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1、1.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式 能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了 解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反 函数(a0，且a1).,1.对数的概念(1)对数的定义.如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对 数，记作，其中 叫做对数的底数，叫 做真数.,xlogaN,N,a,10,e,(2)几种常见对数.,2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质：alogaN；logaaN(a0且a1).(2)对数的重要公式：换
2、底公式：(a，b均 大 于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcd.,logab(c0，且c1),N,N,logad,(3)对数的运算法则：如果a0且a1，M0，N0，那么 loga(MN)；loga；logaMn(nR)；logamMn logaM.,logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaM,0,y0,y0,y0,y0,1,增函数,减函数,(1,0),3.对数函数的图象与性质,思考探究如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？,提示：作一直线y1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.0cd1ab.,4.反函数 指数函数yax(
3、a0且a1)与对数函数 互 为反函数，它们的图象关于直线 对称.,ylogax,yx,1.对于a0且a1，下列结论正确的是()若MN，则logaMlogaN；若logaMlogaN，则MN；若logaM2logaN2，则MN；若MN，则logaM2logaN2.A.B.C.D.,解析：当MN0时，、均错误；当M2，N 2时，排除.,答案：C,2.已知alog2 log2，b log25，clog2 log2，则()A.abc B.bac C.bca D.acb,解析：alog2 log2 log2，B log25log2，clog2 log2 log2 log2.函数ylog2x在(0，)上为
4、增函数，且.cab.,答案：B,3.若函数yloga(xb)(a0且a1)的图象过两点(1,0)和(0,1)，则()A.a2，b2 B.a，b2 C.a2，b1 D.a，b,解析：由条件可知 ab2.,答案：A,4.已知loga(3a1)有意义，那么实数a的取值范围是.,解析：要使loga(3a1)有意义，则 a 且a1.,答案：a 且a1,5.2lg log25lg2.,解析：2lg log25lg2lg2 lg2lg51.,答案：1,lg2,对数的化简与求值的基本思路1.利用换底公式及logamNn logaN，尽量地转化为同底 的和、差、积、商运算；2.利用对数的运算法则，将对数的和、差
5、、倍数运算，转 化为对数真数的积、商、幂再运算；3.利用约分、合并同类项，尽量求出具体值.,(1)计算：2(lg)2lg lg5；(2)已知loga2m，loga3n，求a2mn的值；(3)已知2lg lgxlgy，求log(3).,特别警示对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立.,思路点拨,课堂笔记(1)原式lg(2lg lg5)lg(lg2lg5)|lg 1|lg(1lg)1.(2)法一：loga2m，am2.loga3n，an3.故a2mn(am)2an4312.法二：loga2m，loga3n，a2mna2loga2loga3aloga1212.,(3
6、)由已知得lg()2lgxy，()2xy，即x26xyy20.()26 10.3.1，32.log(3)log(3)(3)log(3)1.,在解决形如ylogaf(x)的定义域、值域问题时，应转化为求f(x)0的解集以及f(x)的值域问题，然后利用对数函数的相关性质解决.,已知函数f(x)log(x22ax3)，(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的定义域为R值域为R，求实数a的取值范围.,思路点拨,课堂笔记设ux22ax3(xa)23a2.(1)因为u0，对xR恒成立，所以umin3a20.解得 a，所以实数a的取值范围是(，).(2)函数f(x)的值域
7、为R等价于ux22ax3能取遍(0，)上的一切值，所以只要umin3a20a 或a.所以实数a的取值范围是(，).,保持例2中的函数不变，(1)若函数f(x)的定义域为(，1)(3，)，求实数a的值；(2)若函数f(x)的定义域为R值域为(，1，求实数a的值.,解：(1)由题意得不等式x22ax30的解集为(，1)(3，)，即1,3是方程x22ax30的两根，所以 解得a2.所以a的值是2.(2)由对数函数的性质知ux22ax3的值域是2，)，因为ux22ax3的值域为3a2，)，所以3a22，a1，即实数a的值为1.,1.对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调 性和对数函数的定义域是
