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1、毕业(设计)论文题 目 极限计算中常见错误剖析 学生姓名 专业班级 R计算092班 所在院系 理 学 院 指导教师 职 称教授 所在单位 理 学 院 教研室主任 完成日期 2014 年6月10日摘 要极限的计算是微积分的基本运算，也是学习后继知识的基本工具，掌握好极限计算是学好微分课程的基础。实际上，运算能力是运算技巧与逻辑思维的结合，计算过程是运用所学知识解决问题的过程。在计算的过程中不只是注意计算结果的准确性，更看重的计算方法的合理性。在学习了有关极限的基本概念，基本法则（原则），基本题型方法的基础上进行极限计算，重要的是极限类型的判断和解题方法的确定，而运算技能主要涉及初等代数运算（如因
2、式分解，有理化，幂的运算.）和导数运算。学生在做极限运算时,由于对极限的基本概念、基本原理理解的不够清晰、准确,基本技能和方法掌握的不够熟练,运算中不可避免地会出现这样或那样的错误,如:审题错误,运算错误,论证错误,方法错误,表述不规范和解题步骤不完备等。因此本文针对学生出现的普遍错误进行归纳、整理,辨明错误的类型,分析出错原因,指导学生走出误区,使学生对知识的理解、掌握达到一个较高层次。关键字： 极限 极限的算法 极限算法中常见错误ABSTRACT Limit is calculated basic operations of calculus , but also to learn the
3、 basic tools successor knowledge is the basis for calculating the limit master courses to learn differential . In fact, the computing power is a combination of computational skills and logical thinking, the calculation process is to apply the knowledge to solve problems in the process . Not just pay
4、 attention to the accuracy of the calculation results in the calculation process , the reasonableness of the calculation method is more valued. In learning about the limits of the basic concepts , basic rules ( principles ) , based on the basic questions and methods of calculating the limits on cond
5、uct , it is important to determine the limits of the type of judgment and problem-solving methods, and arithmetic skills, mainly related to elementary algebra ( such as factoring , there are physical and chemical, power computing . ) and derivative operations. Students do limit calculation , due to
6、the basic concepts of limits , inadequate understanding of the basic principles of clear, accurate way to master basic skills and not enough skilled operators will inevitably arise in this or that error , such as: moderation error , operational errors, argumentation errors, wrong way , expressed irr
7、egularities and problem-solving steps , such as incomplete . Therefore, students should be for the common errors that appear induction, consolidation , identify the type of error , error cause analysis , to guide students out of misunderstanding , so that students of knowledge to understand and mast
