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1、工学硕士学位论文均布载荷作用下夹层圆板的非线性振动燕 山 大 学2003年3月国内图书分类号：O322国际图书分类号：534工学硕士学位论文均布载荷作用下夹层圆板的非线性振动硕士研究生:导 师:申请学位级别:工学硕士学科、专业:工程力学所在单位:建筑工程与力学学院授予学位单位:燕山大学Classified Index: O322U.D.C : 534Dissertation for the Master Degree in EngineeringNONLINEAR VIBRATION OF CIRCULAR SANDWITH PLATE UNDER THE UNIFORMED LOAD Can
2、didate: Supervisor:Academic Degree Applied for:Master of EngineeringSpeciality: Engineering MechanicsUniversity:Yanshan University摘 要本文主要研究均布荷载作用下夹层圆板的非线性振动问题。首先，对夹层圆板在均布载荷作用下的非线性弯曲和大幅度振动问题进行了较详细的介绍。其次，研究了静载荷作用下夹层圆板的非线性振动问题，应用哈密顿原理导出了均布载荷作用下夹层圆板大幅度振动的基本方程和上述四种边界条件的表达式，并得到了这四种边界条件下的夹层圆板振动的幅频载荷特征关系。文中
3、，基于时间模态假设和变分法，将挠度和应力函数设为时间和空间函数的分离形式，时间函数取谐函数，空间函数未知。所假设的振动模态包含两个未知的内禀量，即振频和一个由于静变形而使板具有不对称刚度特性的非线性振子的“漂移”的小量，这两个量均与载荷、边界条件和振幅有关。将假定的模态函数代入本问题的变分方程，导出空间模态的控制方程和求解“漂移”的代数方程。采用修正迭代法求出了该问题在四种不同边界条件下的近似解析解。并讨论了静载荷及剪切参数对夹层圆板振动特性的影响。最后，研究了均布载荷作用下受周边面内压力的夹层圆板的非线性振动问题，给出了均布载荷与周边面内压力联合作用下夹层圆板静力问题的精确解，在此基础上，导
4、出了均布载荷与周边面内压力联合作用下夹层圆板非线性振动的基本方程，同时采用修正迭代法对该问题进行了求解，并对计算结果进行了讨论。关键词 夹层圆板；非线性；幅频载荷特征关系；均布载荷AbstractThe nonlinear vibration of the circular sandwich plate under uniformed load has been made research on in this paper. First of all, the nonlinear bend and the large amplitude free vibration for circular
5、sandwich plates under uniformed load is specified.Then, the nonlinear vibration of the circular sandwich plate under static load is made research on. The basic equations under four kinds of boundary conditions are got by means of Hamilton principle, and the relation for amplitude frequency-load unde
6、r these boundary conditions is also provided. During this course, based on the hypothesis of the time mode and the method of calculus of variations, assuming the reflection and the stress functions as the separate forms of the time and space, and the time function is harmonic function, and the space