8、热点问题.单调性取决于底 数与“1”的大小关系.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问 题，其基本方法是“同底法”.即把不同底的对数式化 为同底的对数式，然后根据单调性来解决.,3.与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将 复合函数分解成基本初等函数yf(u)，ug(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则yf(g(x)为增函数，若一增一减，则yf(g(x)为减函数，即“同增异减”.,(1)对于0a1，给出下列四个不等式：loga(1a)loga(1)；loga(1a)loga(1
9、)；a1a；a1a，其中成立的是()A.与 B.与C.与 D.与,(2)已知函数f(x)loga(3ax).当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.,思路点拨,课堂笔记(1)0a1，a,1a1，loga(1a)loga(1)，a1a，即正确.,答案D,(2)由题设，3ax0对一切x0,2恒成立，a0且a1，a0，g(x)3ax在0,2上为减函数，从而g(2)32a0，a，a的取值范围为(0,1)(1，).假设存在这样的实数a，由题设知f(1)1，即log
10、a(3a)1，a，此时f(x)log(3 x)，当x2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.,对数函数和指数函数是高考的常考内容，多考查指数与对数的互化、指数函数与对数函数图象、比较大小、分段函数求值问题，09年辽宁高考试题将指数函数、,对数函数与方程相结合，考查函数图象在求方程根中的应用以及数形结合思想，是高考命题的一个新方向.,考题印证(2009辽宁高考)若x1满足2x2x5，x2满足2x2log2(x1)5，则x1x2()A.B.3 C.D.4,【解析】由2x2x5得2x52x，作出草图，数形结合可知1x1；由2x2log2(x1)5得log2(x1)x，同理可知2x2.所以3x1x
11、24，结合选项可知选C.,自主体验 不等式x2logax0在(0，)上恒成立，则a的取值范围是()A.a1 B.a1 C.0a D.0a,解析：由题意可知，x2logax，x(0，)恒成立.当a1时，logax0，显然不成立；当0a1时，借助函数图象可知loga，即 a()4 a1.,答案：A,1.(2009湖南高考)若log2a0，()b1，则()A.a1，b0B.a1，b0 C.0a1，b0 D.0a1，b0,解析：由log2a00a1，由()b1b0.,答案：D,2.设f(x)lg(a)是奇函数，则使f(x)0的x的取 值范围是()A.(1,0)B.(0,1)C.(，0)D.(，0)(1
12、，),解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)即lg(a)lg(a)，lg()lg()，44aa2a2x21x2，解得a1.,f(x)lg，由f(x)0得，0 1，1x0.,答案：A,3.函数ylog(x25x6)的单调增区间为()A.(，)B.(3，)C.(，)D.(，2),解析：令x25x60得x3或x2.又y x在(0，)为减函数，ux25x6在(，2)为减函数，y(x25x6)在(，2)为增函数.,答案：D,4.已知f(x)|log2x|，则f()f().,解析：f()f()|log2|log2|log2 log2 log242.,答案：2,5.已知函数f(x)，则使函数f(x)的图象
13、位 于直线y1上方的x的取值范围是.,解析：当x0时，由3x11，得x10，即x1.1x0.当x0时，由log2x1，得x2.x的取值范围是x|1x0或x2,答案：x|1x0或x2,6.(2010济南模拟)已知函数f(x)loga(x1)(a1)，若函 数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于原点对称.(1)写出函数g(x)的解析式；(2)求不等式2f(x)g(x)0的解集A；(3)是否存在mR，使不等式f(x)2g(x)logam的解集 恰好是A？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.,解：(1)设P(x，y)为yg(x)图象上任意一点，则P关于原点的对称点Q(x，y)在yf(x)的图象上，所以yloga(x1)，即g(x)loga(1x)(2)由 1x1，原不等式可化为Loga 0，a1，1，且1x10 x1，即A0,1).,(3)假设存在mR使命题成立，则由f(x)2g(x)logam，得loga(1x)logam(1x)2.a1，不等式组 的解集恰为A0,1)，只需不等式1xm(1x)2，即mx2(2m1)xm10的解集为A0，b)，且b1，易得m1即为所求，故存在实数m1使命题成立.,
