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1、密 级 公 开 学 号 200630444243 衡水学院毕业论文（设计）浅谈矩阵变换的方法论文作者指导教师专业本科专科年级论文提交日期论文答辩日期：殷雪姣张利民数学教育专科2006级2009年5月20日2009年5月24日毕业论文（设计）学术承诺本人郑重承诺：所呈交的毕业论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不存在抄袭情况，论文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人或其他教学机构取得的研究成果.作者签名： 日 期： 毕业论文（设计）使用授权的说明本人了解并遵守衡水学院有关保留、使用毕业论文的规定.即：学校有权保留或向有关部门
2、送交毕业论文的原件或复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公开论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文及相关资料.作者签名： 指导教师签名： 日 期： 日 期： 浅谈矩阵变换的方法摘要：研究矩阵中的概念和结论，通过具体的初等变换，线性变换，反射变换，平移变换，旋转变换等一些几何变换使问题具体化，增强对矩阵几何意义的认识,并且借助几何图形，使抽象的代数内容更容易被理解，从而也降低了矩阵内容的抽象程度.关键词： 矩阵；初等变换；线性变换；反射变换；平移变换；旋转变换On the method of matrix transformationAbstract： Study th
3、e concept of matrix and conclusions, through specific elementary transformation, linear transformation, reflecting the transformation, translation transform, rotation of geometric transformations, such as to enable readers to obtain perceptions, strengthen understanding of the meaning of matrix-geom
4、etric, and use geometry to make the abstract Algebraic be understood more easily, thus reducing the level of matrix elements of the abstract.Key words： Matrix；Elementary transformation；Linear transformation；Reflection transform；Translation transformation；Rotation1 绪论矩阵是数学中的一个重要的概念首先它作为一种新的运算对象，从它的对象
5、的表示形式以及运算的定义上来说，对学生都是非常新颖的，从运算的规律性看，学生也是首次遇到在乘法运算中不符合交换律的这样的一种运算因此这个在学生第一次接触到之后，会感到一些陌生，会感到一些不适应那么这个就需要学生有一个慢慢的熟悉过程另外在矩阵与变换这个专题内容中，有一个非常大的难点，就是特征向量和特征值这个内容中又有两个难点，第一是学生对于特征向量和特征值本质的理解；另一个就是特征向量和特征值运算求解的过程也是非常复杂的因此在解决这两个难点上，我个人理解首先可以采取一种分散难点的办法来处理这些难点比方说一些具体的矩阵变换过程，比方对矩阵变换的初等变换，线性变换，反射变换，平移变换，旋转变换等等因
6、此我浅谈一下矩阵变换的几种方法2 矩阵的概念定义1 有个数排列成m行n列数表，称为一个m行n列矩阵，简称矩阵其中表示第i行第j列处的元素，i称为的行指标，j称为的列指标矩阵通常用A,B,C 大写字母表示例1 某物资由p个产地运往n个销地假设由第i个产地运往第j个销地的数量是，那么这样一个调运方案就可以用下面的pn矩阵来表示： 矩阵之间的一些最基本的关系即矩阵运算，包含矩阵的加法、减法、乘法、矩阵的数乘、矩阵的转置以及矩阵的逆等3 矩阵的变换31 矩阵的初等变换 在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列时化为上（下）三角形行列式，从而简化行列式的计算，把行列式的某些性质引用到矩阵上，会给
7、我们研究矩阵带来很大的方便，这些性质反映到矩阵上就是矩阵的初等变换1定义2 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为)把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(相应记号中把换成)初等行变换与初等列变换统称为初等变换例2 用初等变换法求解矩阵方程解 设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即这样就
8、给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法同理,求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵即例3已知矩阵对其作初等行变换，化为行最简形矩阵解32 矩阵的线性变换 矩阵的有关概念和结论比较抽象，教科书充分利用几何直观、利用矩阵所对应的线性变换来介绍这些抽象的概念和结论，从而有效地化解了矩阵内容的抽象性2矩阵是用来表示线性变换的一种工具，它和线性变换之间是一一对应的定义3 设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基 如果这个基在变换下的象为记则上式可表示为，其中=,那末，则称为线性变换在基下的矩阵显然，矩阵由基的象唯一确定例4 实数域上所有一元多项式的集合，记作,中次数小于的所有一元多项式(包括零
