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1、本科学生毕业论文（设计）题目在气垫导轨上阻尼振动的研究 专业 物理学类在气垫导轨上阻尼振动的研究摘 要：本文对阻尼振动方程进行了详细的求解，得出阻尼振动的周期公式；并通过实验数据探究了振子质量及弹簧的劲度系数对阻尼振动的影响。结果表明：滑块的质量不变时，对数减缩率随着弹簧劲度系数的减小反而增大，弛豫时间和品质因数随着弹簧劲度系数的减小而减小，说明等效弹簧劲度系数越小时，阻尼振动衰减得越块；弹簧劲度系数不变时，对数减缩率随着滑块上附加物质量的增加而增大，弛豫时间，品质因数却随着滑块上附加物质量的增加而减小，说明振子质量越大，阻尼振动衰减得越快。关键词：阻尼振动；对数减缩；阻尼常量一个实际振动系统
2、由于各种原因，使其振动的能量总是逐渐减少，振幅随时间逐渐衰减，最后停止振动，这就是阻尼振动。阻尼振动是力学和电磁学领域的一种常见的物理现象。很多文献都对阻尼振动进行了讨论，本文对阻尼振动方程进行了详细的推导，得出振动周期公式，在此基础上进一步对影响阻尼振动衰减快慢的主要因素进行了较深入的理论分析和实验论证。1 实验原理阻尼谐振子由气垫导轨上的滑块和一对弹簧组成，如图1所示，滑块除受弹簧恢复力作用外，还受到滑块与导轨之间的粘性阻力的作用。在滑块速度较小时，粘性阻力和滑块的速度成正比，即 图1 阻尼振动实验Fig.1 damping vibration test （1）式中为粘性阻尼常量。气垫导轨
3、上由滑块和一对弹簧组成的振动系统，在弹性力和阻尼力作用下，滑块的运动方程为 （2）式中为滑块质量。令，其中常数称为阻尼因数，为振动系统的固有频率，则式（2-12）可改写为 （3）（3）式即为阻尼振动的微分方程。对于固定的气垫导轨、滑块和弹簧，则（3）式中的为定值，则公式（3）为二阶常系数奇次线性微分方程，则它的特征方程为 （4）根据特征方程（4）的两根的不同情况可按下列表格写出微分方程（3）的通解：特征方程的两根微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根（4）式的两个根为由以上推导可知有下列三种情况：（1）当，为大阻尼情形(过阻尼状态)；（2）当，为临界阻尼情形（临界阻尼状态）；
4、（3）当，为小阻尼情形（欠阻尼状态）。在此只讨论小阻尼情形：当时，特征方程（4）的根，是一对共轭复根，所以方程（3）的通解为 （5）在初始时刻设时位置代入（5）式得则（5）式变为 对上式求导得 （6）在初始时刻设时，有代入（6）式得把代入（5）式得 （7）其中令， ， （8）根据积化和差公式，那么（8）式可写成 （9）（9）式为阻尼运动微分方程的解。其中，从（9）式可以看出，阻尼振动中滑块运动的周期为 （10）2 阻尼振动衰减特性及相关因素讨论2.1 阻尼振动的衰减特性（1）阻尼振动的振幅随时间按指数规律衰减，如下图2所示，即。显然，振幅衰减的快慢和阻尼因数的大小有关，而，因而和粘性阻尼常量及
5、振子质量有关。 图2 阻尼振动曲线 Fig.2 Dampedoscillation curve （2）阻尼振动周期要比无阻尼振动周期略长，阻尼越大，周期越长。2.2 阻尼振动相关因素讨论为直观地反映阻尼振动的衰减特性，常用对数减缩、弛豫时间及品质因数来表征。在弱阻尼情况下，它们清楚地反映了振动系统的振幅及能量衰减的快慢，而且提供了粘性阻尼常量的动态测量方法。2.2.1 对数减缩率对数减缩率是指任一时刻的振幅和过一个周期后的振幅之比的对数，即 （11）由定义可知，对数减缩率越大，阻尼振动衰减得越快；对数减缩率越小，阻尼振动衰减得越慢。公式（11）变形得 （12）将代入上式，得 （13）即只要得出
6、对数减缩率，就能求得阻尼因数或和阻尼常量的值。 2.2.2 弛豫时间 弛豫时间是振幅衰减至初值倍所经历的时间，即 所以 (14)由弛豫时间的定义可知，弛豫时间越短，阻尼振动衰减得越快；弛豫时间越长，阻尼振动衰减得越慢。2.2.3 品质因数一个振动系统的品质因素又称值，是一个应用极为广泛的概念，它在交流电系统及无线电电子学中是一个很常见的术语。品质因数是指振动系统的总能量与在一个周期中所损耗的能量之比的倍，用表示 （15）由此可知，品质因数越小，则越大，即一个周期中所损耗的能量越多，阻尼振动衰减得越快；品质因数越大，阻尼振动衰减得越慢。阻尼振动中，能量的损耗是由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的
7、功率等于阻尼力的大小乘以运动速率，即等于。在振动时，是一个变量，可用一个周期中的平均值作为这一周期中的平均效果。这样，一个周期中的能量损耗等于一个周期中克服阻尼力作的功，所以 而对于振动系统而言，一个周期中的平均动能等于平均势能，且均等于总能量的一半，即 因而 (16)综合式（13）、（16）、（17），得出 (17)从公式（12）、（13）、（17）可知，求出对数减缩率是本文的关键所在。半衰期是指阻尼振动的振幅从初值减到时所经历的时间，记为，则 由此可得 把公式（11）式代入上式可得 （18）由公式（18）可知，只要测量阻尼振动的周期和半衰期就可以计算出阻尼振动的对数减缩率。通过改变振子质量