8、er to reach a higher level .Key Words： Limit Limit algorithm algorithm common errors目 录一 极限的概念及定义1二 极限中常见的错误32.1运用两边夹法及其常见错误32.2四则运算法及其常见错误52.3变量替换及其常见错误62.4分段函数的极限及其常见错误82.5利用幂级数求极限及其常见错误92.6利用泰勒公式求极限及其常见错误102.7利用微分中值定理求极限及其常见错误112.8定义求极限及其常见错误122.9利用洛必达法则求极限及其常见错误13谢 辞17参考文献18一 极限的概念及定义各种类型的极限基本上可
9、以统一表示为函数极限。根据自变量的目标值与函数的目标值的不同含义，以及它们相应邻域的意义，就可以得到不同形式极限的意义。例如，当的自变量只取正整数，为时，就是数列，的极限；当的自变量从点左方趋于（或右方趋于）时，就是函数的左极限（或右极限）；当时，极限表示在时为无穷小；当为时，表示在时为无穷大，它是极限不存在的一种形式。其他各种形式所表示的极限也是容易理解的。 一般来说，极限的定义蕴涵着自变量落在点的充分小邻域内时，函数的值落在的充分小邻域内。为此，各种邻域的概念及其表达式是至关重要的，它有利于理解极限的分析语言描述的精神实质。函数在时的极限的分析定义是：对于任意给定的，总存在，当时，恒有。极
10、限的分析定义是：存在某个，对任意的，总存在点满足时，使。由极限的定义知，因极限是研究自变量趋向于的过程中函数的变化趋势，故极限是否存在以及存在时其极限值是多少，可以与函数在点处的函数值以及距离较远的点的函数值无关，而只与点的邻域内函数有关。于是既使极限不存在，函数在点处也可以有定义；同样，即使极限存在，热函数在点也可以没有定义。利用分析语言已证得如下几个基本极限：； ； ； ； ； ； 。关于极限的分析语言定义，有如下两个问题：第一个问题是用分析语言直接证明某个极限。它是对任意给定的，由去确定与有关的，使得自变量与定点的距离，。此时的是相对给定的。为了确定，就需要设法从中分解出因子，让其余的因
11、子是一个关于的有界量。既设法将不等式转化为不等式。从而由此找到。注意，这里的是与任意给定的有关，而与无关的，故所找到的也是与有关，而与无关。对于用分析语言证明极限的问题，只需要考虑到无穷大邻域的表达形式就明白现在应该考虑和两个不等式。这时，为了确定，就需要设法从中分解出因子，并转化为不等式 ，从而由此找到只与有关而与无关的。这样找到的能使得对任意给定的，当时恒有，即。同理，可以用分析语言证明其他各种类型的极限。这一项工作要着重注意如下两点：首先，在证明过程中分析语言表达要准确。其次，因为我们只关心与有关的（或）的存在，只要找到符合定义要求的（或）就可以了，不一定要找最大的（或最小的），所以在分
12、析语言证明过程中，可以适当放大绝对值，使放大后的式子小于，既能较方便地求得（或）。在证明过程中绝对值的适当放大，可以通过利用的特性来实现。例如，当时，依照邻域的概念可以不妨假设；如果考虑，则可以不妨假设大于某个有限的给定正数。这是一种有条件放大技巧。 第二个问题是：由已知某个极限存在，利用分析语言去证明另一个极限存在的命题。根据极限的分析语言定义，由已知的便有：对任意给定的，当然对某一个特定的，总存在，当时，恒有。这里的是已经找到的正数。然后利用这个，以及有关不等式去分析证明待证的有关极限的命题，此时要找的不仅与有关，而且还与已经找到的有关。随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研
13、究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式 称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有;即。称为泰勒公式。众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应
14、用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。二 极限中常见的错误2.1运用两边夹法及其常见错误 用迫敛性求数列的极限,关键是找出两个有相同极限的数列与,使,一般可以利用的下界确定,取为常数,而通过加强得到,再证明。 计算中常见错误分析 例1.求极限 (1984年中山大学研究生人学试题) 解:令 当时，有 于是，有 所以。 错误分析：再利用两边夹的时候错误的放大和缩小两边的极限。 正确解法：当时，有 于是，有 又，所以。 解析：再利用两边夹算法的时候经常会出现对于缩放找不准，以至于计算错误。 例2. 错解：令 则 即且 所以。