7、 function is unknown. The vibration mode assumed includes two unknown natural values, that is, the amplitude frequency and one small value of “drift” of nonlinear vibrator that made the plate asymmetrical rigidity property caused by the static reflection. Both of them are related with load, boundary
8、 conditions and amplitude. Substituting the assumed mode functions to the calculus equations, then the control equation of the space mode and the algebra equation is derived. The approximate analytical solution of this problem under these boundary conditions is provided in this paper by the modified
9、 iteration method, based on which, the nonlinear vibration of the circular sandwich plates under uniformed load and inplane uniform pressure at the outer edges is made research on.Finally, the effect of the static load to the nonlinear amplitude frequency and drift is discussed.Keywords: sandwich pl
10、ate; nonlinear; amplitude frequency-load characteristic relation; uniformed load目 录摘要Abstract第1章 绪论11.1 课题研究背景11.2 修正幂级数法和修正迭代法21.3 文献综述31.4 本课题研究的内容7第2章 均布载荷作用下夹层圆板的静平衡问题92.1 基本方程92.2 边界条件102.3 夹层圆板的精确静态解122.4 本章小结14第3章 夹层圆板的非线性振动153.1 基本方程153.2 边界条件193.3 边值问题的解析解213.3.1 一阶迭代中的基本方程和边界条件213.3.2 一阶迭代
11、的求解223.3.3 一阶迭代中的的求解253.3.4 二阶迭代中的基本方程和边界条件263.3.5 二阶迭代解的求解273.4 本章小结30第4章 均布载荷作用下夹层圆板的非线性振动314.1 基本方程314.1.1 空间模态的控制方程324.1.2 求解漂移的代数方程364.1.3 应变协调方程384.2 边界条件394.3 边值问题的解析解434.3.1 一阶迭代中的基本方程和边界条件434.3.2 一阶迭代解的求解444.3.3 一阶迭代中的求解464.3.4 “漂移”的代数方程中系数的求解494.3.5 二阶迭代中的基本方程和边界条件524.3.6 二阶迭代解的求解534.4 数值结
