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1、本科生毕业论文（设计）在不等式教学中培养学生的探究思维能力 姓 名： 汪笃武 指导教师： 方辉 院 系： 数学系 专 业： 数学与应用数学 _提交日期： 2010年5月5日 目 录中文摘要3外文摘要4引言51. 比较法52. 几何法63. 配方法74. 二分法75. 三角代换法76. 反证法77. 判别式法88. 向量法89. 均值不等式法810. 分析法911. 综合法912. 利用对称性1013. 利用欧拉恒等式1014. 复数法1115. 矩阵法1116. 柯西不等式1117. 拉格朗日数乘法1218. 推广形式13结束语15参考文献15致谢16在不等式教学中培养学生的探究思维能力汪笃武
2、指导教师：方辉（黄山学院数学系，黄山，安徽245041）摘要：探究思维能力是学生智力开发的核心，是由分析、综合、比较、概括和运用等能力组成的整体，是一种主动积极的思维能力.数学问题中明显或隐含存在大量的不等关系，不等式的证明蕴含着丰富的数学思想方法. 不等式作为热点内容，有很多命题都可以引申、推广和应用，为我们在不等式的教学中培养学生的探究思维能力提供了契机.本文尝试从不等式的一题多解入手探索如何培养学生的探究思维能力. 关键词：数学教育；不等式；探究思维Explore Thinking Ability in Inequality TeachingWang DuwuDirector：Fang
3、Hui（Department of Mathematics, Huangshan University, Huangshan, China）Abstract：Students explore the thinking ability is the core of intellectual development, by analysis, synthesis, comparison, generalization and the use of such capacity to the overall composition, is a proactive thinking. Mathemati
4、cs learning problems, explicitly or implicitly a large number of non-existence and other relations, Inequality rich in mathematical thinking. inequality as hot content, there are many propositions can be extended, the promotion and application of our teaching in the inequality of inquiry thinking ab
5、ility students provided an opportunity. This paper attempts to inequality of a given problem to start exploring how to cultivate the students explore the thinking ability.Key Words：Mathematics Education；Inequality；Explore thinking 引言在数学教育中，不仅要注意传授具体的解题方法，更注意数学知识发生过程中的思想方法，培养学生的思维能力和探究精神.提高思维能力，能更好认识
6、事物的本质及其内在联系，而探究思维能力是学生智力开发的核心，是由分析、综合、比较、概括和运用等能力组成的整体，是一种主动积极的思维能力.教师只有在传授知识的同时，重视对学生的探究思维能力的培养，才能达到知识、能力的统一.数学中数量关系的不等比相等更加广泛，数学问题中明显或隐含存在大量的不等关系，不等式的证明蕴含着丰富的数学思想方法.从各种数学杂志期刊上，不等式作为热点内容，有很多命题都可以引申、推广和应用，这为我们在不等式的教学中培养学生的探究思维能力提供了契机.在不等式的教学中可以一题多解为抓手培养学生的探究思维能力.不等式的许多题目有多种解法，不少老师和学生是为了解题而解题，一个问题只要能
7、解决就匆匆而过，很少去分析和横向探索，挖掘其中的价值，错过了很多完善知识结构，提升思维能力的好机会.做一道题从不同角度想出几种方法与做几道相似题型的题目相比，效果自然要很多.下文将通过一个例题探讨一题多解对培养探究思维的重要性.在射击训练中，假设一个射击运动员击中靶的概率为，不中的概率为，那么，求两次射击全中或者全不中的概率.解析：一次射中一次射不中的概率为，两次射击全中或者全不中的概率为,而即，所以.本题可以简单表述为：，求证.以下的十几种解法都是数学解题中的常用方法.1. 比较法 作差比较法要证不等式，只需证即可.其步骤为：作差变形(常用变形方法有：通分，因式分解，配方等)判别符号 作商比
8、较法若，欲证，只需证；欲证，只需证.其步骤为：作商变形判断结果与的大小关系.或.2. 几何法根据解决问题的需要，常把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，即把抽象的“数”结构与形象的“形”结构联系起来，化抽象为直观，通过对图形的研究，常能发现问题的隐含条件，诱发解题线索，使求解过程变得简捷直观图1如图1，线段AB在直线上，任意取点p, 为P点到原点的距离，原不等式的证明可转为求证原点到AB的最短距离不少于.假设为三角形的面积，有最短距离,得证. 3. 配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形配成“完全平方”的技巧.在解决相关问题是，将目标看成某个目标的二次式，并将其配成一个完全平方与一个常
9、量的代数和的形式，以达到发现和研究问题性质、化繁为简之目的.；.4. 二分法二分法可以看做特殊的配方方法，能让一些不等式的证明变得简捷.这里，令，有.5. 三角代换换元法是数学中的基本方法，在数学中随处可见，三角代换是换元法的一种，有其一定的规律性.常见的三角代换法有：若，可设，可设若本题中，令，则=而，得.6. 反证法反证法的模式为：否定结论推出矛盾肯定结论.反证法的实质是证明否命题会导致矛盾，从而肯定命题成立. 假设有，矛盾故假设不成立， 假设，而，二者矛盾故假设不成立，原不等式同样得证.7. 判别式法判别式是等式与不等式联系的重要桥梁，其要领是合理地构造二次方程或二次函数.令对于方程有解
10、则而，故.8. 向量法运用向量知识解决代数问题，关键在于适当构造向量，然后利用数量积来求解.如图1，设到的距离为=， 为上任意点，即，得，故，即=.9. 均值不等式均值不等式：,当且仅当时等号成立.常用变形： . ；均值不等式在求最值及参数的取值范围等范围有着广泛的应用，对于给定的函数或者多项式在一定的条件下求最值，一般要通过各种变形或转化，然后运用公式解决. 或，两式相加得，10. 分析法分析法是从寻求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充分条件，其模式为：(是成立的).，显然成立11. 综合法从已知或已证明的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式，其模式为：(结论)12.