8、和等效弹簧劲度系数得到不同的对数减缩率，由对数减缩率又可求出阻尼振动特性的其它量的值，比较不同的对数减缩率、弛豫时间和品质因数的大小可得阻尼振动的衰减快慢。2.2.4 等效弹簧劲度系数和振子质量对三个常数的影响由（10）式可得 （19）等效弹簧劲度系数是等效弹簧的一种固有属性，它不随振子质量、对数减缩率、阻尼振动周期的变化而变化，只要是一组弹簧不变，则等效弹簧劲度系数为固定值。而在气垫导轨上，振子质量、弹簧劲度系数、阻尼常量不变时，对数减缩率也不变。在已知振子质量、求的对数减缩率时，通过公式（19）可以得出未知的等效弹簧劲度系数的值。由公式（19）可知 （20）振子质量也是振子本身所固有的一种
9、属性，它不随等效弹簧劲度系数、对数减缩率、阻尼振动周期的变化而变化。在不变时，只要知道，即可求得振子质量。由公式（11）可得 （21）对数减缩率不是阻尼振动的一种固有属性，它是表征阻尼振动衰减特性的物理量，由公式（21）可以看出，对数减缩率的大小与振子质量、等效弹簧劲度系数和阻尼常量有关，而与阻尼振动的周期无关。（1）当振子质量和等效弹簧劲度系数不变时，阻尼越大，对数减缩也越大，阻尼振动的振幅衰减得更快；在气垫导轨上滑块质量、弹簧不变时，阻尼常量为一固定值，要想增大阻尼常量，一是加磁阻尼的方法；二是加圆板阻尼的方法。因仪器设备的限制，在此就不做研究了。（2）让滑块质量不变和效弹簧劲度系数不变两
10、种情况来研究阻尼振动的衰减特性。因阻尼常量随着滑块质量和效弹簧劲度系数的变化而变化，所以通过实验来探究阻尼振动各参数随着等效弹簧劲度系数和振子质量的变化而变化的关系。3 实验测量实例3.1 实验目的 本实验目的是通过改变振子质量及弹簧的劲度系数，测量阻尼振动的周期和半衰期，从而求得阻尼振动的对数减缩率、弛豫时间和品质因数，通过比较不同的对数减缩率、弛豫时间和品质因数的大小来研究阻尼振动的衰减规律。3.2 仪器用具 图3 实验仪器装置Fig.3 Experimentalapparatus equipment本实验采用的实验仪器有气垫导轨、光电门、数字毫秒计、滑块、不同劲度系数的弹簧和附加物，实验
11、装置如图3所示。 3.3 实验内容与数据.（1）让滑块质量为,采用一组等效劲度系数为的弹簧，振幅为,测量滑块运动的周期和半衰期，测量数据见表1。表1 滑块运动周期为,半衰期为对应的数据Tab.1 slider movement cycle, half-lifeof the corresponding data 1 2 3 4 38/s 53.319 52.734 53.428 53.217 /s 15.902 15.898 15.879 16.239 （2）保持这组等效弹簧劲度系数不变，加附加质量为，振幅为,测量滑块运动的周期和半衰期，测量数据见表2。表2 滑块运动周期为,半衰期为对应的数据T
12、ab.2 slider movement cycle, half-life of the corresponding data1 2 3 43/s 4.5663 4.5194 4.5240 4.5188 /s 1.4215 1.4270 1.4212 1.4170 （3）保持滑块质量为不变,采用另一组等效劲度系数为的弹簧，振幅为,测量滑块运动的周期和半衰期，测量数据见表3。表3 滑块运动的周期为,半衰期为对应的数据Tab.3 slider movement cycle, half-lifeof the corresponding data1 2 3 440/s 66.736 66.143 66
13、.170 66.392 /s 17.510 17.514 17.487 17.522 4 数据处理结果及分析 在前面分析可以知道，在振动系统的和相同的情况下，当阻尼振幅一定时，阻尼越大，对数减缩率越大，品质因数越小，振动系统消耗的能量越多，阻尼振动的振幅和能量衰减得越快。而对于保持振子不变、改变等效弹簧劲度系数以及保持等效弹簧劲度系数不变、改变振子质量两种实验处理结果如下。采用半衰期法对以上三个表的数据进行处理得对数减缩率，根据对数减缩率与其它量之间的关系得如下的实验结果：（1）保持振子质量不变，改变等效弹簧劲度系数的值，计算，其结果如表4所示。表4 一定，改变，计算值，Tab.4 Certa
14、in, change, predicted value， 4.359711 3.101761 0.060699 0.065688 0.017140 0.018777 0.039595 0.039595 25.2557 23.0574 2.243933 1.892699 分析表4的数据可知，当滑块质量一定时，阻尼振动的对数减缩率随着等效弹簧劲度系数的减小而增大，弛豫时间和品质因数却随着等效弹簧劲度系数的减小而减小，说明阻尼振动的振幅和能量随着等效弹簧劲度系数的减小衰减得越快。同时还可以得出阻尼因数和阻尼常量随着等效弹簧劲度系数的减小而增大。（2）保持等效弹簧劲度系数不变，改变振子质量的值，计算，
