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1、 本科毕业论文（设计）（理工类） 题 目： 数列的凸性及其应用 专 业： 数学与应用数学（计算数学） 作 者 姓 名： 指导教师姓名： 指导教师职称： 20 年 5 月本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠。如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任。论文作者签名： 日期： 年 月 日本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成。如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任。指导教师签名：日期： 年 月 日目 录承诺保证书 I1
2、凸数列的概念12 凸数列的性质2 2.1 凸数列定义的等价条件2 2.2 关于凸数列不等式的性质2 2.3 关于凸数列的和的不等式性质43 凸数列性质的应用5 3.1 凸数列定义的等价条件的应用5 3.2 关于凸数列不等式的性质的应用9 3.3 关于凸数列和的不等式性质的应用 11参考文献15英文摘要16数列的凸性及其应用摘要：现有的数列凸性应用方法如切比雪夫变换、凸性定义，常常被用来解决不等式的证明问题.本文通过凸性的性质及其结论的方法，先按照凸性定义对题目定位分类，然后在凸性的本质上有针对性的拟合，并结合其他应用方法来进行运算和证明，最后可以得到想要的结论性结果.并且文中也阐述了数列凸性在
3、实际中解决问题的重要性，通过一系列的定义方法和结论来论证了在数学竞赛中经常遇到的不等式证明问题.本文也在多个论据和论点的基础上得出了数列凸性在解决数学问题上的重要结论，并且凸性的证明也使得应用不等式的证明更加方便.关键词：数列的性质 数列的凸性 数列凸性的应用 数列竞赛题数列凸性问题是长久以来数学领域一直研究的重大课题，至今为止这部分内容仍是难点，但是数列凸性前人也做过不少文章，但随着数学的发展，数列凸性也伴随着新题型的出现.数列凸性的产生不但解决了数列论证问题，同时也解决了部分数列递推问题.数列凸性是从它的本质出发，从定义入手，去寻找一些常用的解法，从中得出一些有针对性的结论.本章论文主要在
4、于数列凸性常规性质的应用和规律性较强数列的证明.当遇到凸性这类问题时，只要抓住它们的特点，一一对应数列凸性的性质就会很快的解决其中的难点.根据数列凸性的不同特点，给出数列凸性的定义的一般形式就可以很快找到突破口，可以很好的解决此类问题，所以学好数列凸性的应用是非常重要的，也是解决常用数列的关键所在.1 凸数列的概念 下面简单的介绍一下凸数列的概念.凸数列 若实数列满足，则称数列为下凸数列，简称为凸数列.凸数列作为凸函数的离散形式，在数学竞赛中已多次出现，下面对凸数列的性质作一些探讨.2 凸数列的性质2.1 凸数列定义的等价条件性质1 对于实数列，设，则数列为凸数列的充要条件是数列为单调不减数列
5、. 性质2 若数列为凸数列，则其下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列. 2.2 关于凸数列不等式的性质性质1 若数列为凸数列，则（1）对任意m、nN，有；（2）对，有；（3）对有.证明：（1）当n=m时，不等式显然成立当时，由性质1得 故当故亦即 （2）注意到，,由（1）得 （3）由（2）得 因为所以两式相加得即因为所以性质2 若数列为凸数列，则对于证明：当不等式显然成立当，由性质2（2）得即亦即推论1 若数列为凸数列，则对于推论2 若数列为凸数列，则对于2.3 关于凸数列的和的不等式性质性质1 若数列为凸数列，则 证明：当当 即 则性质2 若数列为凸数列，则数列也为凸数列. 证明：对于
6、，当（从而，）时，由性质3得 即 故即 因此由定义知，数列为凸数列3 凸数列性质的应用3.1 凸数列定义的等价条件的应用例1实数列满足，且.求最小的，使得对所有的，都有分析：运用凸数列定义的等价条件性质1可得出，这是解决本题的关键.解：取则满足0，及此时 接下来证明：当时，对都有由凸数列定义的等价条件性质1得 故则 对固定的当时，由性质3得当时，同样由关于凸数列不等式性质2得 故 以上两式相加得 则 由式、得综上所述 总结：通过本题可掌握数列为凸数列的充要条件是数列为单调不减数列这一性质，这是解决本题的突破口.例2 设数列为凸数列.证明：对任意，有分析：注意到与分别为数列的奇数项和偶数项，可考
