合情推理与演绎推理题型整理总结讲解.doc

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1、题型一 用归纳推理发现规律例1： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。；.解析：猜想：证明：左边=右边注；注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”（1）先猜后证是一种常见题型（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）题型二 用类比推理猜想新的命题例2：已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_.解析：原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见

2、的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；面积对应体积； 点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。（4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等题型三 利用“三段论”进行推理例3 某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 （填入中的某个字母）解析：因

3、都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多注：从分式的性质中寻找S值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到1.下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 答案： C3.已知 ，考察下列式子：；. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为答案：4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积

4、恒为类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为解析解法的类比（特殊化）易得两个正方体重叠部分的体积为5.已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积 解析 6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为_,球心在的球的一般方程为_.答案；7.（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：

5、 ；（2） 已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为_答案：（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；（2）； 8. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式： 根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为 答案： (2014全国I卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。小王说：“我肯定考上重点大学。”小刘说：“重

6、点大学我是考不上了。”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见：（ ）（A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学（B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学（C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学（D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上3、给出下列三个命题：若；若正整数满足，则；设上任意一点，圆以为圆心且半径为1。当时，圆相切。其中假命题的个数是（ ）（A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3二、填空

7、题4、设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 .一、选择题（1）由推理知识，可知应选（C）（3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B）二、填空题（4）分析 此题利用类比课本中推导等差数列前项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算： ，发现正好是一个定值， ，.【典型例题】例1：（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是

8、质数。他写出不是质数的一个数是 （ ）A1643B1679C1681D1697答案：C。解析：观察可知：累加可得： ，验证可知1681符合此式，且4141=1681。（2）下面给出了关于复数的四种类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由向量a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比错误的是 ( )A. B. C. D. 答案：D 。解析：由复数的性质可知。（3）定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图

9、中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( ) （1） （2） （3） （4） （A） （B）A. B. C. D.答案：B。例3：在ABC中，若C=90，AC=b,BC=a，则ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体ABCD，且AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是。例4： 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。答案： 推广的结论：若 都是正数， 证明： 都是正数

10、， 【课内练习】1给定集合A、B，定义，若A=4,5,6,B=1,2,3,则集合中的所有元素之和为 （ ）A.15 B.14 C.27 D.-14答案：A 。 解析：，1+2+3+4+515。 2观察式子：，则可归纳出式子为（ ）A、 B、C、 D、答案：C。解析：用n=2代入选项判断。3有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。4古希腊数学家把数1，3，6，10，15

11、，21，叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为 。答案：59。解析：记这一系列三角数构成数列，则由归纳猜测，两式相加得。或由，猜测。5数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列也为等比数列.答案：。6“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。答案：菱形对角线互相垂直且平分。7在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成

12、如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_颗.(结果用表示)图1图2图3图4答案：66, 。解析：利用归纳推理知。8在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .答案：。9已知椭圆C：具有性质：若M、N是椭圆

13、C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。答案：本题明确要求进行“性质类比”。类似的性质：若M、N是双曲线上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。证明如下：设，其中设，由，得将代入得。10观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：（）求第六行的第一个数（）求第20行的第一个数（）求第20行的所有数的和答案：（）第六行的第一个数为31（）第行的

14、最后一个数是，第行共有个数，且这些数构成一个等差数列，设第行的第一个数是 第20行的第一个数为3 （）第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数设第20行的所有数的和为则【作业本】A组1在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25项为 （ ）A25 B6 C7 D8 答案：C。解析：对于中，当n时，有所以第项是。OxABFy2如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 （ ） A. B. C. D. 答案：A。解析： 猜想出“黄金双曲线”的离心率等于.事实上对直角应用勾股

15、定理,得,即有,注意到,变形得.3下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）A、两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则A+B=180B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D、在数列中，由此推出的通项公式答案：A。解析：B是类比推理，C、D是归纳推理。4由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。答案：。解析：是大前提，是小前提，是结论。5公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有也成等比数列，且公比为；类比

