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1、目 录中文摘要1英文摘要21引言31.1库存论的简单介绍31.2 本文的主要目的52模型的基本前提72.1 假设72.3 出发点和公式73 总量数量折扣的价格方案（一般的价格折扣方案）94 增量数量折扣的价格方案115 数值实例及灵敏度分析165.1 数值实例165.2 灵敏度分析17结论20谢辞21参考文献22总量折扣与增量折扣的对比研究摘要：本文假设市场上只有单一制造商和单一零售商，研究制造商应该怎样制定价格折扣方案以及为什么制定这样的价格折扣方案使得供应链联合成本最小的问题。我们分别从增量折扣和总量折扣的角度出发导出了两个不同的价格折扣模型：总量折扣模型和增量折扣模型。制造商通过采用这样
2、的价格折扣方案，能够诱导追求成本最小化的零售商改变其订货策略。本文还证明了制造商无论采用总量折扣或者增量折扣都能使零售商增加订购批量至理想水平，从而使得供应链系统的联合成本最低。关键词：总量折扣，增量折扣，联合成本，订购批量Abstract: This paper works out the problem of why and how a manufacturer should adopt a pricing discount policy to minimize the joint costs with only one manufacturer and one retailer in t
3、he market. We develop two different pricing discount models based on all-units quantity discount and incremental quantity discount. By using the pricing discount policies the manufacturer can induce the retailer, who wants to minimize its costs, to change its ordering strategy. This paper also demon
4、strates that manufacturers whether using all-units pricing discount or incremental discount can make retailers increasing order batch to the expected level, which makes the joint costs of supply chain system lowest . Keywords: all-units discount, incremental discount, the joint costs, ordering quant
5、ity 1 引言1.1库存论的简单介绍 库存理论是现代管理科学的一个重要分支，它的原理主要是研究合理的库存数量，一方面既要避免不必要的积压，另一方面也应避免不应有的短缺，所以它有很重要的使用价值。我国在物资管理方面，挤压和短缺都在不同程度上存在着，尤其在积压方面比较严重，所以应用库存理论，通过数理化的方法，需求合理的库存量，从而减少积压数量和避免短缺，去提高物资和现金的流通速率，节省成本。在管理科学和现代化的管理中，一个重要的手段是定量化或者数字化的问题，即一个问题的性质和大小都要用数字来表示，也就是我们平时所说的“凭数据说话”，而不是凭概念、经验笼统的做出定性化得决策。研究合理的库存量也是这
6、样的。我们可以看几个典型的库存问题。问题一，某种物品每天要供应的数量是固定的，采购一次需要支付一笔采购费，未售出时每天每件要付出库存费用，那么隔几天采购一次使得总费用最少？问题二，银行里每天随时都有可能有人前来提款。人们来不来提款、提款多少，虽然有一定的规律，但都是不确定的。银行应保持现金是最合理的呢？问题三，报童每天要到邮局去订报。订多了卖不完，将造成积压和打折扣售出的损失，订货少了不购卖，引起缺货损失，他应订几份报最合理？为了数字化的表明问题，对于讨论合理的库存，我们应考虑下列两项费用。费用一，订购费或者装配费。对于供销单位是指订购一次的费用，如使用部门的请求订购，采购部门的估价、核对、催
