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1、必修五：不等式知识点一：不等式关系与不等式一、不等式的主要性质：(1) 对称性： (2) 传递性：(3) 加法法则：； (4) 乘法法则：； (5)倒数法则：(6)乘方法则：(7)开方法则：【典型例题】1.已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是()Aa2b2 Ba2bab2 C2a2b2.如果，则下列不等式中正确的是（ ）A B C D3. 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：（1）若ab0，bcad0，则0；(2)若ab0，0，则bcad0； (3)若bcad0，0，则ab0，其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D34. 设a、b、c、dR，且ab，cd，则下列结论中正确
2、的是()A. acbd Bacbd Cacbd D.【习题训练】1：已知，且、不为，那么下列不等式成立的是（ ）A B C D2:下列命题中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则3. 下列命题中正确命题的个数是（ ）若，则；，则；若，则；若，则AB CD4. 如果，且，那么，的大小关系是（ ）ABC D5. 用“”“”号填空：如果，那么_6. 已知，均为实数，且，则下列不等式中成立的是（ ）A BC D7. 已知实数和均为非负数，下面表达正确的是（ ）A且 B或C或 D且8已知，则2a+3b的取值范围是（ ）A B C D 二、含有绝对值的不等式1绝对值的几何意义：是指数轴上点到原
3、点的距离；是指数轴上两点间的距离 2、 3当时，或，； 当时，4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：，或（2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方【典型例题】1. 给出下列命题：；其中正确的命题是（ ）AB CD 2. 设a，bR，若a|b|0，则下列不等式中正确的是()Aba0 Ba3b30 Ca2b203.不等式的解集为（ ）（运用公式法）A B C D 4. 求解不等式：（运用零点分段发）5.函数的最小值为（ ） （零点分段
4、法） A B C D【习题训练】1. 解不等式2. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围为_。三、其他常见不等式形式总结：分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 指数不等式：转化为代数不等式 对数不等式：转化为代数不等式例1 .不等式的解集是_.例2. 解不等式例3. 解关于x的不等式例4. 不等式的解集是（ ） 四、三角不等式： 五、不等式证明的几种常用方法 比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。【典型例题】1.若，则（ ）A B C D2.若或，则与的大小关系是（ ）ABCD3. 若，则, , , 按由小到大的顺序排列为 4. 若a，b，c则a，b，c按从小到大排
5、列应是_5. 设a2，b2，c52，则a、b、c之间的大小关系为_6. 下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是（ ）A B C D7. 若、是任意实数，且，则（ ）AB C D8. 已知，求证：【习题训练】1. 不等式，恒成立的个数是（ ）ABCD2. 已知，那么，的大小关系是（ ）ABCD3. 若，则，的大小关系是（ ）ABCD随值的变化而变化4. 已知、，且，比较与的大小六、数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿例题：不等式的解为（ ）A1x1或x2Bx3或1x2 Cx=4或3x1或x2Dx=4或x0,b0，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D.4. 关于实数x的方程有两个正根,则实数m的取值
6、范围是 .5. 已知不等式的解集为.(1)求a,b; (2)解不等式.【习题训练】1.解下列不等式(1)(x1)(3x)52x； (2)x(x11)3(x1)2 （3）(2x1)(x3)3(x22) 2不等式（x+2）(1x)0的解集是（ ）A或x1 BxC21 D3设f(x)=x2+bx+1，且f(1)=f(3)，则f(x)0的解集是（ ）A BRC1 D14.已知集合,则集合等于( )A. B. C. D. 5若不等式ax+x+a0的解集为 ，则实数a的取值范围（ ）A a-或a B a C -a D a 6:设m,解关于x的不等式.7.若，则不等式的解是（ ） 8. 若ax2bx10的解
7、集为x|1x2，则a_，b_9. 不等式(x+5)(32x)6的解集为（）x1或1x1或 1 10设一元二次不等式ax2+bx+10的解集为1，则ab的值是（）656511不等式组的解集为（ ）A（0，） B（，2） C（，4） D（2，4）12设集合, , 则AB=（） A B C D13关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根，则a的取值范围是 14不等式（x-2）0的解集为_知识点三：简单的线性规划1、一元一次不等式与线性规划(1) 若，则点在直线的上方 若，则点在直线的下方(2) 线性规划：【典型例题】1.下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是()A(0,2)B(2