12、果及讨论584.5 本章小结65第5章 均布载荷与周边面内压力联合作用下夹层圆板的非线性振动675.1 均布载荷作用下夹层圆板的静平衡问题675.1.1 基本方程和边界条件675.1.2 静平衡问题的精确静态解685.2 静平衡基础上夹层圆板的自由振动705.3 数值结果及讨论715.4 本章小结73结论74参考文献75攻读硕士学位期间所发表的论文80致谢81作者简历82第1章 绪论1.1 课题研究背景由于近代科学技术的飞跃发展，板壳已经成为当前固体力学研究的一个最活跃的领域，倍受人们关注。板壳分析是现代固体力学的一个重要分支，这门科学几乎与一切工程设计都有关联，对航天、航空、航海、机械、石化
13、、建筑、水利、动力、仪表、交通等工业设计尤其具有指导意义。现今，经典的薄板壳线性理论已较成熟，并在各种工程设计中起着指导作用。然而，在薄板壳非线性领域和厚板壳研究领域，还有许多问题未被解决。板壳是平板和壳体的总称，是最常见的物体形式。其外形特点是厚度比其余两个方向尺寸在数量级上小得多。平分物体厚度的分界面称为中面。若中面是平面，则称此物体为平板；若中面是曲面，则称此物体为壳体。板壳有许多种形式，如波纹板壳、单层板壳、夹层板壳、复合材料层合板壳等等。由于厚度小、质量轻、耗材少、性能好，使板壳成为具有优良特性的结构元件，不仅广泛应用于各种工程结构作为最基本和最主要的构件，而且在自然界和日常生活中也
14、常常碰见，它们与每个人的生活休戚相关，与人类的生存紧密相连。板壳结构分析包括板壳静力学和板壳动力学两大部分：板壳静力学是研究板壳在静荷载作用下所产生的应力和变形，亦即通常所说的刚度、强度和稳定问题，通过分析计算，使板壳设计即美观大方，又安全经济；板壳动力学是研究板壳在动载荷作用下结构的反应，其中一个重要问题是板壳的振动问题。按照厚度的大小，可将板壳分为薄板壳和厚板壳两大类，而大多数板壳属于薄板壳范畴。按照隶属的理论范畴，当板壳弯曲变形时，若其挠度相对于厚度是小量，所建立的微分方程属线性性质，则纳入板壳线性理论范畴；反之，若挠度不是小量，所建立的微分方程属非线性的，则纳入板壳非线性理论范畴。板结
15、构分析随着工业的发展起源于18世纪，Euler最先探索板的弯曲问题。但是，直到1850年，Kirchoff才给出第一个完善的板的弯曲理论。接着，Aron做了薄壳的分析工作。此后，特别是在20世纪，由于工业的飞跃发展，极大地推动了板壳结构分析的发展与应用。上世纪六十年代以来，由于航空、航天等工程中结构元件设计的需要，高强、轻质的复合材料得到广泛的应用，复合材料板壳的非线性问题的分析由此成为研究者们关心的一个热点。近30年来复合材料在航空、航天、船舶、能源、交通、建筑、机械、生物医学和体育等部门已有广泛的应用。可以预言，21世纪将进入复合材料的时代。随着复合材料的开发和应用，复合材料层合板壳的力学
16、分析提到了日程，但目前的这些研究大多属于线性理论，少数非线性分析也仅限于圆柱壳等，这样将需要更精确的力学理论和方法，用来正确反映该类材料的力学性能。到目前为止，板的非线性问题的研究主要基于小应变条件。对大应变材料的分析，由于数学非线性的困难而仅有少数人进行研究过。这一领域的问题相信会受到国内外研究者们的重视。另一方面，人们对一般(各向同性)板的非线性问题的分析也在不断深入。尤其是具有非对称边界条件的单层、双层和多层板的复杂载荷作用下的非线性问题将是今后的一个热门课题。在21世纪，世界正面临一场新的技术革命。现代国防和现代科技的更大发展，将对板壳结构分析提出更多更高的要求。显然，目前的理论与方法
17、不能满足这些要求。因此，紧密结合工程需要，推动我国板壳结构分析与应用事业继续向前发展是一项重要任务。从本质上讲，板壳理论作为精确解理论而言，应该是非线性的。板壳力学的奠基者是20世纪杰出的科学家VonKarman。他于1910年最先提出了著名的薄板大挠度理论的微分方程。由于工程上未提出应用精确理论的迫切要求，加之数学问题求解的巨大困难，所以此后的发展是缓慢的。直到20世纪60年代，随着工业的发展工程上大量提出了非线性现象与问题，它比线性情形更复杂，描述的现象更丰富，更具有挑战性，板壳非线性理论的研究蓬勃兴起，直到今天，它仍然是固体力学研究的一个最活跃的领域而备受人们关注，并推动非线性科学的发展