11、 利用对称性对称性是自然界的基本性质之一，利用这个性质可以简化一些不等式的证明.如果题设条件及所证明的多项式都是对称的，可以设未知量满足不等关系.由于与都是对称的，不妨设则，只需求上式右边的最大值又因为即所以.注：13. 利用欧拉恒等式瑞士数学家欧拉，发现了一个代数恒等式，用语言叙述为：如果两个数的每一个都可以表示成两个数的平方的和，那么它们的乘积也一定可以表示成两个数的平方的和.公式形式为：此题中，令,.则14. 复数法数学中许多问题可以通过化归与转化成复数问题，借助复数的不同表示形式、不同的运算法则或某些重要的关系进行解决，本例可以通过构造一些复数，利用复数中的模的特性解决.令，.有15.
12、 矩阵法通过构造一些适当的矩阵，借助矩阵的基本运算法则也可以巧妙的证明一些不等式.设，16. 利用柯西不等式有,，,一定有,当且仅当时等号成立.这里给出柯西不等式的一种证明方法.令，.对于,，.代入上式即可得到柯西不等式.此题中令,，则17. 拉格朗日数乘法令由解得,则是函数的最小值点.所以.也可以简单的运用导数的形式证明.令则是函数的最值点而时， 时，所以时函数的最小值点，即从以上方法可以看出，不等式确实是培养学生探究思维能力的好材料.作为一种观念，只要我们在教学中长期坚持，积极探讨，一定能大大提高学生的学习效率和探究思维能力，从而对所学知识有新的认识和发现，更为重要的是这种思维能力可以成为
13、学生以后勇于探究，敢于创新的基础.在数学教学中，适当加强推广形式的教学有着非常重要的意义.这里列举三个推广形式推广1将推广到的形式，.用归纳法证明时不等式成立，假设时不等式成立，有.则只需证+得即所以时不等式亦成立，故原不等式始终成立.推广2设,为正数，则利用柯西不等式即可证明.推广3为正数，则.利用，则(1)(2) (n)上述式子两边分别相加，得左边右边即上式两边同加上，有上式用数学归纳法即可证明.结束语所有的证明方法和推广形式能让学生产生一种奇异美，使得零散的知识点经过分析，组合找出它们之间的逻辑关机，又经过大脑加工，按照学生自身的认识结构同化纳入自己的知识体系，变静止的知识为运动的能力.
14、 重视培养提高学生的探究思维能力，才能为学生综合性思维能力的发展打下很好的基础，才能提高学生观察问题、分析问题、解决问题的实际能力.参考文献1 赵春祥.证明不等式的常用技巧与策略J .中学数学教学参考，1995，（6）：42-432 王宽明.刘静.一道不等式的证法探究及推广J .中学数学研究，2007（2）：33-353 徐玉明.数学教学中学生探究思维能力的培养J .数学教育与研究（教研版），2008（07）4 丁金萍.中学数学探究思维能力的培养J .福建中学数学，2007（07）：18-205 叶慧萍.反思性教学设计J .数学教学研究，2005（10）：20-216 张霞.从一个不等式的推广
15、谈起J.安庆师范学院学报(自然科学版)，1996（2）：91-927 董欲华.如何在数学教学中培养学生的思维能力J.数学通报，2006（09）：20-238 方辉.对称性与不等式的证明J.黄山学院学报，1999（1）：102-1049 王弟成.一道不等式证明过程回放J.数学教学研究，2005（10）：21-2210 李相普.不等式证明中的几种新颖方法EB/OL.2004-04-01/2010-04-28致谢本课题在选题及研究过程中得到方辉老师的悉心指导.方老师多次询问论文进程，并为我指点迷津，帮助我开拓思路，精心点拨，热忱鼓励.方老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人，对方老师的感激之情是无法用言语表达的.感谢我的同学付欲、朱仕飞、张俊升四年来对我学习、生活的关心和帮助.最后，向我的父亲、母亲致谢，感谢这么多年他们对我的鼓励，理解与支持.
