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1、一、平面的基本性质,l,知识能否忆起,l,且Pl,二、空间直线的位置关系1位置关系的分类,相交,一个,平行,没有,任何,没有,2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相,平行,3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 4异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(2)范围：_.,相等或互补,锐角(或直角),小题能否全取,1(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A异面B相交C不可能平行 D不可能相交,解析：由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直
2、线，但不可能为平行直线，若bc，则ab.与a，b是异面直线相矛盾,答案：C,2(2013东北三校联考)下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B1C2 D3解析：错误，正确,答案：C,3已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与
3、CD是异面直线,答案：D,5(教材习题改编)平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为_,解析：如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条,答案：5,Pl,1.三个公理的作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线,2异面直线的有关问题(1)判定方法：反证法；利用结论即过
4、平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图(2)所成的角的求法：平移法,平面的基本性质及应用,例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点,1证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合,1(1)在空间中，下列命题正确的是()A对边相等的四边形一定是平面图形B四边相等的四边形一定是平面图形C有一
5、组对边平行的四边形一定是平面图形D有一组对角相等的四边形一定是平面图形,(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出编号)相对棱AB与CD所在直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点,解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是BCD的三条高线的交点，故错误；当DADB，CACB时，这两条高线共面，故错误；设AB，B
6、C，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱也过它们的交点，故正确,答案：(1)C(2),异面直线的判定,例2(2013金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号),自主解答图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图中GH与MN异面答案,1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面
7、直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线,2已知m,n,l为不同的直线,为不同的平面,有下面四个命题：m,n为异面直线,过空间任一点P,一定能作一条直线l与m,n都相交 m,n为异面直线,过空间任一点P,一定存在一个与直线m,n都平行的平面,l,m,n,m、n与l都斜交，则m与n一定不垂直；m，n是内两相交直线，则与相交的充要条件是m，n至少有一条与相交 则四个结论中正确的个数为()A1B2 C3 D4,解析：错误
8、，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；正确，否则，若mn，在直线m上取一点作直线al，由，得an.从而有n，则nl；正确,答案：B,例3已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_,异面直线所成角(补充例题),求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的
9、角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角,答案：B,典例(2012浙江高考)设l是直线，是两个不同的平面()A若l，l，则 B若l，l，则C若，l，则l D若，l，则l,常规解法设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故A错误；由于l，故在内存在直线ll.又因为l.所以l，故，所以B正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此C错误；已知，若a，la，且l不在平面，内，则l且l，因此D错误答案B,(1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误
10、(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断,巧思妙解借助于长方体模型解决本题：对于A，如图，与可相交；对于B，如图，不论在何位置，都有；对于C，如图，l可与平行或l内；对于D，如图，l或l或l.,(2012大连二模)平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是直线m1和直线n1，给出下列四个命题：m1n1mn；mnm1n1；m1与n1相交m与n相交或重合；m1与n1平行m与n平行或重合其中不正确的命题个数是()A1B2C3 D4,.,解析：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中AD1，AB1，B1C在底面上的射影分别是A1D1，A1B1，
11、B1C1.A1D1A1B1，但AD1不垂直AB1，故不正确；又AD1B1C，但A1D1B1C1，故也不正确；若m1与n1相交，则m与n还可以异面，不正确；若m1与n1平行，m与n可以平行，也可以异面，不正确 答案：D,教师备选题（给有能力的学生加餐）,1(2012襄阳模拟)关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是()A若aM，bM，则abB若aM，ba，则bMC若aM，aN，则MND若aM，bM,且la，lb，则lM,解析：同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故A错aM，ba时，b与M的位置关系不确定，B错；当ab时，la，lb，l不一定垂直于M，故D错误,答案：C,2
12、(2012蚌埠模拟)如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OBOC3，OA4.给出如下判断：存在点D(O点除外)，使得四面体DABC有三个面是直角三角形；存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；存在唯一的点D使得OD平面ABC；存在的点D，使得四面体DABC是正棱锥；存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号填上),解析：作OH平面ABC于H并延长至D，使OHHD，则四面体DABC与四面体OABC全等，故正确；在以O，A，B，C确定的球上，显然存在点D满足条件，故正确；过O做平面ABC的垂线，在垂线上取四面体OABC右上方外的点D，显然OD平面ABC，故不正确；,ABC不是正三角形，以ABC为底面没有正棱锥取BC的中点O1，在平面AOO1内取D，使BCBDCD3且AD5，则四面体是以BCD为底的正棱锥，这样的D点存在，所以正确BC垂直于所作的平面AOO1，在平面AOO1内以A为圆心，以BC为半径作圆，圆周上任一点满足条件，所以这样的D点有无数个，故正确,答案：,3(2012西安模拟)在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，PAACBC，则直线PC与AB所成角的大小是_,答案：60,
