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1、 2008年度本科生毕业论文（设计）不动点原理及应用院 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2004级 学生姓名： 王 碧 成 学 号： 2004701227 导师及职称： 杨 鑫 松 2008年5月2008 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate The Principle and Application of Immovable pointDepartment: Mathematics and Applied MathematicsGrade:2004Students Name: Wan
2、g BichengStudent No.:2004701227Tutor: Professor Yang Xinsong Finished by May, 2008 毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关
3、部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名：日期： 日期： 毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主席（组长）摘要：介绍了banach不动点原理即压缩影射原理，及其在求一些数列极限、方程近似解中的应用；然后讲述了不动点原理在微分方程、积分方程解的存在性、和唯一性方面的重要应用即逐次逼近法；再讲述不动点原理在线性方程组方面的应用；简述不动点原理在积分中值定理、隐函数存在定理方面的应用。关键词
4、：Banach不动点原理；压缩影射；应用。The Principle and Application of Immovable point Abstract: The banach fixed point compression insinuate that the principle of principle, and for some of the series limit, equations approximate solution of and then on a fixed point in the principle of differential equations, inte
5、gral equations of the existence of, and uniqueness of The important applications that successive approximation method; again on the fixed point of principle-the application of equations; briefly fixed point principle in the integral value theorem, the implicit function theorem the application. Key w
6、ords: Banach fixed point principle; compression insinuate; application.目录第一章 引入 1 前言 2 预备知识第二章 不动点的应用 1“不动点原理”在数列极限中的应用 2“不动点原理”在求方程近似解中的应用 3“不动点原理”在积分方程的应用 4不动点定理在常微分方程中的应用 5不动点在解线性方程组方面的应用 6“不动点原理”在积分第一中值定理的应用7“不动点原理”在隐函数存在定理的应用第三章 结论参考文献致谢第一章 引入1 前言我在这篇文章主要是归纳不动点原理的应用，别人做的只是用不动点原理在某一方面的应用，而我是在他们的
7、基础上归纳综述。在现实中，我们要研究关于解的存在性问题都可以用不动点原理来求，因为在很多时候我们要求解时根本无法求出，除了简单的方程外，但是我们可以用不动点原理找到解存在。我主要做的是用不动点原理即压缩影射原理：求一些数列极限的应用。方程近似解中的应用。然后讲述了不动点原理在微分方程、积分方程解的存在性、和唯一性方面的重要应用即逐次逼近法。再讲述不动点原理在线性方程组方面的应用。简述不动点原理在积分中值定理方面的应用。隐函数存在定理方面的应用。2 预备知识定义1 给定（X，），如何对于影射T：XX，存在常数L，使得，则称T是一个压缩影射.定义2 给定度量空间及的影射T,如果存在使，则称影射T的
8、不动点. 定义3 (基本列)给定,若对任取的,有自然数使对,都成立,则称序列是基本列. 定义4 (完备度量空间)距离空间,若X中任一基本列都收敛,则称它是完备的. 定理(Banach不动点原理-压缩影射原来)非空的完备度量空间,T是到其自身的一个压缩影射,则T在X中存在唯一的不动点.例1 设是定义在a,b上的函数(不恒为常数),且满足条件:在a,b内处处有导数,且;对,有,那么方程有唯一解.证明: 由在a,b内处处有导数,则对且0L1,那么是的一个压缩影射,根据定理1,这时方程有唯一解,即的不动点,为求出解,可以在内任取一点,做为迭代的初始值,然后令那么第二章 不动点原理的应用1 “不动点原理
9、”在数列极限中的应用求数列极限的方法有很多种，比较典型的有单调有界原理和迫敛法，若能熟练掌握不动点原理，也能方便求出一些数列极限。为了应用方便，上述定理1可改为以下定理定理对数列,若存在常数r ,0r1,使的一切,有,则收敛. 证明:自然数n,p.所以为基本列(Cauchy列),从而收敛若递推公式由一元可微函数给出,则可通过的导数来考察,若存在实数r,使的,则应用微分中值定理,可知满足压缩影射的条件. 不过,这时必须验证,是否保持在成立的范围之内.例1 设 为常数，求。解：我们先来构造一个函数，显然在上连续可导，因为，当时又因为得到故由定理知道收敛设又连续，即有从而得到即上例我们是通过构造函数