7、查、联络通讯、出差旅费，检查部门的进货检查，仓贮部门的验收、搬运等；对于生产单位是组织一次生产所需要做出的调整、安排应付出的装配费，如工具的安装、材料的安排、机床的调整等；这些费用只是订购或生产一次的费用，它与一次订购或生产的数量无关。费用二，库存费。通常包括：1) 利息，物资所占用资金的利息往往是库存费中的一个重要部分，因此应设法加强控制物资库存数量，加速资金周转以降低利息。我国对于这种资金的利率不完全相同。如资金的核定的定额以内是一种利率，超过定额部分又是另一种利率；又如在一定时间内的贷款是一种利率，超过一定时间是另一种利率。2) 物资库存的损耗、陈旧和跌价损失。物资存在仓库中，出了腐朽、
8、变质等耗损外，尚有因技术的发展，新产品的出现，使得原有的物资价格大大下降，甚至“一文不值”。3) 物资的税金、保险费等。4) 仓库的折旧费、保险费、通风、照明、起重、自控设备、房租、地租等。5) 仓库的内部搬运费。仓库内的整理、堆码、盘点、保养等。物资可以通过经验的方法或建立数学模型来控制其合理的库存数量。有些经验丰富的工作人员，根据长期积累的经验，能够较好控制合理的库存量。用“运筹学”的术语来讲，可以看作是不断通过“模拟”（在实践中进行模拟）和“迭代”来求得较佳的库存方法。但是，尽管如此，科学的、定量的通过数学模型来求得合理的库存数量的方法，仍是一个带根本性的重要的课题。我们可以看确定性下不
9、允许缺货库存理论的简单模型，这样有利于我们对文章本论的理解。某物资在一定时间内，为了简单明了起见，假定为一个年，市场的确定需求量是D箱，每次的订购费时A元，每箱物资的年库存费用是H元。问应每隔多长时间订货一次，每次订购多少货物，才能使得一年的总费用（订购费和存储费）最少？如果AH，那么每次订购足够多的货物而将订购周期设的长一点为宜；相反，如果HA，那么应尽量增加订购次数以减少库存量。这种模型进货和销售货物的情况如图1.1所示。途中O点的进货量为OP，均匀销售到M是已经销售完毕，然后进行下一轮订货和销售。数量QP时间TMO图1.1 货物进销图设每次的订购批量是Q，一个周期的时间是t=OM=Q/D
10、。一个周期内的存储费用就是,那么，一年内的库存费用就是，一年内的订购费用就是，则年总成本是，记为C(Q)，,由C(Q)的性质，可以求得当时，将其记为，C(Q)有最小值，就是最佳订购批量，被称为经济订购批量EOQ。我们可以进一步求出最佳订购周期.12 本文的主要目的虽然买家能够根据卖家提供的价格和自己的相关参数来确定自己的经济订购批量和最佳订购周期，但是卖方往往会出于自身的利益，去设计各种各样的方法如价格折扣、补贴等去诱导买方改变其订购策略卖家的买卖策略往往带有价格折扣方案，本论文就是在库存理论的指导下研究卖方的价格方案和买方的反应。在由制造商和零售商组成的供应链系统中，零售商最小化其成本（订购
11、成本和库存成本），从而订购自己的订购策略，即订购周期和每次的订购批量；零售商一般的订购策略选择是课本中提及的经典的EOQ（经济订购批量）模型。然而，从制造商方面看，零售商的订购批量越大，制造商的成本越低；因此，诱导零售商增加每次的订购批量就是制造商追求的一个利益最大化的一个目标。另外，如果零售商的订购批量EOQ越大，零售商的成本就会越高，为了补偿零售商的这种利润损失，制造商就必须给予补贴，他们通常采用向订购他们货物的零售商提供数量折扣（总量折扣或者增量折扣）来实现这一目的。本文假设市场上只有单一制造商和单一零售商或者一组同质（具有相同的订购策略）零售商以及制造商的变化的价格策略不会改变消费者的