7、虑从凸数列的定义入手.证明：由数列的凸性知：，于是则故 由凸数列定义的等价条件性质2知，也是凸数列.从而由关于凸数列和的不等式的性质1得 即 于是 故 总结: 本题由凸数列定义入手，变换求和数列得到，然后利用凸数列定义的等价条件性质2和关于凸数列和的不等式性质1逐步运算得出结论，从本题的入手到应用的性质，可见凸数列在不等式证明中的重要性，熟练掌握定义和性质是非常重要的.3.2 关于凸数列不等式的性质的应用例1 设是一个非负实数序列，使得当时，有 证明： 分析：该题应分两部分解决，首先运用关于凸数列不等式的性质1证明不等式的左边，再运用这一性质证明不等式的右边即可.证明：题设条件说明是一个凸数列
8、，且对任意正整数，有 先证式左边的不等式由关于凸数列不等式的性质1（1）及题设，对任意的，有于是，当时固定，让，即得因此 再证式右边的不等式同理，由关于凸数列不等式的性质1（1）及题设得故而从而总结：从本题应用的性质来看，本题很好的运用关于凸数列不等式的性质1，若数列为凸数列，则对任意、nN，有，应熟练掌握.例2 设为凸数列，.证明：(1)若则中没有正数； (2)若存在，使得则.分析：解决该题应运用关于凸数列不等式的性质2的两个推论的结论，再根据若数列为凸数列，则对，有即可解决.证明：（1）对于，由关于凸数列不等式的性质2的推论1得故数列中没有正数（2）一方面，对于，由关于凸数列不等式的性质2
9、的推论2得 另一方面，当，由关于凸数列不等式的性质2（2）得 所以 当时，由关于凸数列不等式的性质2（2）得 所以 因此，对于，恒有 由式、得即 总结：本题从关于凸数列不等式的性质2的推论1入手，然后利用关于凸数列不等式的性质2，可见对解决数列题应熟练掌握数列各项性质是很重要的.3.3 关于凸数列不等式和的性质的应用例1 设为凸数列.求证：对于大于1的奇数，分析：当为奇数，即时，所以此时为偶数时，有，对下面不等式一定成立并且此不等式为递减数列，所以得出下列结论证明：由关于凸数列和的不等式的性质1知，只需证明 当为奇数，即时，有 于是，由切比雪夫不等式得当n为偶数时，为奇数，则对于两数列分别使用
10、上述方法得 ， 以上两式相加，并注意到 所以两式相加得所以，命题得证总结：本题应用关于凸数列和的不等式的性质1来求出前n项和的不等式，此性质得结论. 是解决本道题的关键步骤，只有得出此结论才能应用切比雪夫不等式，并且此不等式也使得本道题变得清晰明了，为此要想今后更好的解决这类问题最好应用本题方法，能够更好的节省解题步骤.例2 设为凸数列，. 求证:对，有 分析：解答本题首先运用关于凸数列和的不等式的性质2得出数列为凸数列，再运用关于凸数列不等式性质2得出本题结论.证明：根据题意，由性质6得 数列为凸数列所以当时，不等式也显然成立当，由关于凸数列不等式性质2得即亦即总结：在本题中用关于凸数列和的
11、不等式的性质2证明数列为凸数列，应用关于凸数列不等式性质2来证明，并且两个性质对本题起到关键作用，从本题中我了解到差项不等式的应用和解题方法.例3 设为凸数列.求证：分析：从不等式左侧入手，可以根据分子，从而得出.证明：，有 各项同乘以所以同时对求和得总结：本题应用性质不多，只要在入手阶段循序渐进，从左至右，同乘，在对求和就可得出最后结论.数列的凸性性质是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大，因此也多被各类数学竞赛设为题目，但对它的性质许多人或许还了解得不多.本文通过对凸数列性质的研究，意在探讨解决有关凸数列问题的途径.数列凸性问题虽说很难，但我们总可以通过寻找其数
12、列的公共特点和规律来解决，并采用恒等式的变换得到最终我们想要的结果.以上论文中的几种数列性质和解题方法是求数列问题比较适合的方法，是从根本上去认识数列凸性.在文中数列凸性的应用是为了让我们更好的去深入了解数列的凸性，更是让我们知道数列凸性问题本质就是数列求和、数列证明、递推等一系列的集合载体.当我们能够熟练应用数列凸性的定义、性质、推论，我们就可以在今后遇到的数列问题中轻而一举的找到突破口并将其快速解决.所以说本文中的数列凸性的定义、性质、推论都是我们应当掌握的，并且这些公式都是简单易懂，对学好数列凸性的应用有很大帮助.凸数列作为凸函数的一离散形式，在许多数学习题中都会遇到，并且在各大竞赛中也
