显示算法的二维情形设是一个二维分辨分析，为相应的尺度函数，待分析信号，为经Mallat算法分解得到的低频部分，为分

38、解得到的低频部分。对于固定的尺度j，可表示为：=所以 (2.5.14)此时= (2.5.15)同理可得，的图形显示算法如下： (2.5.16)， (2.5.17) (2.5.18)3. 一维图形显示算法实例现对两个普通信号进行分析，一个是混合信号如下 ，采样点256，原信号如图2.5.1. 图2.5.1 原始信号 图2.5.2 图形显示算法重构信号与分解低频信号比较对其进行小波分解，采用小波为db4，分解一层的低频信号与用图形显示算法重构的图形如图2.5.2，可以看出，用图形显示算法重构后的图形重合与低频信号的图形重合的比较好。第二个信号为Matlab自带的信号leleccum，取256个点，

39、原图像如图2.5.3. 图2.5.3 原始信号 图2.5.4 图形显示算法重构信号与分解低频信号比较分解一层的低频信号与用图形显示算法重构的图形如图2.5.4，可见，低频信号与用图形显示算法重构后的图象重合，而重构后图形点数为低频系数点数的两倍，明显更为光滑，因此更有利于信号的分析。2.6小结本章主要介绍了小波的基本理论。介绍了连续小波的几种不同的定义，分析其联系与区别；提出了一种基于卷积的基小波构造方法；证明了尺度函数和多分辨分析产生的半正交小波是基小波；简要介绍了连续小波的应用。介绍了离散小波、多分辨分析的理论，着重介绍了双正交多分辨分析。最后讨论了图形显示算法，推导了图形显示算法的二维情

40、形，并实现了图形显示算法的一维情形。第三章 小波基的选取及构造本章研究了图像压缩中小波滤波器选取的原则，比较了正交小波与双正交小波性能、双正交小波中多种不同的滤波器的性能。文26中提出构造小波滤波器的一种新算法, 这种方法避免使用Z变换或Fourier变换, 是一种非常好的构造小波的方法，第二节介绍了构造小波的矩阵方法；第三节总结研究了如何确定滤波器长度与消失矩的阶数, 第四节构造了9/11,10/10,9/15小波；最后分别在EZW和WSQ算法下研究了各种小波滤波器的性能。实验表明新小波的性能很好。3.1小波基选取原则S.Mallat曾经说过，在数据压缩、信号去噪及快速计算等大多数小波应用中

41、，主要利用小波基可以用较少非零小波系数去有效逼近实际函数的能力，选择小波基应该是以最大量的产生接近于零的小波系数为最优。我们知道小波基的这种能力主要依赖于其数学特性：消失距、正则性、紧支性、对称性和正交性等。本节从讨论小波基的这些性质出发，给出了选择小波基应该考虑的数学因素。 消失距定义3.1 小波函数具有m阶消失距(Vanishing Moments)，如果直接从消失距的定义可以推知，m阶消失距意味着小于m次的多项式与小波内积作用的结果都是零。由数学分析的知识我们知道，一般光滑函数都能用多项式来刻画(Taylor展开)，因此小波的消失距越高，光滑函数在小波展开式中的零元就越多(实际小波变换中

42、，严格为零的小波系数也很少，但大多数小波系数都在零元附近，显然消失距越高，零元附近的元素比例就越大)。以下有关消失距的结论是等价的： 具有m阶消失距，即。 若在处k次连续可导，且 若在次k次连续可导，且 这个条件也可以说成：在点有m重零点。任意光滑函数可以用尺度函数在每一个尺度上作逼近，其逼近阶是，即，且的小波系数具有衰减阶，即。 多项式可以由尺度函数表示：，。由此可见，小波基的消失距特性本质上决定了该小波逼近光滑函数的能力，因此在应用中，我们总希望选择消失距比较高的小波基。 正则性正则性一般用来刻画函数的光滑程度，正则性越高，函数越光滑。通常用Lipschitz指数来度量函数的正则性。定义3.2 与Lipschitz指数有关的定义如下：I函数在点具有局部Lipschitz指数()，如果存