12、最终需求，试图主要从占优的制造商的立场考虑，构造一种合理的价格折扣方案模型，在不增加零售商的成本基础上，该模型中的价格方案能激励和诱导零售商增加每次订购批量至一个理想的水平（最小化供应链联合成本得到），并且在这一理想的水平上，制造商的成本最低。我们在本论文中分别构造了总量折扣价格策略和增量折扣价格策略，这表明增量折扣同总量折扣一样都可以成功诱导零售商增加其订购批量，而且这些模型对参与双方的渠道协调工作有很大帮助。尽管大量文献阐释了一个零售商如何对一个数量折扣价格策略做出反应（如Hadley 1和Kuzdrall 2，Burwell Dave 3和Fitzpatrick和Rubin4以及Bent
13、on 5，但是关于一个制造商是如何构造一个价格折扣方案的文献是很少的。大多数数量折扣的讨论都或明显或不明显的假设价格折扣都是由于制造商受到大零售商的压力而被迫给定的;然而，有大量的实例可以证明制造商向一大群小的零售商提供价格数量折扣，这些小的零售商缺乏控制力去要求价格折扣。比方说，领带制造商将其产品批发给许多具有私人销路的个体户，再由他们销售给最终顾客；一个大的电子配件制造商将自己的产品分销给许多分销商。在这些情况下，一种对数量折扣的可能解释是制造商使用价格折扣策略试图去改变零售商的订购策略以实现自身的利益。通过构造一个能最小化供应链联合成本的价格方案，我们能够阐明这样一个解释的可行性。更重要
14、的是，我们显示了这两个价格方案将使得渠道参与双方的境况至少和折扣前一样好。我们是市场是均衡的，即制造商已经建立起了独立于零售商订购策略的订购单价P0，并且基于这样的价格，零售商已经有了自己的订购策略，即EOQ模型。那么，问题在于，制造商是否能够构造一个价格方案去诱导零售商改变订购策略以实现在不损坏零售商的利益下增加自身利益这一目的？文章的正文部分组织如下。在正文第一节我们给出了我们的基本假设、参数、公式以及记号，并说明我们想要构造模型的出发点；在正文第二节中，我们将用增量折扣形式来构造一个价格折扣方案；在第三节中，我们将用增量折扣模型来构造我们的价格折扣方案。2 模型的基本前提2.1 假设首先
15、，我们假设制造商的生产能力无限大并根据零售商的订货进行按需生产，以便它能够将自己的库存及时地转嫁给它的零售商，零售商在折扣前的库存策略就是EOQ模型，EOQ订购模型在基于固定的客户需求、没有积压未付款的存货、始终有存货和固定的前置时间这些前提下，决定了零售商的库存管理策略。在做出这样一个假设时，我们明显的能够意识到某些公司可能有更为复杂的库存管理策略，然而我们可以把EOQ模型看作是公司的库存策略的基本典型的代表。重要的是，这一模型正在被很多公司使用。其次，我们的模型的第二个假设是制造商对对影响零售商库存策略的相关成本一清二楚。由于在没有任何价格方案时库存和订购成本可以从零售商的订购行为中推断出
16、来，所以这并不是一个非常受限制的假设。更多的是，我们可以对模型的结果进行关于零售商成本的灵敏度分析。最后，我设零售商的库存成本比制造商的更早期的利润回报更大。2.2记号基于Dolan6和Crowther7所做的贡献，我们定义以下一些记号：零售商一年的订购成本和库存成本的和：零售商一年的采购成本、订购成本和库存成本的和：制造商的与订购数无关的年成本：制造商的与订购数量有关的年成本：供应链的联合成本，：零售商的每单位产品的年库存费用H2：制造商的资本年返还价值，表现为订购批量的一个比例：零售商每次订货的固定成本A2：制造商每次组织生产的固定成本D：产品的年市场需求量P0：在提供数量折扣前，制造商给
17、零售商的采购价格2.3 出发点和公式使用以上的假设和记号，我们有以下关系式：年订购成本+年库存成本 或者年生产固定生产成本-年投资回报 或者 或者 （2.1） 于是，基于假设，在没有价格折扣方案时，零售商根据EOQ模型来确定自身的每次订购批量是：然而，零售商的订购批量没有使得渠道联合成本最小化，令 即 由于是严格凸函数，于是我们得到了使得渠道联合成本最低的订购批量，即显然，我们有从而，我们的出发点是，制造商采用何种价格折扣方案，可以诱导零售商提高订购批量到以使得联合成本最小化。以下我们将分别构造总量数量折扣方案和增量数量折扣方案。3 总量数量折扣的价格方案（一般的价格折扣方案）所谓总量折扣就是
