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1、 Y.P.M数学竞赛讲座 1 竞赛中的直线与圆 1.两点距离例1:(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设xk,yk(k=1,2,3)均为非负实数,则+的最小值为 .解析:类题:1.(2001年全国高中数学联赛试题)若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为 . (2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若实数x,y满足(x+2)2+(y-5)2=9,则(x-1)2+(y-1)2的最大值为 .2.(2007年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系内,有四个定点A(-3,0),B(1,-1),C(0,3),D(-1,3)及一个动点P,则|PA|+|PB|+|
2、PC|+|PD|的最小值为_.3.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=+的最小值是 . (2011年台湾高校(对澳门地区)试题)设f(x)=+,则f(x)的最小值为 .4.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a是正数,若f(x)=+(xR)的最小值为10,则a= .5.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)函数y=-达到最大值时,x的值是 . (2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)当xR时,函数y=-( )(A)没有最大值和最小值 (B)有最大值,没有最小值 (C)没有最大值,有最小值 (D)有最大值和最小值6.(1992年全国高中数学联
3、赛试题)函数f(x)=-的最大值是 . (2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=-的最大值是 . 2.直线问题例2:(1988年全国高中数学联赛试题)在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点.我们用I表示所有直线的集合,M表示恰好通过一个整点的直线的集合,N表示不通过任何整点的直线的集合,P表示通过无穷多个整点的直线的集合,那么表达式:MNP=I;N;M;P.中正确的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:类题:1.(1987年全国高中数学联赛上海初赛试题)若直线(a-1)y=(3a+2)x-1不通过第二象限(x0),则a的取值范围是_.2.(1997年全国高
4、中数学联赛上海初赛试题)在直角坐标系中,过点(1,2)且斜率小于0的直线中,它在两坐标轴上的截距之和最小的直线的斜率为_.3.(2007年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知P(2,1),过点P作直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,则使AOB(O为坐标原点)的周长最小的直线l的方程是 . 2 Y.P.M数学竞赛讲座 4.(2000年全国高中数学联赛试题)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离中的最小值是 .5.(1999年全国高中数学联赛试题)已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,
5、那么,这样的直线的条数是_.6.(2011年安徽高考试题)(理)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号).存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数;存在恰经过一个整点的直线. 3.直线方程例3:(2008年全国高中数学联赛广东初赛试题)若点(1,1)到直线xcos+ysin=2的距离为d,则d的最大值是 .解析:类题:1.(1992年第三届“
6、希望杯”全国数学邀请赛(高二)m是任意实数,是给定的实数,由关于x和y的方程确定的动点(x,y)在平面直角坐标系内对应的图形是 .2.(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)己知0k4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使这个四边形面积最小的k的值为 .3.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)当取遍全体实数时,直线xcos+ysin=4+sin(+)所围成的图形的面积是 .4.(2009年江西高考试题)设直线系M:xcos+(y-2)sin=1(02).对于下列四个命题:存在一个圆与所有直线相交;存在一个圆与所有直线不
7、相交;存在一个圆与所有直线相切;M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号). 4.位置关系例4:(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)己知直线l1:x+2y-4=0,直线l2:2ax-y+1=0和坐标轴围成的四边形有外接圆,则a的值等于 .解析: 类题:1.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m+1)x+y-2=0和4 m2x+(m+1)y-4=0.则m的值为 .2.(1987年上海高考试题)若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合,则a等
8、于( )(A)-1和2 (B)-1 (C)2 (D)3.(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)若直线l1:(2m+1)x-4y+3m=0与直线l2:x+(m+5)y-3m=0平行,则m的值为 .4.(1988年全国高中数学联赛试题)已知直线l:2x+y=0,过点(-10,0)作直线ml,则m与l的交点坐标为_.5.(2006年上海春招试题)在ABC中,若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,则直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是( )(A)平行 (B)垂直 (C)重合 (D)相交不垂直 Y.P.M数学竞赛讲座 3 6.(2009年全国
9、I高考试题)若直线m被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是:150;300;450;600;750.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号). 5.轴对称性例5:(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,若2x1x2=-1,则2m的值是 .解析: 类题:1.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)一束光线从点A(-1,1)发出并经x轴反射,到达圆(x-2)2+(y-3)2=1上一点的最短路程是 .2.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二
10、)试题)在平面直角坐标系内,从点P(5,2)发出的光线射向x轴,经x轴反射后射到直线y=x上,被反射后恰好经过点Q(10,9),光线由P到Q走过的路程的长等于 .3.(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知点A(m,n)在直线x+3y=41上,其中0n0)关于直线l:6x+ny-5=0对称,则m+n= . (2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一张坐标纸对折一次后,点A(0,4)与点B(8,0)重叠.若点C(6,8)与点D(m,n)重叠,则m+n= .5.(2008年北京高考试题)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对