15、错解分析：本题在利用夹逼定理的时候搞混了上界和下界的关系。 正确解法：令 则 即且 所以。 例3. 错解：令 则 即且 所以。 错解分析：本题再利用夹逼定理的时候上下限的缩放出现了错误。 正解：令 则 且， 所以。2.2四则运算法及其常见错误若函数与在都收敛，则函数，也收敛，适用于分子，分母的极限不同时为零或不同时为。且1) ；2) ；3) ，其中。常见错误分析 例1.求极限 错解：把代入原式中得。 错解分析：不能直接应用商的极限（因为分母的极限是0）运算法则。 正确解法：= = = 例2.求极限。 错解：直接运用四则运算分母为零不能代入运算。 正确解法：=。 例3. 求 错解：。 分析：计算
16、中错误的使用极限的运算法则，差的极限等于极限的差。 正确解法：应用罗比达法则。 例4. 错误分析它的错误是当时括号中有无限项相加，当作有限项而用了法则。 正确解法：利用求和公式再运用极限求解。 例5.求 错误解法：。 错解分析：无限项之和不能直接用极限运算法则。2.3变量替换及其常见错误1. 常见的变量替换法的实质作变量替换求极限的一般形式如下： 这个问题实际上就是复合函数的极限问题。常见错误分析 例1.求 错误解法：因当时，所以原式 错误分析：分子中是两个无穷小的差，虽然仍然是无穷小但不一定是0，用等价无穷小来代替就不对了，因为，事实上是的高阶无穷小，因此。 例2.求极限 错误解法：当时，原
17、式为型故极限为0。 错解分析：对极限形式的判断错误导致用错方法。 正确解法：当时，。 例3.求极限 错误解法：当所以原式。 错误分析：变量替换时极限判断错误。 正确解法：当时且所以。 例4.求极限 错误解法：当时所以原式=。 错误分析：本题再利用变量替换的时候没有考虑到分母也为0的情况所以出现错误。 正确解法：由题可得 又所以原式=。 例5.求极限 错误解法：直接带入运算没有考虑结果中分母为的情况，。 错解分析：对于替换的变量把握不准确。 正确解法：原式=。2.4分段函数的极限及其常见错误 求分段函数的极限当函数含有绝对值符号时，就有可能是有分情况讨论的了，当趋近无穷时候存在的次方的时候，就要
18、分情况讨论为的次方的函数正负无穷的结果是不一样的。常见错误分析 例1.证明狄利克雷函数在定义域上每一点都不存在极限。 错误证法：，存在有理数：使得，所以在定义域上每一点都不存在极限。 错误分析：对于函数极限定义错误理解和函数应用范围的错误应用。 正确证明：若，存在有理数： ，若，存在无理数，有，于是，任意实数都不是狄利克雷函数在是上任意一点，所以地雷克雷函数在上每一点都不存在极限。例2.设讨论在点处的极限是否存在。错误解法：当时，带入上式可得极限存在。错误分析：所给函数是分段函数,是分段点, 要知是否存在,必须从极限存在的充要条件入手。 解：因为 所以 不存在。2.5利用幂级数求极限及其常见错
19、误 利用简单的初等函数（特别是基本初等函数）的麦克劳林展开式，常能求得一些特殊形式的数列极限。常见错误分析 例1.求。 错误解法：由于所以当时 错解分许：在求幂级数时对极限判断错误。 正确解法：因为 + ， 记 ， ， 则。 易知 ， 即， 故。 因此 原式。 例2. 证明不等式，。 常见错误：幂级数的展开方法错误。 正解解法：证明因为 而 由于 所以就可以得到。2.6利用泰勒公式求极限及其常见错误 等价无穷小代换是求极限的重要方法，往往可以减少计算量，使问题得以简化。 但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量是乘积或除的极限，而对两个无穷小量非乘且非除的极限，以上方法不能凑效，而Taylor
20、公式代换是解决此类极限问题的一种有效方法。常见错误分析 例1.设。若，求。 错误解法：直接带入当时 错误分析：对于题中给出的公式不能正确的运用和理解。 正确解法：对固定的，当时，单调趋于无穷，由Stolz公式，有 =（） 。 例2.计算极限。 错误解法：泰勒公式记忆不熟，导致用错。 正确解法：。由展开公式4）可得 于是， 正确运用泰勒公式是解题的关键。2.7利用微分中值定理求极限及其常见错误 Lagrange定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛，下面我们来看一下Lagrange定理在求极限中的应用。常见错误分析 例1.求。 错误解法：时所以原式的