15、其结果如表5所示。分析表5的数据可知，当等效弹簧劲度系数不变时，对数减缩率随着滑块上附加物的质量增加而增大，弛豫时间和品质因数却随着滑块上附加物的质量增加反而减小，此现象表明阻尼振动的振幅和能量随着振子质量的增大衰减得越快。阻尼因数和阻尼常量随着振子质量的增大而增大。表5 一定，改变，计算值，Tab.5 Certain, change, predicted value， 216.44 268.38 0.060699 0.736556 0.017140 0.261701 0.039595 0.487557 25.2557 2.05104 2.243933 2.078495 5 结束语本文对阻尼振
16、动方程进行了详细的求解，在此基础上得出阻尼振动的周期公式；由推导出的对数减缩率公式可知，固定振子质量和等效弹簧劲度系数时，增大阻尼常量，则对数减缩率随着增大。对于保持振子质量不变而改变等效弹簧劲度系数及保持等效弹簧劲度系数不变而改变振子质量两种情况理论还没有得出结论，对于此问题本文是通过实验探究得出结果，因此，对于这方面还可继续进行理论研究。参 考 文 献：1 杨述武、赵立竹、沈国土主编.普通物理实验1，力学及热学部分（第四版）M.北京：高等教育出版社，2007，12：112-1162 刘子臣编著.大学基础物理实验M.天津：南开大学出版社，2001.43 黄志敬主编.普通物理实验M .陕西师范
17、大学出版社，1991.54 刘果红、盛宋奇.阻尼振动的傅里叶分析J.安徽建筑工业学院学报（自然科学版），2005，13（2）：7-95 张才国.振子临界阻尼的分析J.五邑大学学报（自然科学版），2004，18（1）：37-406 周晓东、朱殿明.阻尼振动特性及振动函数图形J.青岛教育学院学报，2000，13（2）：29-337 王众臣、姜雪洁.阻尼振动的研究J.青岛建筑工程学院学报， 2000，21（2）：90-948 艾琳.阻尼振动方程的另一种解法J .Expreriment Science&Technology， 2002，24（3）：86-879 茅立新.关于阻尼振动两种情况的讨论J.赤
18、峰学院学报，2006，22（4）：13-1410 Zhang Cai-Guo. Oscillator analysis of critical damping J. Wuyi University (Natural Science), 2004,18 (1) :37-40 Vibration damping of research in the air trackAbstract: This article has carried on the detailed solution to the damped oscillation equation, obtains the damped os
19、cillation the cyclical formula; And inquired into through the empirical datumed the oscillator quality and springs stiffness coefficient influence of damped oscillation . The result indicated: When slide mass conservation, the logarithmic decrement reduces along with the spring stiffness coefficient
20、 instead increases, the relaxation time and the quality factor reduce along with the spring stiffness coefficient reduce, showed that the equivalent spring stiffness coefficient damping more hour, the damped oscillation weakens jumps over the block; When the spring stiffness coefficient is invariable, the logarithmic decrement the addition quality increases along with the slide on increases, the relaxation time, the quality factor actually the addition quality increases along with the slide.Key words: damping vibration;logarithmic reduction;damping constant