11、称时,它们一之间的夹角为( )(A)300 (B)450 (C)600 (D)9006.(2007年四川高考试题)己知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于( )(A)3 (B)4 (C)3 (D)4解析: 6.平面区域例6:(1994年全国高中数学联赛试题)已知有线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线l:x+my+m=0与PQ的延长线相交,则m的取值范围是_.解析:类题:1.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知两直线xy=2与cx+y=3的交点在第一象限,则实数c的取值范围是_. (2010年全国高中数学联赛黑
12、龙江初赛试题)已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是 . (2004年天津高考试题)若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是( )(A)0k (B)-k0 (C)0k (D)0k0,b0)的最大值为12,则的最小值为( )(A) (B) (C) (D)45.(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若2x+y1,u=y22y+x2+6x,则u的最小值等于 . (2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)如果实数x,y满足3x+2y10,那么u=x2+y2+6x2y的最
13、小值是 .6.(2007年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,己知区域A=(x,y)|,则平面区域B=(x+y,x-y)|(x,y)A的面积为( )(A)2 (B)1 (C) (D) (2008年浙江高考试题)若a0,b0,且当时,恒有ax+by1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是( )(A) (B) (C)1 (D) (2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在平面区域(x,y)|x|1,|y|1上恒有ax-2by2,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为 . 7.线性规性例7:(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设实系数一元二次方程x2+ax+2b-2=
14、0有两个相异实根,其中一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内,则的取值范围是 .解析:类题: Y.P.M数学竞赛讲座 5 1.(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)设z=x-y,式中变量x和y满足条件,则z的最小值为 . (2009年宁夏、海南高考试题)设x,y满足,则z=x+y( ) (A)有最小值2,最大值3 (B)有最小值2,无最大值 (C)有最大值3,无最小值 (D)既无最小值也无最大值2.(2009年湖南高考试题)己知D是由不等式组所确定的平面区域,则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为 . (2009年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)平面上满足约束条件的点(x,y)形成的
15、区域为D,区域D关于直线y=2x对称的区域为E,则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为 .3.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知,则x2+y2的最大值是 . (2008年福建高考试题)(理)若实数x,y满足,则的取值范围是 .4.(2009年陕西高考试题)若x,y满足约束条件,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是 . (2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知x、y满足.若z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a-3,则a的取值范围是 .5.(1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a,b是实数,二次方程x2ax+b=0的一根属于区间1,
16、1,另一根属于区间1,2,则a2b的取值范围为_. (2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知实系数一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x1,x2,且0x11x2,则的取值范围是 .6.(2008年四川高考试题)设等差数列an的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为 . (2007年全国II高考试题)己知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值且0x1x20,B=(x,y)|xy|+1=|x|+|y|.若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则a的值为_. (1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)
17、在直角坐标系中,满足的点(x,y)所构成的区域的面积是_4.(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a为正数,而A=(x,y)|x2+y21、B=(x,y)|x|+2|y|a是XOY平面内的点集,则A是B的子集的一个充分必要条件是( )(A)a=2 (B)a3 (C)a (D)a (1994年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系中,方程=1(a,b是不相等的两个正数)所代表的曲线是( )(A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形5.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)集合M=(x,y)|x6| +|y+12|=|x12|+2|y+3|=1
18、5,x,yR中的元素的个数是 . (1988年全国高中数学联赛试题)平面上有三个点集M,N,P.M=(x,y)|x|+|y|1,N=(x,y)|+2,P=(x,y)|x+y|1,|x|1,|y|1.则( )(A)MPN (B)MNP (C)PNM (D)(A)、(B)、(C)都不成立6.(1989年全国高中数学联赛试题)设函数f0(x)=|x|,f1(x)=|f0(x)-1|,f2(x)=|f1(x)-1|,则函数y=f2(x)的图像与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是_. (2010年全国高中数学联赛新疆初赛试题)由曲线|x|-|y|=|2x-3|所围成的几何图形的面积为 . 9.圆的问题例
19、9:(1984年全国高中数学联赛试题)如图,AB是单位圆的直径,在AB上任取一点D,作DCAB,交圆周于C,若D点的坐标为(x,0),则当x 时,线段AD,BD,CD可构成三角形.解析:类题:1.(1992年全国高中数学联赛试题)已知如图的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是( )(A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0(C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0 Y.P.M数学竞赛讲座 7 2.(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知点P(x,y)满足(x-4cos)2+(y-4sin)2=4(R),则点P(x,y)所在区域的面积为 .