18、指当零售商提高订购批量时，所有采购货物的单价都降低到一定价格。若订购批量从提高到，我们可以对渠道参与双方的成本变化进行分析。我们看，是零售商的最小成本，但是确实渠道联合成本的最小值。，,也就是说，从到，变大了，和变小了。根据的定义（2.1），我们可以得出以下结论：减小的幅度大于增大的幅度，即零售商的境况变坏了，制造商和渠道的境况变得更好了。现在制造商想要成功诱导零售商增加其订购批量至，就必须补偿零售商因成本增加而造成的损失，于是制造商向提供价格折扣，下面来获得价格方案。设在时，制造商给予零售商的价格折扣是r，并且这个折扣恰好能够补偿零售商的损失。即： 于是： (3.1)这样，制造商获得的节余成
19、本比率是：这表明制造商的境况确实变好了，这个r是制造商愿意而且必须提供给零售商的最小折扣。于是，制造商的价格折扣方案可以是： (3.2)从以上的分析中，我们可以得到以下命题：在时，在避免使得零售商的境况变坏的前提下，制造商的成本实现了最小化。若制造商同时使用现金补贴x和价格折扣r去补偿零售商，那么我们有：我们可以绘制一个坐标图表示x与r的关系：rx图3.1 折扣r与补贴x的关系图足够的经济利益会有助于成功诱导零售商增加订购批量，为此，制造商有时会将渠道的成本节余与零售商均分，这时的折扣价格是4 增量数量折扣的价格方案首先，定义如下的一个增量价格折扣方案：对数量QQ0的产品要价P0，对数量Q大于
20、Q0小于等于Q1的产品有要价P1，对数量大于Q1小于等于Q2的产品要价P2，依此类推至Pn，任何数量大于Qn的产品要价Pn，并且P0P1P2Pn。我们可以令P是所有被订购产品的平均价格。于是，我们很容易去用一条曲线去描述平均价格。如图4.1：PP0P1P2P3QQ3Q2Q1Q0图4.1 增量折扣价格的平均价格示意图Dolan已经证明了，若使用以上的价格方案并且只有一个折扣价格（n=1），制造商是不可能成功诱导零售商增加每次订购批量至并且减小自身成本的。为此，我们采用一个连续可微的价格数量关系P（Q）来逼近由许多折扣价格组成的增量折扣价格方案的平均价格。P(Q)对应上面构造的平均价格，并具有以下
21、性质：都存在。一个成本最小化的零售商将发现在给定的价格清单下，选择是对自己最有利的选择。制造商提供价格折扣P(Q)后，制造商的扩增成本小于没有提供折扣时的成本。这里 (4.1)为满足以上三个条件，我们采用指数函数的价格数量关系，如下：P是平均价格，a为制造商的决策变量，a0。制造商确定给出这样的价格折扣后，零售商的反应是最小化其增广成本, (4.2)是关于Q的严格凸函数，所以局部极小值就是全局最小值，并且最小值点可令（4.2）式的一阶倒数等于零解出。即，由于制造商想要通过价格折扣方案诱导零售商将订购批量增加到,故的全局最小值应该在取得，即最小点是，设能确定获得这样结果的价格正确价格方案，所以我
22、们可以得到以下一阶微分条件： (4.3)即 (4.4)现在，我们要检验满足上式的价格方案在成功激励零售商提高订购批量至同时，是否满足，我们进行以下分析：若满足以下三个条件：零售商在没有价格折扣时，一年至少订货2次，即。提高后的订购批量小于提高前的订购批量的2.747倍，即。，.我们可以证明.由于这个结论的证明需要用到后面的相关结论，因此我们将这个结论的证明放在本章得结尾。于是有再者，由（2.1）以及相关公式，有，微分之令，并将(4.3)式代入上式，可以得到，从而，在以上构造的价格折扣基础上，在取得最小值。总的来说，这样的增量数量折扣满足了以下要求：能够诱导零售商将订购批量从提高到。制造商的扩增
23、成本确实比原来的成本低，即，并且是的最小值点。对于以上的三个条件，我们可以做以下解释：a) 零售商通过减少订购次数和每次订购足够多货物以确保成本的节余。b) 为避免制造商必须提供一个很大的折扣，使得联合成本最小的点不应比EOQ的大的太多。我们下面来探索如何获得的具体值，设，.于是，方程(4.4)变成， (4.5)价格折扣开始的点不一定非要是，我们可以将这个开始点设为，即设r是制造商补助给零售商的经济补贴，则 (4.6)其中，从方程(4.6)可解出时的平均价于是，我们有 (4.7)联立(4.5)和(4.7)，解出令r=0，可以得到, (4.8)从而，我们就得到一个增量折扣的价格方案。下面我们给出