9、多项式)组成的集合记作,它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成上的一个线性空间在线性空间中，定义变换 ,则由导数性质可以证明：是上的一个线性变换,这个变换也称为微分变换现取的基为，则有，,因此，在基下的矩阵为=33 矩阵的反射变换反射变换也称为对称变换或镜像变换，三维反射变换可以相对于反射轴进行，也可以相对于反射平面进行3相对于反射轴的三维反射变换是通过将图形绕反射轴旋转180来实现的一个关于直线的反射有逆变换，它的逆变换就是关于直线的反射本身反射具有保距的性质即经过反射，两个原象之间的距离等于相应的两个象之间的距离一条线段上的所有点经反射后得到的是一条线段上的所有点；一条射线经过反射得到
10、一条射线；一条直线经过反射得到一条直线反射的保距性质蕴涵了反射的保角性质一个反射将两条垂直线变成两条垂直线，将两条平行线变成两条平行线；将多边形变成全等的多边形例5 对x轴的反射，y轴反射，对直线的反射，对直线的反射，对直线的反射，即，为便于记忆，可记为由于，记，上面矩阵可写为，这是一般的反射的矩阵例6 一条直线经过原点，与x轴所成的夹角为，求关于这条直线的反射的矩阵直线的方程，于是关于这条直线的反射的矩阵为34 平移变换把平面上的每个点都按一定的方向移动一定的距离，这样的一个变换是一个平移如果移动的距离为0就为恒等变换，因此，恒等变换是平移变换的一个特例把A点移动到B点有且仅有一个平移，即A
11、，B两点确定一个平移经过平移之后，两个原象之间的距离等于相应的两个象之间的距离，即平移也具有保距性4由此，把一个图形上的所有点进行平移得到的是与原图全等的图形例7 从O(0,0)到A(a,0)的平移，矩阵为；从O(0,0)到B(0,b)的平移，矩阵为；从O(0,0)到P(a,b)的平移，矩阵为反之也对35 旋转变换把平面内每个点都绕一个定点按一定的转向转动一定的角度，这样的一个变换是一个变换，这个定点称为旋转的中心如果两个旋转的角度相差为360度的整数倍，则实际上这两个旋转是同一个旋转旋转角度为0是即为恒等变换，因此，恒等变换也是旋转变换的一个特例容易看到，经过一个不是恒等变换的旋转，平面内只
12、有一个点不动，这个点就是旋转的中心进一步研究两个不同中心的旋转，可以发现下面有意义的事实：一个角的旋转与一个角的旋转的复合，不管中心是否相同，总是一个角的旋转；但在时，就是一个平移5事实上，我们可以把两个旋转的积分解成4个反射的积，这4个反射的积又可以合并成2个反射的积，而两个反射的积或者是一个旋转或者是一个平移，从而知道两个旋转的积或者是一个旋转或者是一个旋转或者是一个平移，并且看到两个旋转的积是一个旋转时，旋转角等于原来两个旋转角的和以原点为中心，旋转角为的旋转变换，对应的矩阵为；以C(h,k)为中心，旋转角为的旋转变换可以分解为先从C点O点的平移，再以原点为中心，旋转角为的旋转，最后从O
13、点到C点的平移，因此，这个矩阵是三个变换矩阵的乘积，即：为便于记忆，可以写成，再写成，相应的矩阵为例8 求证：对两条相交直线反射的积是一个旋转解 建立坐标系，原点为这两条直线的交点，一条直线为x轴，另一条记为直线先x轴反射再直线反射的矩阵为，化简可得，为交点为中心，旋转角为的旋转结语研究矩阵中的概念和结论，通过具体的反射,平移,旋转,初等,线性等一些几何变换使学生获得感知的，借助几何直观，使学生理解抽象的代数内容，使学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解,从而也降低了矩阵内容的抽象程度6矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩
14、阵来表示通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，展示矩阵应用的广泛性矩阵作为线形变换的表示，有着广泛的应用无论在数学中、还是在自然科学、工程技术中，都是一个基本的工具变换是集合到它自身的映射因此，变换的思想就是函数的思想，变换是函数的推广通过“矩阵变换”的学习，可以使我们更好地理解变换的思想，可以用变换的观点来看待数学中的有关内容比如，平面中几何图形的变换、求解方程组、变换的不变量等由于2维空间中的变换可以方便地用几何表示，因此，可以从几何变换的角度来介绍矩阵这既便于学生理解，又不失其一般性“矩阵变换”的学习，无论对
15、于学生今后的学习，还是工作都是十分有用的逐步形成用数学的眼光认识事物、用数学方法描述客观规律的意识，进一步体会数学的神奇与奥妙，并进一步为高等数学打基础参考文献1 谭军矩阵初等变换的一些性质及应用J郑州航空工业管理学院学报2002年04期2 江忠关于线性方程组初等变化的讨论J达县师范高等专科学校学报2004年05期17-183 吕学礼代数矩阵与几何变换浅说M吉林教育出版社4 伍家德坐标系与参数方程M湖北教育出版社5 张贤达矩阵分析与应用M清华大学出版社200409版6 张弛矩阵初步M上海教育出版社7 戈丁数学概观M科学出版社8 Bellman R Introduction to Matrix
16、Analysis Second Edition The Rand Corporation,1970致 谢本次论文设计过程中，我得到了指导老师的大力支持，同时，我也得到了同学们的热心帮助。首先，要感谢张利民老师在本次设计中的给我的悉心指导与帮助。设计初期，张老师帮我分析、给我提建议，并且鼓励我学习。设计末期，张老师又对我进行指导和帮我进行总结。在老师的指导下我对论文的框架有了一定的了解，让我在困难的时候能够有恒心继续毕业论文，从而完成了毕业论文。使我本身的能力得到了不少的提高，这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助，感谢她耐心的辅导!其次，感谢同学们的帮助。是一些同学在默默的帮助我，使我的毕业论文能够在规定的时间内完成。还要感谢这四年以来不厌其烦的给我传授知识的高校老师们！感谢在生活上以及学习上给我照顾和教诲的辅导员！感谢培养我的衡水学院！感谢大家！
