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1、第二章 函数的极限与连续,2.1 数列的极限2.2 数项级数的基本概念2.3 函数的极限2.4 极限的性质和运算法则2.5 无穷小量与无穷大量2.6 极限存在的准则与两个重要极限2.7 函数的连续性2.8 函数的间断点,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽(魏晋时期公元3世纪杰出的数学家),一、概念的引入,2.1 数列的极限,2、截丈问题：,战国时期哲学家庄周所著的庄子天下篇引用过一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”,把每天截后剩下部分的长度记录如下（单位：尺）：,4,1.定义,二、数列及
2、其简单性质,例如,5,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,6,2.数列的表示法,7,介绍几个数列,例1,8,9,所有的奇数项,所有的偶数项,10,所有奇数项,11,12,(1)数列的单调性,3.数列的性质,13,(2)数列的有界性的定义,几何意义：,14,例2,观察例1 中的几个数列：,15,16,17,18,有些数列虽然无界,但它或者是下方有 界的,或者是上方有界的.,19,例3,即-1，1，-1，1,当n无限增大时，,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,结论：当 n“无限增大”时,数列的变化趋势有三
3、种情形：,“无限接近”某个常数 A。,数列极限的直观描述:对于数列 和常数A，如果当 n无限增大时,无限接近 A，则称该数列收敛于A或以A为极限。,问题：,（1）如何严格描述两个“无限”？,（2）如何用准确的数学语言来描述一个判断法则？,三、极限的直观定义,无限增大；,的变化趋势不定；,34,对数列(2),的实质,1、,必须,10,100,1000,结论：,条件：,对 使得当 n N时,恒有 成立。,四、精确定义,时，无限接近1,35,2、定义,则称数列 an在 n时以常数 A为极限。也称数列收敛于A。记,否则说数列发散。,当 n N时,有,对于数列 an及常数 A,如果,(“N”语言),3、
4、注意：,（2）而N与有关。一般 越小,N 越大;数列的极限与前面有限项无关。,（3）极限研究的是数列在无穷远处的动态变化趋势，与数列中的某一具体项无关。,（1）定义中 是用来刻划an与A的接近程度的;an与A 要多么接近就有多么接近。,（4）极限是一种新的运算，它的运算对象是数列，是一种“无限”、“动态”运算。,不等式|an-A|N)可改写成 A-N),则,4、几何意义,若把 an 看成数轴上的点,在数轴上任意取定A的 邻域,aN 以后的所有点都落在 A 的 邻域内.,A+,A,A,(2)若把(n,an)看成平面上的点,在平面上取两直线y=A 和 y=A+;当n N时,所有点(n,an)都落在
5、两直线所形成的带形区域内.如图,A,A+,A,N,n,o,39,例4 用数列极限定义证明,五、性质,1、收敛数列的极限唯一,2、收敛数列必有界.,3、(保号性)若 则有：,43,例如,数列,取奇数项:,取偶数项:,都是(1)的子数列.,又如,取奇数项:,取偶数项:,4、子数列及其敛散性,都是(2)的子数列.,1,1,1,1,-1,44,收敛数列与其子数列的关系：,(1).逆命题不成立.,(2).逆否命题成立.,注意,子数列发散的数列一定发散,子数列收敛的数列未必收敛,45,例如,数列,例如,数列,结论：,证明*：,必要性：,充分性：,47,微积分的概念常常是由局部到整体然后再从整体回到局部（如子数列问题，左右极限、连续、导数问题，整体区域与部分区域的连续和积分问题）,所以在微积分的证明和计算中常常是将整体问题分成几个局部问题来分别证明和计算。,在微积分的研究中，常常通过研究“有限”把握,“无限”，通过研究“静态”把握“动态”，通过研究“简单”把握“复杂”。如：极限、导数、微分的定义。,