24、证明过程，如下：证明：将(4.1)中换成，对(4.1)求关于Q的二次微分，并令，可以得到,将(4.3)或者(4.4)中关系代入上式，得到,这里.我们知道在方程(4.6)中的 =.所以从方程(4.8)中将和上面的代入到以上方程可以得到，在此，。由于和，我们可以导出，,又因为我们假设了和，所以，所以，就像我们假设的那样0.364,这样就总是有以下关系成立， 证毕。5 数值实例及灵敏度分析为了更好地说明我们的模型及其方案，我们将在本章给出具体的数值实例和相关参数的灵敏度分析，通过这些灵敏度分析，我们将可以看出一些规律。在这里我们可以设在处，总量折扣价格是,增量折扣价格是。5.1 数值实例假设现在有一
25、个柴油机生产商向同质的零售商分销自己生产的柴油机，首先给出柴油机制造商零售商的相关参数的具体值如下：没有折扣时制造商提供给零售商的价格（美元），消费市场的固定需求量（台），零售商的单个柴油机的年库存成本（美元），零售商的一次订货固定成本（美元），制造商组织一次生产的固定成本A2=30000（美元）,制造商的资本投资报酬是H2=60（美元），然后我们就可以得到以下的数值结果了，这样我们的总量价格折扣方案就是，,增量折扣方案就是，.这样，我们就给出了我们的两个数量折扣模型的具体实例了。5.2 灵敏度分析下面我们在上面提到的实例的基础上，给出相关参数的灵敏度分析。未在表中列出的数据均保持不变。a)
26、关于的灵敏度分析，见表5.1表 5.1关于的灵敏度分析数值序号r（%）（10-5）1110190744722.7295.141.50288.502105195247142.83291.51.49285.5431002000500032911.37287.92495205253453.2290.31.39286.53590210857743.47289.51.35285.54从表5.1可以看出，随着的不断减小，、r都在不断增大，而P1（ ）、P2()都在不断减小，这跟我们的直观感觉是一致的，即零售商的库存成本越高，零售商就越不可能一次订购过多的货物，零售商的订购批量越低，制造商自然就不会提高过高
27、的数量折扣了；并且，当H1变化20%时，P1（ ）的变化大约2%，P2()的变化大约1%，可见H1的小幅度变化对折扣方案的影响不明显。b) 关于的灵敏度分析，见表5.2表5.2 关于的灵敏度分析数值序号r（%）（10-5）165200053453.5289.51.49285.462602000500032911.37287.92355200047142.6292.21.40288.79450200044722.27293.171.36290.05从表5.2可以得出，制造商的投资资本回报率越高，即H2越高，制造商提高的折扣越高零售商愿意提高的订购批量上限就越高，这很符合我们的日常经验的；并且，当
28、H2变化20%时，P1（）的变化大约1.3%，P2（）的变化大约1.6%，可见H2的小幅变化对折扣方案的影响不明显。c) 关于的灵敏度分析，见表5.3表5.3 关于的灵敏度分析数值序号（104）r（%）（10-5）13244954772.8291.641.37287.7822.5223652442.86291.421.40287.5932.2209750992.93291.21.43287.6242.02000500032911.37286.53从表5.3可，随着的不断增大，、P1()、P2()不断增加，而r、都在不断减小，这是符合我们得直接感觉的，即零售商的一次订购固定成本越高，零售商就越愿
