《二次型及其标准形课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次型及其标准形课件.ppt（27页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,例1、将二次型,用矩阵表示。,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例2,设,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,证明,即 为对称矩阵.,定义5.2.2 对于n阶矩阵A和B,如果存在n阶可逆矩阵C,使得B=CTAC,就称A合同于B,记作AB对进行运算称
2、为对进行合同变换.,矩阵间的合同关系具有反身性,对称性,和传递性.,说明,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例3,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,利用配方法化二次型为标准型,例5、化二次型为标准型,解：将 的项归并起来，得,令,经过可逆线性变换,将二次型化为标准型：,例5、化二次型为标准型,解：不含有平方项，含有 乘积项，因此用代换产生平方项，令则,再配方，得,则有,令,所求得可逆变换矩阵为,说明：用配方的方法化二次型为标准型方法：1）、若二次型不含平方项，仅含乘积项，先引入代换产生平方项后，再配方；2）、若二次型含平方项，集中含有平方项的某一个变量所有项的平方，对余下的变量同样进行配方作平方和。注：用配方法作的变换是可逆变换，但是不一定是正交变换，因此标准型中平方项前的系数不一定是特征值。,思考题,思考题解答,