10、，得到一个压缩映射，利用“不动点原理”很快就能求出数列极限。这里需注意的是一些例题貌似压缩影射,其实不然,见下例.例2 设影射为自己,且 (3)任取,令(4)求证数列有极限,满足方程.注 由(3)、(4)式可得 (5)此式很像压缩影射的条件,但实际不然,因为(5)式相当于r=1,而非0r1.证明: (3)式表明是连续,只要证明了单调,自然有极限,在(4)式中取极限更知的极限满足,因为映为自身,所以当时,由式(4)知,既然,故一切n,恒有,剩下只需证明单调性.事实上,若,则,而任一n,若时,更有将带负号的项移到不等式的另一端,然后同除2,即得故单增.同理,若时,可证单减.例 证明 若在区间上可微
11、,任取令,则,为方程的根(即为的不动点).证明:已知,令设则即,这就证明了一切.应用微分中值定理,在这表明是压缩影射,所以收敛.且,为的根. 若递推公式由给出,并已证明了存在,连续.则在中取极限,更得到了A应满足的方程,此方程表明A是的不动点,至于方程的根是否存在,需用其它方法进行讨论.以上介绍了用“不动点原理”求极限的方法.2“不动点原理”在求方程近似解中的应用实际应用中，常需要求方程的实根，但除了一些简单的方程外，一般是很不容易求得的。作为导数的应用，有一种求方程近似解的方法牛顿切线法，其实应用压缩映射原理来求方程近似解更方便、更简单。定理（微分中值定理）若函数满足如下条件在闭区间上连续；
12、在开区间内可导，则在内至少存在一点使得。为了方便利用，我们可以把上述的定理1再改为以下定理定理若递推公式有一元可微函数给出，则可通过的导数来考察。若存在实数，使得，则应用微分中值定理，可知满足压缩映射条件不过这时必须验证是否持在成立的范围之内。例1 求方程的近似解 分析 若令则，但对任意，。故在的范围内，不是压缩映射，因此不能直接应用定理，然而我们可以改变一下迭代格式，使定理能够应用。为此我们引进一个叁数，可使例如取，则当时时于是我们可采用迭代格式3 “不动点原理”在积分方程的应用 下面应用不动点定理给出积分方程解的存在性和唯一性的证明.引理设，是定义在内的可测函数,满足记,那么,当时,必有唯
13、一的适合线性积分方程 证明:在上定义影射由于,可知,因此是到的影射.只要证明是压缩影射即可证明方程解的存在、唯一性.对任意的, 记,由假设有,而,即是压缩影射,由定义1,存在唯一的满足,即 也就是说,当必有唯一的适合线性方程.例 给定积分方程 其中是上的已知连续函数，是上的已知连续函数。证明当足够小时（是常数）式在上存在唯一连续解。 证明：在内规定距离考虑映射，当充分小时，是的压缩映射，因为此处，故当时，是压缩算子，此时拒定理1知方程对任一 解存在唯一，任取初始逼近。令则是第次的近似是精确解4 不动点定理在常微分方程中的应用应用不动点定理证明常微分方程解的存在性和唯一性.例设是矩形上的二元连续
14、函数.在这个矩形中,其中为一常数,又关于 满足Lipschitz条件,即存在常数,对任意的,有,那么方程有唯一的满足初始条件的连续函数解,其中.证明:设满足,按通常的距离是完备是距离空间,因此是完备的空间.令,则是的影射,事实上，对于,因,而在上二元连续,所以右端的积分有意义,它是积分上限的连续函数,由对于一切的.所以.事实上,由关于满足Lipschitz条件,故对任意两点,有令则且,所以是上的压缩影射.由定义1,存在唯一的使得.由于方程满足初始条件的解与的不动点一致,因此就得到了原方程的解的存在、唯一性.5 不动点在解线性方程组方面的应用例在维实向量中,采用范数其中则不难验证在范数下成为一个
15、空间.在中讨论下列线性代数方程组在系数满足什么条件时,存在唯一的解.解:将写成下列向量形式,其中,是矩陈,.令,则又可以写成.显然是的一个影射.任取令而于是利用范数有由此可见,当然一切成立时,是上的压缩影射.从而有唯一不动点,即是方程组的唯一解.6 “不动点原理”在积分第一中值定理的应用定理4若连续函数在上单调递增，则在上存在唯一一点使得证明 不妨设在上单调递增，单调递减证法一样在空间中作映射是到自身的映射。事实上，由于， 在上严格单调递增，所以并且于是从而是到自身的映射，又对于，不妨设有：因为在上严格单调递增，所以，故必存在一个数，使得成立，所以有：从而是到自身的压缩映射，由不动点原理，存在
16、唯一一点，使得，即从而7“不动点原理”在隐函数存在定理的应用 定理5设二元函数满足下列条件： 在区域上，及上连续； ； 则有以下结果，存在点的某个领域以及唯一的连续函数，它在内满足：证明：考察映射， 其中，这里表示定义在闭区间上取值在R上的连续函数空间，其距离规定为：先证映射T为压缩映射，因为在上连续，所以，存在，使得当时，记由微分中值定理对存在使得所以T为压缩映射。今取则在中是闭的，从而是完备的。下面证明映射取，注意到，由于的连续性，所以存在，当时（这里）所以当时此外还有：从而证明了映射。第三章 结论不难看出，利用压缩映射原理来处理一些问题，的确非常简单、方便参考文献1 刘炳初.泛函分析M.
17、北京：科学出版社，1998. 2 张敏等.不动点原理及其应用.学术期刊第21卷第2期.20053 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M，北京：高等教育出版社，1993. 4 华东师范大学数学系编.数学分析第三版.高等教育出版社.5 张恭庆.泛函分析讲义M.北京：北京大学出版社，1986.6 李思华.积分方程M.天津：天津大学出版社.19937 严绍宗.实变函数论与泛函分析M.北京：经济科学出版社，1992. 8 龙丽等.不动点定理在方程解方面的应用 . 学术期刊第一期84页9 王金诚.浅析不动点原理应用.学术期刊2007第4期139页10 李大华.应用泛函简单教程M.武汉：华中理工大学出版社，
18、1999.致 谢首先要感谢杨鑫松老师，因为论文是在杨老师的悉心指导下完成的，杨老师指引了论文写作方向和框架。论文写作的过程中，杨老师在百忙中抽出时间，不厌其烦、孜孜不倦地给我解除凝问和排除障碍。他平易近人，治学严谨。在此，谨向杨老师致以崇高的敬意和衷心的感谢，敬礼鞠躬！同时论文的完成离不开大学期间所有传播给我知识的老师，特别是任课老师，他们给我们灌输了丰富的理论体系和人文精神。我还不能忘记的有我的同学、舍友、朋友，他们给了我很多的建议和帮助。同时我提前向毕业论文答辩的专家和评审员真挚地说声：你们辛苦了！最后，我要感谢我的家人，没有家人含辛茹苦地供我上学，就没有今天的我。愿把我的幸福和快乐都带给关心和支持过我的人！谢谢！敬礼！王碧成 20008年5月14日