29、意提高订购批量以减少订货次数减少成本，这样制造商就能够以更小的价格折扣成功诱导零售商增加订购批量了，这就是为什么这里会有订购批量不断增减而价格折扣却不断减少的原因；并且，当H2变化20%时，P1（）的变化大约1.3%，P2（）的变化大约1.6%，可见H2的小幅变化对折扣方案的影响不明显。d) 关于的灵敏度分析，见表5.4表5.4 关于的灵敏度分析数值序号（104）r（%）（10-5）132000500032911.37286.5322.8200048992.87291.421.43287.8132.6200047962.73291.851.42288.3642.4200046902.57292
30、.291.40288.91从表5.4可以看出，制造商组织一次生产的固定成本A2越高，制造商就越希望零售商能提高其订购批量至更高的数值，表现在r和的不断增加，这对制造商减小成本是极其有利的；并且，当A1变化 30%时，P1（）变化大约0.2%，P2（）变化大约0.43%，可见A1小幅度的变化对折扣价格的影响极不明显。另外，我们比较上面的四个表的对应数值还可以发现下面两个结论：1) A1和A2的变化对折扣和价格的影响相对于和的变化对折扣和价格的影响较小。2) A1、A2以及H1、H2的各自的小范围变化对价格折扣的影响都很小，说明我们的两个价格方案都是非常合理的，对于现实市场上占大多数的参数区别不大
31、的零售商都是适用的，具有很大的现实用处，并且对于供应链上占优的制造商去考虑零售商的公平关切是很有意义的。3) 在表中的每一行中，P1（）总是要比P2（）大，这表明在制造商没有其他补贴措施的前提下，增量折扣的价格方案比总量折扣的价格方案更有可能使零售商克服一些障碍而增加订购批量。结 论这篇论文发展了两种数量折扣模型，分别构造了两种不同的价格折扣方案。这两套方案都都能成功诱导零售商增加订购批量以减少供应链的联合固定成本和库存成本。制造商和零售商达成这样的价格协议后，制造商的成本降低了，在以上的数值实例中，我们可以看出制造商在实行价格折扣后的年成本变成了负值，这就是因为零售商提高订购批量使得制造商获
32、得更多的资本进行投资而获得了回报，这些回报使得制造商的成本变成负值；另外，渠道成员间实行这样的价格方案后，零售商的成本也没有变大，所以说这样的价格方案会使得渠道的整体成本变得最低，实现了帕累托有效率改进。这样的数量折扣方案对渠道的协调是有很大帮助的。虽然说制造商可以根据零售商的订购行为推算零售商的相关成本，然后对不同组的零售商制定不同的价格折扣方案，但是在垄断市场中来自零售商的压力使得制造商不可能对不同组的零售商提供不同的价格方案；制造商和零售商的力量对比是决定制造商具体的价格方案的决定有很大的作用。在第5章的结尾部分，我们通过一个数值的例子实现了模型中的价格方案，并对结果进行比较，我们发现增
33、量数量折扣的价格方案至少好于总量数量折扣的价格方案，前者更能成功地诱导零售商增加订购批量，并且对于供应链上占优的制造商去考虑零售商的公平关切是很有意义的。另外，对于直接销售产品给消费者的卖方来说，Dolan 6论证了最优的增量折扣方案总是至少好于最优的总量折扣方案，Oi, W.Y. 8 通过对两步收费法的讨论说明了增量折扣方案能够更多的剥夺消费者的部分剩余，并且到目前没有文献已经提到最优的总量折扣会好于最优的增量折扣方案。在这篇论文中，我们讨论的大前提是，消费者的年需求D、制造商和零售商的相关参数都是固定了不变的，这些都是对现实的抽象简单概括。在以后的研究中，可以放宽这些假设，研究在变化的环境
34、中，制造商的价格方案和零售商的反应。这些需要以后的研究者们进行大量认真的研究了。谢 辞现实的库存情况是很复杂的，库存理论对它们进行了归纳提炼建立了精简的模型，我们的折扣模型也是对现实各种变化不定状况的抽象而得到模型。管理科学涉及到现实生活工作中的方方面面，在管理科学的研究中，这种抓住现实事件的关键脉络建立合适的概括的模型是思想是极其重要的。本论文得以完成，我需要特别感谢我的指导老师曾伟老师对我的帮组以及我的同学对我的友谊提醒，他们的帮助为我节省了不少时间和工作量。参考文献1 Hadley, G., and Whitin, T.M. Analysis of Inventory Systems J
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