16、上述结论，相应地在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列 也成等差数列,且公差为 。 答案：，；300。解析：采用解法类比。 6二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。答案：取自然数6，按角谷的作法有：62=3，33+1=10，35+1=16，162=8，82=4，42=2，22=1，其过程简记为63105168421。取自然数7，则有7221134175226134020101。取自然数100，则100502576381958298844221

17、。归纳猜想：这样反复运算，必然会得到1。7圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭圆吗？设AB是椭圆的任一弦，M是AB的中点，设OM与AB的斜率都存在，并设为KOM、KAB，则KOM与KAB之间有何关系？并证明你的结论。答案：KOMKAB=。证明：设，则=0即KOMKAB=，而，即KOMKAB1OM与AB不垂直，即不能推广到椭圆中。B组1为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文对应密文,例如,明文对应密文.当接收方收到密文时,则解密得到的明文为（ ）A B C D答案：C。解析：本题考查阅读获取

18、信息能力,实则为解方程组，解得，即解密得到的明文为。2平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则的表达式为 （ ）A、 B、 C、 D、答案：B。解析：由，利用累加法，得。3设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值为 （ ）A、 B、2 C、3 D、4答案：C。解析：。4考察下列一组不等式：.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是_.答案：（或为正整数）。解析：填以及是否注明字母的取值符号和关系，也行。5如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边

19、形是由正四边形“扩展”而来，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则 ； .答案：42；。6指出下面推理中的大前提和小前提。（1）5与2可以比较大小； （2）直线。答案：（1）大前提是实数可以比较大小，小前提是5与是实数。 （2）大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行，小前提是。7已知函数，对任意的两个不相等的实数，都有成立，且，求的值。答案：当，由，从而可得：=8已知数列an满足Snan2n1, (1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2)证明所得的结论。答案：(1) a1, a2, a3, 猜测 an2 (2) 由（1）已得当n1时，命题成立； 假设nk时,命

20、题成立，即 ak2, 当nk1时, a1a2akak1ak12(k1)1, 且a1a2ak2k1ak 2k1ak2ak12(k1)12k3, 2ak122, ak12, 即当nk1时,命题成立. 根据得nN+ , an2都成立 一、填空题1. 如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是_，若的“分裂”中最小的数是211，则的值为_.2. 下面给出三个类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）； 类比推出 类比推出,若类比推出其中类比结论正确的序号是_（写出所有正确结论的序号）3. 已知，则中共有项4. 设(是两两不等的常数),则的值

21、是 _.二、选择题5. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于A演绎推理 B类比推理 C合情推理 D归纳推理6. 用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以0”，你认为这个推理（ ）A大前题错误 B小前题错误 C推理形式错误 D是正确的7. 已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积公式为（）不可类比8. 下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（）三角形梯形平行四边形矩形9. 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中

22、，小正方体木块总数就是（）25669112011. 设，则（ ） A B C D13. 计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表： 十六进制01234567十进制01234567十六进制89ABCDEF十进制89101112131415例如，用十六进制表示,则（ ） A B C D14. 设的最小值是（ ） A B C3 D三、解答题15. 已知记试通过计算的值，推测出的值。16. 是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由17. 计算：18. 设图像的一条对称轴是. 1）求的值； （2）求的增

23、区间； （3）证明直线与函数的图象不相切。一、填空题1. 9，152. 3. 4. 解析：， ， 二、选择题5. A6. A7. 8. 9. 10. B 解析：令，不能推出；反之11. B 解析：，即13. A 解析：14. C 解析：令三、解答题15. 解析：（1）得出猜想16. 解析：假设存在，使得所给等式成立令代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立（1）当时，由以上可知等式成立；（2）假设当时，等式成立，即，则当时，由（1）（2）知，等式结一切正整数都成立17. 解析：18. 解析：（1）由对称轴是，得，而，所以（2） ，增区间为（3），即曲线的切线的斜率不大于，而直线的斜率，即直线不是函数的切线。