18、。目前研究的中心课题是板壳的几何非线性弯曲、稳定和振动问题。1.2 修正幂级数法和修正迭代法由于几何非线性关系的引入，导致板壳弯曲问题理论的微分方程是非线性的，这在数学研究上存在极大的困难，因而在VonKarman提出板的大挠度方程后，研究进展十分缓慢，寻求其解法便成为解决问题的关键。人们将解法分为两类：解析法和数值法。数值法常见的有：有限元法、边界元法和有限差分法等；解析法有精确解法和近似解法，常见的精确解法为幂级数法和三角级数法等，常见的近似解法有摄动法、奇异摄动法、逐次逼近法、Ritz法等。寻求精确解一直是人们的希望，因为它不仅使问题得到圆满解决，为工程设计提供最可靠的依据，而且为近似解
19、提供一个检验标准。1934年，Way最先使用幂级数方法求解了板壳非线性力学的经典问题：圆板大挠度问题，给出了精确解的计算结果。1989年，刘人怀发展了Way的方法，提出修正幂级数法，求解了计及表层抗弯刚度的夹层圆板的大挠度方程。在近似求解方面，代表性的工作为Vincent和钱伟长在求解圆板大挠度问题中分别提出的以荷载和中心挠度为摄动参数的摄动法。然而若使用此法去处理壳体非线性问题中的经典问题，即扁球壳的非线性稳定问题，则异常困难。1965年，刘人怀和叶开沅等创立了修正迭代法，克服了求解困难。这一方法结合了钱伟长摄动法和逐次逼近法的优点，不仅程序简单、计算量小，而且收敛快、所获解析解的精度高，而
20、且经过证明，这一方法是收敛的。1.3 论文综述板壳方面的文献可以说是浩如烟海。据统计，近年来仅壳体的文章就以每年数百篇甚至上千篇的速度递增，内容涉及静态和动态的各个方面。要对其作全面的评述是很困难的。刘人怀对这方面做了一定的概述，本节主要对板壳的研究进展作一个简要的介绍。对圆板、椭圆板和环板的分析，近年来也受到重视。1980年， Y.Nath考虑了正交各向异性圆板承受步函数、正弦函数和N型脉冲三种形式的载荷作用而引起的动力响应。取Chebyshev技术展开的前五项，就得到了问题的较精确结果，这是运用幂级数和三角级数展开所不及的。同年，G.V.Rao和K.K.Raju用有限元法分析了具有转动约束
21、的正交各向异性圆板的非线性振动。次年，M.Sthyamoorthy利用Berger假设分析了横向剪切和转动惯量对振动的影响，计算较用Karman理论更简单且结果更好。王晋莹等研究了具有初挠度柔韧圆板的非线性振动问题，基于空间模态假设，利用Galerkin法导出了时间模态的控制方程，最后利用Lindstedt-Poincare摄动法求出了非线性振动的周期解，但文中忽略了静荷载作用下的薄膜力。周又和讨论了中心集中力作用下圆薄板的微幅自由振动问题，基于空间、时间模态假设，利用Galekin法获得了最低固有频率与载荷的特征关系。叶开沅、郑晓静等在研究集中载荷作用下圆板的大挠度问题时，通过先将无量纲的K
22、arman方程用格林函数法化为积分方程，引入解空间，选取迭代格式后，最后分析得到该问题的精确解，并给出了解的收敛性证明。对集中和均布载荷联合作用的圆板，郑晓静和周又和找到了大挠度问题的精确解。叶开沅等人还用修正迭代法和摄动法分别考虑了变厚度圆板和矩形板的大挠度问题。文献也讨论了类似的问题。对设定参数的选取和摄动法、修正迭代法收敛性的分析参见。此外，杜国君讨论了均布载荷作用下圆薄板在非线性弯曲静平衡构形附近的微幅自由振动，利用修正迭代法进行了求解。杜国君和胡宇达利用修正迭代法求出了具有多个阶梯厚度圆形和环形薄板轴对称大幅度自由振动的一种解析解，导出了振幅和非线性振动基频的解析关系式。王京考虑到板