20、(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系xOy中,由不等式组所确定的图形的面积等于 .3.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知函数f(x)=x2+2bx+1和g(x)=2a(x+b),其中x、a、b均为实数.使y=f(x)和y=g(x)在xOy平面上的图像不相交的实数对(a,b)组成点集A.那么,A在aOb平面上表示的图形S的面积为 . (2011年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)设k为正实数,若满足条件x(x-k)y(k-y)的点(x,y)都被单位圆覆盖,则k的最大值为 .4.(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在直角坐标系xOy中,已知圆心
21、在原点O、半径为R的圆与ABC的边有公共点,其中A(4,0),B(6,8),C(2,4),则R的取值范围为 . (1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)自点M(3,2)引圆x2+y2=3的两条切线,切点分别为A与B,则以A、B为端点的劣弧的长度等于 . (2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)在平面直角坐标系中,己知点A(1,2)和B(4,1),圆上x2+y2=25的动点P与A,B形成三角形,则三角形ABP的面积的最大值为 .5.(2008年全国高中数学联赛广东初赛试题)若A、B两点分别在圆x2+y2-6x+16y-48=0和x2+y2+4x-8y-44=0上运动,则|AB|的最大
22、值为 . (2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)设符合条件的点(x,y)所成的集合为M,则区域M的面积为 .6.(2001年全国高中数学联赛上海初赛试题)当且仅当k满足akb时,两曲线x2+y2=4+12x+6y与x2+y2=k+4x+12y有公共点,则ba的值是_ _. (2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设圆Ck=(x,y)|(x-mk)2+(y-mk)22k2(kN+),其中,mk定义如下:m1=0,mk+1=mk+2k+1(k1).则的面积为 . 10.直线与圆例10:(2009年全国高中数学联赛试题)己知直线l:x+y-9=0和圆M:2x2+2y2-8x-8y-1=0.点A
23、在直线l上,B,C为圆M上两点,在ABC中,BAC=450,AB过圆心M,则点A的横坐标的范围为 .解析:类题:1.(1991年全国高考试题)圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 (2006年湖南高考试题)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2,则直线l的倾斜角的取值范围是( )(A), (B), (C), (D)0,2.(2010年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取
24、值范围是 . (2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若圆C:(x-3)2=(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线l:4x-3y=2的距离为1,则r的取值范围是 .3 (2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)与圆(x-2)2+y2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )条. (2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设圆x2+y2=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B,则|AB|的最小值为 . 8 Y.P.M数学竞赛讲座 4.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)从动点P(x,3)向圆(x+2)2+(y+2)2 =1引切线,则切线长度的最小值是 . (20
25、07年湖北高考试题)由直线y=x+1上一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为 . (2002年北京高考试题)己知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为 .5.(2009年四川高考试题)若O:x2+y2=5与O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 .6.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知圆M:(x-1)2+(y-3)2=4,过x轴上的点P(a,0)存在圆M的割线PAB,使得PA=BA,则点P的
26、横坐标a的取值范围是_. 11.圆形函数例11:(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点,则k的取值范围是 .解析:类题:1.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=-(x1)的曲线长度是 .2.(2009年江西高考试题)若不等式k(x+1)的解集区间为a,b,且b-a=1,则k= . (2009年江西高考试题)若不等式k(x+2)-的解集区间为a,b,且b-a=2,则k= . (2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)若直线kx-y+3k-2=0与曲线y=有公共点,则k的取值范围是 .3.(1988年广东高考试题)曲线y=1+