21、极限为。 错误分析：对于极限判断过程出现错误。 正确解法：设，在上用拉格朗日中值定理，得 （其中）, 故当时， 可知原式= = 。 例2.证明极限 错误解法：对等式左边进行积分计算然后和右边进行比较。 错误分析：微分中值定理运用错误，变量替换的时候出现错误。 真确解法：令，显然函数和在区间上满 足定积分中值定理条件，则,在上至少存在一点，使当时，从而有2.8定义求极限及其常见错误常见错误分析 例1.设。求。 错误解法：当时。 错误分析：对于极限的判断依据不充分导致错误。 正确解法:时,有 (由二项展开式得) 要使,只需,即若取,则当时,就有.所以数列,是无穷小数列。 例2.已知，求 错误解法：
22、有题中给出的可知，形如所以的极限为。 错误分析：对于定义的理解不透彻，在化形的时候出现错误。 正确解法：易证：数列单调递增，且有界，由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：，解得：或（不合题意，舍去）所以 。 例3. 错误解法：当时 错解分析：对定义的理解不够缩放时忽略条件。 正确解法：易见：因为，所以由准则2得： 。2.9利用洛必达法则求极限及其常见错误若函数满足：（i）（ii）在点的某空心邻域内两者都可导，且（iii）（可为实数，也可为）则在使用洛必达法则时，应特别注意以下几点问题： （1）洛必达法则在求极限的时候要求函数存在导数，且导数商的极限存在。（2）洛必达法则可以
23、连续使用，但是每次必须检验是否属于“”型或者“”型未定式。如果不是，就不能使用洛必达法则。（3）在求极限的过程中，有可约的因子或者极限不是零的因子，可以先约去或从极限符号内取出。（4）不是任何未定式的极限都可以用洛必达法则求出极限,也就是说洛必达法则有时失效。常见错误分析 例1.求 错误解法：当时代入可得。 错误分析：利用洛必达法则时没有检查其类型。 正确解法:利用则得= = = 例2.求 错误解法：=不存在。 错解分析：所求极限不符合法则条件，即导数商的极限不存在，此时洛必达法则失效。 正确解法：=。 例3. 错误解法：直接代入得。 错误分析：没有考虑分母的情况，应当应用洛必达法则。 正确解
24、法：原式= 。 例4. 错误解法：直接代入得。 错误分析：没有考虑分母的情况，应当运用洛必达法则。 正确解法：原式=。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）。 例5. 错误解法：把代入可得。 错误分析：对于洛必达法则的理解有误。 正确解法； 例6. 错误解法：原式=。 错误分析：对于极限的定义和洛必达法则理解不透彻。 正确解法： 应该注意洛比达法则并不是总可以用如下例。 例7. 错误解法：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限不存在。而原极限却是存在的。 错误分析：对于洛必达法则的理解不准确。 正确解法： 原式= （分子，分母同时除以） = （利用定理1和定理2）谢 辞 此文得以完成，凝
25、聚了许许多多老师、同学、朋友，亲人的心血和关爱！在我即将完成学业之际，谨向五年来给与我无私帮助、支持，关心和呵护过我的所有老师、同学、朋友、亲人致以最诚挚的谢意！感谢王国灿老师作为我的论文指导老师在本文的撰写过程中给予我大量的指导和帮助，花费了很多心血.尤其是在课题设计、研究方法、论文撰写等各个环节给予我的指导和帮助。感谢我的同窗好友们，五年来朝夕共处的日子里，是他们给了我最大的温暖和感动，感谢他们在我论文写作过程中提出的宝贵建议和帮助。论文写作过程中借鉴和引用了许多学界前辈的观点和论据，向他们表示感谢！最后，特别感谢参加论文评审的各位老师！参考文献1 华东师范大学数学系. 数学分析M. 高等
26、教育出版社. 2001.2 同济大学数学系. 高等数学M. 高等教育出版社. 2007.4.3 裴礼文数学分析 中的典型问题与方法M 北京：高等教育 出版社 ，2006.4 刘玉琏 傅沛仁. 数学分析讲义M. 人民教育出版社. 2000.5 张自兰 崔福荫. 高等数学证题方法M. 陕西科学出版社. 1985.6 吴良森，毛玉辉 ，宋国栋，魏木生数学分析 习题精解M北京:科学出版社,20028 王向东. 数学分析的概念和方法M. 上海科学技术出版社. 1989.9 叶志萍罗必塔法则应用中的弱点克服J大连民族学院学报 ，2002 ，(9)10 陈传章 金福林. 数学分析M. 高等教育出版社. 1986. 11 金岷,高等数学M.北京中国人事出版社,2000:109. 12 孙清华 孙昊. 数学分析内容、方法与技巧M. 华中科技大学出版社. 2003. 13 Walter Rudin. Principles of Mathematical AnalysisM. Mcgraw-hill Book Company. 1976.