23、的非线性大挠度效应，研究了一个周边固支圆板的自由振动问题，计及静载变形对板动力特征的影响，得到了板的关于时间的非线性动力方程。武兰河等针对周边固定层合复合材料椭圆板的自由振动问题,用伽辽金法求出板弯曲时的格林函数,并用之推出自由振动的频率方程，并采用了一阶剪切变形理论，研究了方法的收敛性和精度，数值结果表明，所用方法思路清晰，程序简单，具有很好的收敛性和计算精度。树学锋和张晓晴对温度场中周边简支圆板的轴对称非线性热弹耦合自由振动问题，运用伽辽金法求解，得到了一个关于时间的非线性常微分方程组，求出了振幅随时间变化的数值解。盛宏玉从三维弹性力学基本方程出发，建立了弹性地基上周边自由的横观各向同性层
24、合圆板轴对称弯曲问题的状态方程，并将板面的法向载荷展成傅里叶贝塞尔级数，从而给出问题的解析解，而且此解满足弹性力学全部方程，计及了所有独立的弹性常数，并满足层间连续性条件。杨平和许高翔采用样条有限点方法分析加筋壳体的动态稳定性问题，基于能量原理，对离散的Mathieu-Hill方程作了推导,从而得到加筋壳体在周期性外载荷作用下的参数共振控制方程，并且通过选用适当方法获得了临界频率方程并予以求解，从而确定了结构的动态不稳定性区域。王卫东等推导出一种研究含振子及弹性支承圆板振动特性的新方法，根据积分方程和富里叶贝塞尔级数理论，首先用第一类贝塞尔函数构造圆板的格林函数，然后由叠加原理将圆板的自由振动
25、问题转化为积分方程的特征值问题，进而将积分方程形式的特征值问题转化为无穷阶矩阵的标准特征值问题，计算时根据精度的要求，截取无穷阶矩阵的标准特征值为有限阶矩阵的标准特征值问题，采用Q-R算法,此方法具有运算简捷、精度高、适用性强的特点,而且能从整体上对系统的动态特性加以研究，为这类系统的优化设计提供有力的工具。席丰等以有限变形连续体的最小加速度原理为基础，得到了在任意横向动力载荷作用下各类典型工程边界条件下的梁以及在任意轴对称横向动力载荷作用下各类典型工程边界条件下的圆板的有限变形运动方程。夹层板壳是由三层材料组合而成，上、下两块表面层很薄，中间是一块软而轻的厚夹心。这是一种新型的结构元件，具有
26、较高的强度、较轻的质量和较大的刚度等许多突出的优点，在航空、宇航、船舶工业和包装等工程中起了重要的作用。夹层板的研究主要是对夹层矩形板和夹层圆板的研究。对于夹层矩形板的研究，已经取得了一定的成果，自从1940年开始，已经发表了一些关于夹层矩形板的论文。早在50年前，Reissner首先建立了具有软夹心和极薄表层的夹层矩形板的大挠度理论。此时，视表层如薄膜一样，而且忽略了表层的抗弯刚度。然而由于非线性数学的困难，直到1967年，才有Kan和Huang用摄动法讨论了在均布荷载作用下的夹层矩形板的大挠度问题。除此之外，Hoff、Libore和Batdorf提出的著名理论以及Bhimataddi和Ch
27、an drasheknara等人所获得的解，都是对夹层矩形板进行研究所取得的成果。刘人怀等人在这方面也进行了一定的研究， 文献44中，应用了Hamilton原理建立了具有软夹心和薄表层的夹层矩形板的非线性理论，之后对简支和铰支两种边界条件下的夹层矩形板的非线性自由振动问题进行了研究，且获得了非线性周期与振幅的关系式。文献45中，应用变分法导出了具有软夹心的夹层矩形板的非线性弯曲理论的基本方程和边界条件，并且使用摄动法研究了均布横向载荷作用下的简支夹层矩形板的非线性弯曲问题，得到了相当精确的解。研究夹层矩形板的同时，对于夹层圆板的研究同样引起了一些人的兴趣，但大多数均局限于线性分析，仅有很少几篇
28、涉及到夹层圆板的大挠度问题。中国科学院力学研究所板壳组对夹层圆板的非线性弯曲问题用摄动法进行了分析。刘人怀、Alwan和Kamiya等人也先后讨论了夹层圆板的非线性弯曲和振动问题。在1980年和1981年，刘人怀进一步在这方面做了一些工作，首次建立了均布荷载和边缘力矩作用下的夹层圆板的非线性弯曲的基本方程，并且用叶开沅和刘人怀在1965年提出的修正迭代法进行了求解。文献53中，刘人怀建立了计及表板抗弯刚度的具有软夹心的夹层圆板的更精确的非线性弯曲理论，并且给出了忽略表层抗弯刚度的简化理论。接着，刘人怀和施云方应用幂级数方法得到了承受均布荷载的夹层圆板的精确解，验证了文献48中用修正迭代法所得的