13、经常出现，这就让我们对凸数列的性质作了一些探讨，所以对这一抽象的数学问题的解决及应用就显得尤为重要.本文也对如何掌握凸数列的重点做了细致的分析，并且在各种习题后都作了详细的分析，这就让读者们能更加清晰我的论文分析，和对数列的凸性又有了更加深刻的认识.随着题型的不同分类所应用的凸数列的性质也会不同，所以在凸数列性质的分类上可能还不够全面，在凸数列性质的分类也会有不同的，其他的分类方法没有讲到，在以后会不断的补充.参考文献：1 肖振纲.凸数列J.中等数学,1989,(04).2 万丽娜,咸远峰.递推数列通项的九个模型J.中国数学教育（高中版）,2010（5）3 武增明.巧用函数的性质简解抽象函数不
14、等式问题J.中国数学教育,2010（9）.4 李歆.一道竞赛题的解法探究J.中国数学教育（高中版）,2010（9）. 5 韦文月.由一道数学竞赛试题想到的J.中国数学教育（高中版）,2010（6）.6 陆平.从不同角度理解等式挖掘解题思路的方法初探J.中国数学教育,2010（6）.7 邵贤虎.一道数学竞赛题的思想透析J.中国数学教育（高中版）,2010（5）.8 夏利民.切比雪夫不等式应用J.承德民族师专学报,2008（2）.9 中国国家集训队教练组编.数学竞赛集锦M.华东师范大学出版社,2009.10 李长明,周焕山.初等数学研究M.北京高等教育出版社,1995.11 张喜唐.数学分析M.武
15、汉华中师范出版社, 2001.12 甘志国.用待定系数法证明数列不等式高考题J.中国数学教育（高中版）,2010（6）SEQUENCE CONVEXITY AND APPLICATIONAbstract: The existing sequence convexity application methods such as chebyshev transformation, that the convexity definition is used to solve frequently the inequality proof question. The article through th
16、e convexity properties and conclusion according to the method, first convex definition of subject, and then in the convexity essentially target-oriented fitting, and combined with the other application methods for operation and proof, finally can get a conclusive results. And in the article it is el
17、aborated the sequence convexity solves questions importance in reality, has proven the inequality proof question which through a series of definition method and the conclusion meets frequently in mathematics competition. Always this article obtained the sequence convexity in many arguments and in the argument foundation to solve in the mathematics question important conclusion, and the convexity proof is always to be caused the application inequality the proof to be more convenient.Key words: sequence nature; sequence convexity; sequence convexity application; sequence competition topic
