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1、抛物线与方程【知识讲解】1、定义平面内，到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹（定点不在定直线上）.其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线.【注】若定点在直线上，则轨迹为过该点垂直于直线的一条直线.2、抛物线的方程及其简单性质标准方程焦点坐标准线方程3、通径过抛物线的焦点作直线轴，交抛物线于两点，弦长，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦.4、焦点弦的性质（1）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则，；定值，定值；定值；.（2）过抛物线的焦点作倾斜角为（斜率为）的直线交抛物线于（在上方）两点，则；.（3）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为，
2、设中点为，过作准线的垂线，垂足为，则；以为直径的圆与准线相切，切点即为；以为直径的圆与轴相切； ；.（4）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为，准线与轴交于点，为坐标原点，则；三点共线；三点共线；（5）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则.（6）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为准线上的一动点，且直线、的斜率均存在，则直线、的斜率成等差数列，即.5、过点的直线交抛物线于两点，则定值；定值；时，定值.6、设点是抛物线的焦点，是抛物线上的个不同的点，若，则.【典型例题】例1、已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（ ）A椭圆B. 双曲线
3、C. 抛物线D. 圆【变式】已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（ ）A椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 直线例2、点与点的距离比它到直线的距离小2，则的轨迹方程为_.【变式】动圆与定直线相切且与定圆:相外切，则动圆圆心的轨迹方程为_.【变式2】到轴的距离比到点的距离小2的动点的轨迹方程为_.例3、抛物线的焦点坐标为_.【变式】1【2014上海】若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_.【变式2】抛物线恒过定点，的准线为轴，则的顶点的轨迹方程为_.例4、在抛物线上一点，使它到定点和焦点的距离之和最小，并求出距离之和的最小值.【变式1】设是抛物线上的一个动点，则点到直线与点到
4、轴的距离之和的最小值为_.【变式2】设是抛物线上的一个动点.（1）求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；（2）求点到直线的距离与点到抛物线焦点距离之和的最小值.【变式3】已知，点的坐标为，点、分别在图中抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，那么的周长的取值范围为 例5、已知抛物线上存在三点，且的重心为抛物线的焦点为，则_.【变式】已知抛物线的焦点为，若该抛物线上存在四点、，满足，则_.例6、直线过，且与抛物线交于两点，且，则直线的方程为_;_.例7、抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,则直线的斜率为_.【变式】【2014新课标】已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，
5、是直线与的一个交点，若, 则_.例8、过抛物线的焦点作弦，点、，且，则_.【变式1】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为，则_.【变式2】过抛物线的焦点作弦，点、，且，则重心的横坐标为_.【变式3】过抛物线的焦点作弦，点、，且，则_.例9、抛物线的动弦长为，求弦中点到轴的最短距离.【变式】抛物线的动弦长为，求弦中点到轴的最短距离.例10、若抛物线上存在关于直线对称两点和，求实数的取值范围.例11、【2014四川】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是_.例12、已知抛物线，过定点作两条互相垂直的
6、直线,与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为，若已知弦的中垂线在轴上的截距为，则弦的中垂线在轴上的截距为_. 例13、设为抛物线准线上的任意一点，过点作曲线的两条切线，设切点为.直线是否过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由.例14、过抛物线的焦点作相互垂直的两条直线,抛物线与交于点与交于点证明：无论如何取直线,都有为一常数.例15、抛物线的焦点恰是椭圆的一个焦点，过点的直线与抛物线交于点.（1）求抛物线的方程； （2）是坐标原点，求的面积的最小值； （3）是坐标原点，证明：为定值. 【变式1】已知定点，直线，点为坐标平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且设动点的轨迹为
7、曲线（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线有两个不同的交点、，求证：；（3）记与的夹角为（为坐标原点，、为（2）中的两点），求的取值范围【变式2】已知抛物线，直线交此抛物线于不同的两个点、，且.（1）证明和均为定值；（2）证明直线恒过定点；（3）求的中点的轨迹方程；（4）过原点作的垂线，垂足为，求的轨迹方程.（5）对于上除原点外的任意一定点，若仍有，请问是否还有直线恒过定点，若是，请求出定点；若否，请说明理由.【变式3】设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于点，且.（1）求抛物线的方程；（2）若(为坐标原点)，且点在抛物线上，求直线倾斜角.（3）若点是抛物线的准线上的一点，直线的斜率分
8、别为.求证：当为定值时，也为定值.例16、在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.（1）求轨迹为的方程（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.例17、已知抛物线，直线交此抛物线于不同的两个点、（1）当直线过点时，证明为定值；（2）如果直线过点，过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、设线段的中点为，线段的中点为，记线段的中点为问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由例18、动圆过定点，且与直线相切，其中.设圆心的轨迹的程为（1）求；（2）曲线上的一定点(0) ，方向向量的直线（不过P点）与曲线交与A、B两点，设直线与的斜率分别为，计算；（3）曲线上的两个定点、，分别过点作倾斜角互补的两条直线分别与曲线交于两点，求证直线的斜率为定值.例19、已知抛物线和，过抛物线上一点作两条直线与相切与两点，圆心到抛物线准线的距离为.(1)求抛物线的方程；(2)当点坐标为时，求直线的方程； (3)设切线与的斜率分别为，且，求点的坐标.例20、过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线交于两点，自向直线作垂线，垂足分别为、.（1）当时，求证：;（2）记、的面积分别为，是否存在实数，使得对任意的，都有成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