27、(-2x2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点时,实数k的取值范围是( )(A)(, (B)(,+) (C)(, (D)(0,) (2010年湖北高考试题)若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是( ) (A)-1,1+2 (B)1-2,1+2 (C)1-2,3 (D)1-,3 (2003年全国高考试题)不等式x的解集是( ) (A)(0,2) (B)(2,+) (C)(2,4 (D)(-,0)(2,+)4.(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知曲线C:y=与直线l:x+y-m=0有两个交点,则m的取值范围是 . (1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知直线Ax
28、+By+C=0(A、B为实常数,且|A|B|)和曲线y=,它们相交于P、Q两点.若P、Q与点D(1,0)的连线的倾角为、,则tan(+)=_.5.(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若关于x 的方程=log2(x-a)有正数解,则实数a 的取值范围为. (2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知直线l:y=-+m与曲线C:y=1+仅有三个 Y.P.M数学竞赛讲座 9 交点,则m的取值范围是 .6.(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)称横坐标为整数的点为“次整点”,过曲线y=上任意两个次整点作直线,则倾斜角大于300的直线条数为 . (2009年上海高考试题)将函
29、数y=(x0,6)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角(0)得到曲线C,若对于每一个旋转角,曲线C都是一个函数的图像,则的最大值是 . 12.构圆解题例12:(2008年重庆高考试题)函数f(x)=(0x2)的值域为( )(A),0 (B)-1,0 (C)-,0 (D)-,0解析:类题:1.(1990年全国高考试题)如果实数x,y满足等式:(x-2)2+y2=3,则的最大值为( )(A) (B) (C) (D) (2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知关于x,y的方程组仅有一组实数解,则符合条件的实数k的个数是 .2.(2008年全国I高考试题)若直线=1通过点M(cos,sin),则( )
30、(A)a2+b21 (B)a2+b21 (C)1 (D)1 (2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知点P(cos,sin)在直线l:=1上,且OPl(0为坐标原点),则( )(A)a+b=1 (B)a2+b2=1 (C)=1 (D)=13.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知定点A(1,3),B(3,3),点P在x轴上运动,当APB最大时,点P的横坐标是 . (2004年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系XOY中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在X轴上移动,当MPN取最大值时,点P的横坐标为_ _.4.(2004年全国II高考试题
31、)在直角坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 (2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知两点M(1,0),N(-3,0),到直线l的距离分别为1和3,则满足条件的直线l的条数是 . (2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知两点A(1,2),B(3,1)到直线L距离分别是,-,则满足条件的直线l共有( )(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 10 Y.P.M数学竞赛讲座 5.(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)平面直角坐标系中,点集M=(x,y)|,R,则点集M所覆盖的平面图形的面
32、积为 . (2008年重庆高考试题)函数f(x)=(0x2)的值域是( )(A) (B) (C)(B) (D)6.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)以实数x,y为自变量的函数u(x,y)=x2+2xy+的最小值是 . (1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)二元函数f(x,y)=(xy)2+(x+1)2的最小值是 . (2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)记F(x,y)=(xy)2+(+)2(y0),则F(x,y)的最小值是 . 13.参数方程例13:(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)代数式a+b的最大值是 .解析:类题:1.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知A(1,-),O是坐标原点,线段OA在坐标平面内绕原点顺时针旋转,扫过的面积是,这时A点到达的位置A的坐标是 .2.(1987年全国高中数学联赛上海初赛试题)当t取实数值变化时,用x=,y=表示的点(x,y)表示的曲线是( )(A)圆 (B)不完整的圆 (C)椭圆