29、解析解的精度，并得知解析解的精确性是十分令人满意的。刘人怀还用摄动法讨论了更困难的承受同心圆载荷的夹层圆板。然而这些工作均将夹层板的表板视为薄膜，即忽略了表板的抗弯刚度。对于不同类型的大挠度的夹层板而言，这一近似的适用性便成为一个疑问。为此，在文献54中，刘人怀导出了计及表板抗弯刚度的夹层圆板非线性弯曲的一般方程。由于数学的复杂性，此时尚未得到这些方程的解。于是，刘人怀和朱高秋提出了幂级数法，得到了均布荷载作用下的具有滑动固定边界条件的夹层圆板的解。并且与文献58中的结果进行了比较，最后可知此解在工程应用中可用作更精确的基础。杜国君对夹层圆板的轴对称大幅度自由振动加以探讨，利用哈密顿原理导出了
30、夹层圆板轴对称大幅度自由振动的基本方程，并且给出了表板很薄情况下的简化形式，利用修正迭代法求出了具有滑动固定边界条件的夹层圆板轴对称大幅度自由振动的一种解析解。在此基础上，杜国君和陈英杰对夹层圆板大幅度振动问题做了进一步的研究，使用修正迭代法给出了具有滑动固定边界条件并计及表板抗弯刚度的夹层圆板的轴对称大幅度自由振动问题的解。杜国君和田雨宝讨论了均布荷载作用下夹层圆板在非线性弯曲静平衡构形附近的微幅自由振动，并利用修正迭代法进行了求解，给出了其固有频率和载荷的特征关系。杨静宁等研究了夹层圆板的非线性轴对称弯曲问题，采用打靶法和解析延拓法对周边滑动固定和周边固定两种边界条件下圆板的弯曲进行求解，
31、获得了有意义的数值解，并与采用修正迭代法得到的解析解和采用幂级数方法得到的精确解进行了比较，结果非常令人满意。李跃军等根据Hoff提出的夹层板理论和胡海昌、柳春图对该理论的简化理论，提出了矩形夹层板弯曲问题解析解的一般格式，它可以用于求解各种边界条件下矩形夹层板弯曲问题的Hoff理论的解析解，从而使得考虑表层抗弯刚度的夹层矩形板弯曲问题求解格式化。吴建成等还建立了多夹层壳体小应变状态下的中转动二阶大挠度的理论，接着进行适当的简化，获得了中转动、中小转动的一阶大挠度的理论，并将这一理论具体地运用到多夹层扁壳中去，给出了正交异性材料的多夹层扁壳的大挠度问题平衡方程和边界条件及宏观各向异性材料多夹层
32、扁壳的大挠度方程，同时求解了各种载荷及边界条件下矩形底面多夹层扁壳的非线性弯曲问题和多夹层板、扁柱壳在轴向压力作用下的稳定问题以及一般形状的板壳在边界作用力下的变形。徐加初、王乘和刘人怀研究了均布载荷作用下边缘可移夹支具有正交异性复合材料表层和软夹心的夹层圆锥壳非线性轴对称屈曲问题，利用变分原理导出具有正交各向异性表层夹层圆锥壳在均匀外压作用下的非线性轴对称屈曲问题的基本方程，采用修正迭代法求得了可移夹支边界条件下壳体临界屈曲载荷的解析表达式，对几种典型的纤维增强复合材料表层夹层圆锥壳给出了数值结果和图表。王志伟和刘人怀考虑面层横向剪切变形以及横向剪应力在面层和芯层粘结处连续，应用Hamilt
33、on原理建立了正交铺设复合材料面层夹层扁壳新的非线性精化理论，在静力问题情形，控制方程和边界条件化简为用四个基本未知函数表述，而且分析了简支边界条件下正交铺设复合材料面层夹层圆柱壳和夹层球壳的非线性弯曲，得到了其挠度响应和层间应力响应。吴晖等给出了一种把具有波纹型夹心的正交各向异性夹层板的控制方程组化为仅包含一个位移函数的单一方程的简单方法，获得了在四边简支条件下其自由振动固有频率的精确解，并且还对两种具有重要实际意义的特殊情况进行了讨论。徐加初等研究了夹层椭圆形板的非线性自由振动问题，在以五个位移分量表示的夹层椭圆板的运动方程的基础上，采用伽辽金方法得到非线性振动周期与振幅关系的解析表达式。
34、1.4 本课题研究的内容近年来，随着航天、航空和航海等工业部门的飞跃发展，作为其重要结构元件而且具有刚度高、质量轻等优良特性的夹层板得到了更广泛的应用和更大的关注。因此，近年来，许多研究者对这种板进行了研究。但是面临非线性微分方程和夹层结构复杂的巨大困难，以往人们大多数研究较简单的夹层板的线性力学问题，仅有少数人研究了夹层板的非线性问题。显然，这种研究状况还不能满足工程实际的需要。因此，对其进一步的研究具有一定的理论和实际意义。本文采用一种解析法来研究静荷载作用下夹层圆板非线性振动问题。首先给出了夹层圆板的静力平衡问题基本方程及各种边界条件和该问题的精确解。其次，在静平衡基础上，考虑其大幅度的