8、,0) C(0，2) D(2,0)2已知变量x、y满足条件则xy的最大值是()A2 B5 C6 D83.若实数x、y满足，则的取值范围是()A(0,1)B. C(1，) D.3已知实数x，y满足如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于() A7B5C4D3【提高训练】1已知变量x、y满足条件则xy的最大值是()A2 B5 C6 D82点P(x，y)在直线4x3y0上，且满足14xy7，则点P到坐标原点距离的取值范围是()A0,5 B0,10 C5,10 D5,153设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线xy10距离的最大值是_5. 设、满足条件，则的最小值【习题训练】1
9、 已知实数x、y满足则目标函数zx2y的最小值是_2 不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有_个3 若实数x，y满足不等式组则2x3y的最小值是_4 若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、2,6B、2,5C、3,6D、（3,55知识点四：基本不等式（1） ，(当且仅当时成立等号)，扩展：平均不等式：平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b为正数），即（当a = b时取等）（2） 对勾函数定义域，值域奇函数渐近线：直线和直线拐点：，、基本不等式1.基本不等式(1).(2),其中和分别叫做正数a,b的 平均数和 平均数.变式:(3) (4)以上各不等式当
10、且仅当 时取等号.2.最值问题设都为正数,则有(1)若(和为定值),则当时,积取得最大值 ;(2)若(积为定值),则当时,和取得最小值 .利用基本不等式求最值应注意:x,y一定要都是正数;求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,看积xy 是否为定值;等号是否能够成立.题型一：求值域技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。技巧二：凑系数例1. 当时，求的最大值。技巧三： 分离例3. 求的值域。题型二：条件求值1.若实数满足，则的最小值是 .2：已知，且，求的最小值。3.已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.4. 已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.【基
11、础训练】1.下列结论正确的是_A .当且时， B.时， C当时，的最小值为2 D.时，无最大值2.已知a0，b0，ab1，则的取值范围是()A(2，)B2，) C(4，) D4，)3.若x0,y0且，则xy的最小值是 ；4.若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 ；5.x1,y1且lgx+lgy=4则lgxlgy最大值为 ；6.点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则最小值为 ；7.已知正整数a，b满足4ab30，使得取最小值时，则实数对(a，b)是()A(5,10) B(6,6) C(10,5) D(7,2)8. 若，且，则，中最大的是_9.设函数则( )A. 有最大值 B.有最
12、小值 C.是增函数 D.是减函数10. 函数的值域为（ ）A.2,) B.（,2 C.2,2 D.（,22,)11.已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ；12. 不等式的最大值是（ ）(A)(B)(C)(D)【提高训练】1.已知，则的最小值 2已知点()在直线上, 其中,则（ ）A.有最大值为2 B.有最小值为2 C.有最大值为1 D.有最小值为13. 已知非负实数、满足，则的最大值是（ ）A. B. C.5 D.104. 设,则( )A.有最大值8 B.有最小值8 C.有最大值8 D.有最小值85. 设，则（ ）A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值4 D.有最小值4
13、6. 已知点在直线上移动，则的最小值是( )A.8 B.6 C. 3 D. 47.已知xy0，求的最小值及取最小值时的x、y的值.【习题训练】1.下列命题中正确的是 A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、的最小值是2. 若，则的最小值是_3. 正数满足，则的最小值为_4 . 若,且,则在下列四个选项中,较大的是() A. B. C. D.5. 设a，b，a+2b=3 ，则最小值是 ；6. 若x2y1，则2x4y的最小值是_7. 若是正数，且，则有A.最大值16 B最小值 C最小值16 D最大值8.函数的最小值是（ ）A）24 B）13 C）25 D）26知识点五：不等式的综合应用常见、常用结论：（1） （2）1. 不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_2. 若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_3. 若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.4.