35、非线性振动，应用哈密顿原理给出其基本方程和夹层圆板周边为固定、滑动固定、简支、铰支时的边界条件的表达式，并得到了各种边界条件下的夹层圆板振动的幅频载荷特征关系。在此过程中，基于时间模态假设和变分法，将挠度和应力函数设为时间和空间函数的分离形式，时间函数取谐函数，空间函数未知。所假设的振动模态包含两个未知的内禀量，即振频和一个由于静变形而使板具有不对称刚度特性的非线性振子的“漂移”的小量，这两个量均与载荷、边界条件和振幅有关。将假定的模态函数代入本问题的变分方程，导出空间模态的控制方程和求解“漂移”的代数方程。采用修正迭代法求出了该问题在固定、滑动固定、简支、铰支不同边界条件的近似解析解。然后，
36、给出了夹层圆板在周边滑动固定且受面内压力作用时该问题的解。讨论了静荷载对非线性振频及“漂移”的影响。第2章 均布载荷作用下夹层圆板的静平衡问题夹层板是航空、宇航和船舶制造等工业中的重要元件，由于这种板具有较高的刚度和较轻的质量，所以在工业中应用十分广泛。但是，对于夹层板壳的大挠度问题，由于数学上非线性的困难而仅有少数人进行过研究。刘人怀等对夹层板问题作了许多有益的研究工作。本章参考文献58，对均布载荷作用下夹层圆板大挠度问题做一简单的介绍，文献中，作者运用幂级数方法，求解了在均布载荷作用下具有不同边界条件的夹层圆板大挠度问题，获得了精确解，所处理的边界条件是：(1)固定；(2)滑动固定；(3)
37、简支；(4) 铰支。2.1 基本方程图2-1夹层圆板的坐标和几何尺寸Fig.2-1Dimensions and coordinate of circular sandwich plate今考虑图2-1所示夹层圆板，半径为，承受横向均布载荷的夹层圆板。应用文献65所给的简化方程，即可得到以夹层圆板中面上的挠度和径向应力为基本未知量的非线性微分方程组 (2-1)式中 夹层圆板上下表板中面间的距离夹层圆板的表板厚度夹层圆板中夹心的剪切模量夹层圆板表板的杨氏模量夹层圆板的抗弯刚度为了将微分方程组(2-1)转化成无量纲的形式，我们引入下列符号 (2-2)其中 夹层圆板中面内的环向应力 夹层圆板的表板的泊
38、松比将(2-2)中的各式代入(2-1)，并对其进行化简，则得到均布载荷作用下夹层圆板的无量纲非线性静平衡方程组 (2-3)式中2.2 边界条件非线性方程组(2-1)是在固定、滑动固定、简支、铰支四种常用边界条件下进行求解，这四种边界条件可以表示为1. 固定 (2-4)2. 滑动固定 (2-5)3. 简支 (2-6)4. 铰支 (2-7)其中 夹层圆板中面上点的径向位移 (2-8a)夹层圆板中面法线在径向平面内的转角 (2-8b)夹层圆板的径向弯矩 (2-8c)且径向应力与环向应力之间满足 (2-8d)现将(2-8a)(2-8d)转化为无量纲形式，将(2-8d)和(2-2)代入(2-8a)，(2
39、-2)代入(2-8b), (2-2)代入(2-8c),则有 (2-9a) (2-9b) (2-9c)将(2-2)、(2-9a)(2-9c)代入(2-4)(2-7)，则 (2-4)(2-7)可以转化为1. 固定 (2-10)2. 滑动固定 (2-11)3. 简支 (2-12)4. 铰支 (2-13)2.3 夹层圆板的精确静态解由上一节可知，只要有了和，就能得到所有应力和位移的计算公式，其中无量纲环向应力可以由式(2-8d)求得。积分，并且注意到时的边界条件，则可得到无量纲挠度的表达式。即 (2-14)现在应用幂级数方法来求得上述非线性方程组(2-3)和边界条件(2-10)(2-13)下的静态精确
40、解。假定和分别是的对称函数和反对称函数，用幂级数表示为 (2-15a,b)其中(0,1,2,3,)是待定常数。显然，这些级数已经满足夹层圆板的两个中心条件。将(2-15a,b)代入(2-14)，则有 (2-16a,b)这说明：如果知道了常数(0,1,2,3,)，则夹层圆板的所有应力和位移都能够被确定。将级数(2-15a,b)代入(2-3)，并注意到方程组对任何都成立，于是得到常数之间的关系式(2-17)为了确定常数，要应用前面每种边界条件中尚未用过的两个条件。将(2-15a,b)代入这两个边界条件，便得到关于待定常数的非线性方程组，由此求出不同值及边界条件下的值,具体过程可参见文献58。2.4
41、 本章小结对均布载荷作用下夹层圆板大挠度问题做了简要介绍，主要讨论了如下的两个问题：1. 均布载荷作用下夹层圆板的非线性静平衡方程和简支、铰支、固定、滑动固定四种边界条件的建立。2. 采用幂级数法给出了均布载荷作用下夹层圆板大挠度问题的精确解。第3章 夹层圆板的非线性振动第二章对夹层圆板的大挠度问题做了简要介绍，对于夹层圆板的非线性振动问题，文献61,62有过较详细的讨论。本章以文献61为例，讨论夹层圆板振动问题基本方程的建立以及问题的求解方法。此文献中，作者应用变分法导出了决定圆板振动的非线性特征方程和边界条件，并使用修正迭代法求解了该方程，导出了具有固定、滑动固定、简支、铰支四种边界条件下
42、的夹层圆板振幅和非线性振频的解析关系式。3.1 基本方程仍考虑图2-1所示的夹层圆板，基本假设与文献53相同，由53知夹层圆板在轴对称变形时的总势能为 (3-1)式中 夹层圆板中面上的挠度夹层圆板的中面法线在径向平面内的转角夹层圆板中夹心的剪切模量夹层圆板表板的抗弯刚度夹层圆板中面内的径向应力夹层圆板中面内的环向应力且径向应力和环向应力分别满足 (3-2)式中 夹层圆板中面上点的径向位移对于夹层圆板的轴对称运动情形，如果略去夹层圆板的径向运动动能，则其动能表达式为 (3-3)则哈密顿函数可以表达为 (3-4)因此,由哈密顿原理有 (3-5)为了得到应变协调方程的表达式，现将(3-2)中的消去，
43、则有 (3-6)利用(3-5)并且考虑到如下边界条件 (3-7a) (3-7b)则可得到 (3-8a,b,c)方程(3-6)和(3-8a,b,c)即是夹层圆板大幅度振动的基本方程。若夹层圆板的表板很薄，即，则在(3-7a)、(3-7b)、(3-8a,b,c)中可取，则可得到下面的简化方程和边界条件 (3-9a,b,c)(3-10)式中 夹层圆板的夹心的剪切模量而应变协调仍为(3-6)。现在考虑夹层圆板的自由振动，假设动挠度为 (3-11)则由(3-6)、(3-9c)有 (3-12a) (3-12b) (3-12c)其中是夹层圆板大幅度振动的量纲为一的振频，是未知的空间函数。将(3-11)、(3
44、-12a)、(3-12b)、(3-12c)代入(3-9a)的左端，并且在区间上应用熟知的Kantorovich平均法可得到 (3-13)将(3-11)、(3-12a)、(3-12b)、(3-12c)代入(3-9c)并对求一阶导数，再与(3-13)联立得 (3-14)将(3-11)、(3-12a)、(3-12b)、(3-12c)分别代入(3-9b)、(3-6)并将两式联立得 (3-15)为了将上式转化为无量纲的形式，为此，我们引入下列符号 (3-16)将(3-16)代入(3-14)、(3-15),并化简得 (3-17) (3-18)3.2 边界条件方程(3-17)、(3-18)是在固定、滑动固定
45、、简支、铰支四种常用边界条件下进行求解，这四种边界条件可以表示为1. 固定 (3-19)2. 滑动固定 (3-20)3. 简支 (3-21)4. 铰支 (3-22)现将这些边界条件转化为无量纲形式,夹层圆板在振动过程中，其值可以由式(3-13)积分并将(3-16)代入，整理得 (3-23)当时，即 (3-24)而夹层圆板在振动过程中的径向位移应该为将(3-8b) 、(3-12b)、(3-16)分别代入上式，且当时，对任何值都成立，则有 (3-25)若，则将(3-23)代入上式并化简，得 (3-26)将(3-24)(3-26)代入(3-19)(3-22)四种边界条件，令,则这四种边界条件变为1. 固定(3-27a) (3-27b)2. 滑动固定 (3-28a)
