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1、毕业设计基于IIR型的数字滤波器的设计姓 名： 许 晗 学 号： 09050061班 级： 09通信2班专 业： 通信工程所在系： 电子信息工程系指导老师： 赵 刚基于IIR型的数字滤波器的设计摘要文章主要论述无限长单位冲激响应滤波器的设计，在设计过程中使用脉冲响应不变法和双线形变换法等方法来实现，并在实现滤波器设计的基础上举例说明，并借助模拟滤波器变换设计IIR数字滤波器的方法，利用现成的滤波器（如巴特沃斯，切比雪夫和椭圆函数滤波器）的设计公式或设计图表来完成。同时列出几个不同的方案并进行实验，比较各个不同方案的优缺点。通过对于两种滤波器的分析，主要研究了它们的频率特性，通过举例来证明方案的
2、可行性。利用MATLAB的信号处理工具箱可以直接设计数字滤波器，也可以建立模拟原型，离散化设计数字滤波器。介绍了IIR数字滤波器的设计原理、步骤以及在MATLAB中的实现。关键词：数字滤波器；IIR数字滤波器；巴特沃斯；切比雪夫；MATLABA Design of Digital Filter Based on IIRABSTRACTThe article mainly discusses units infinite impulse response filter design, in the design process to use the same pulse response and
3、 double-linear transformation methods to achieve. and the realization of filter design on the basis of, for example, Analog Filter and help transform IIR digital filter design methods, the use of available filters (such as Butterworth, Chebyshev filter or elliptic function) design formula or charts
4、to complete. Also listed several different programs and conduct experiments to compare the different options are discussed. For both filter through the analysis of their main attenuation characteristics. By way of example to prove the feasibility of the program. Using MATLAB Signal Processing Toolbo
5、x can be directly Digital Filter Design. Simulation can also build a prototype. Discrete Digital Filter Design. on the IIR digital filter design, and the steps in the realization of MATLAB.Key Words: The digital filter;IIR digital filter;Butterworth;Chebyshev;MATLAB目录第一章绪论1第二章数字滤波器的介绍32.1 数字滤波器的定义32
6、.2 滤波器的分类32.3 数字滤波器的优点4第三章数字滤波器的基本概念53.1 系统的描述63.2 系统的传递函数63.3 数字滤波器的基本结构73.3.1直接形式73.3.2级联形式83.3.3并联形式9第四章模拟滤波器特性114.1 模拟滤波器的介绍114.2 根据幅度平方函数确定系统函数134.3 巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器的设计154.3.1常用设计巴特沃斯低通滤波器指标164.3.2巴特沃斯低通滤波器设计实质174.4 切比雪夫（Chebyshev）滤波器设计204.4.1切比雪夫I型滤波器的基本特点214.4.2切比雪夫I型滤波器设计方法23第五章IIR数字滤波
7、器的设计原理和方法285.1 IIR数字滤波器设计过程285.2 IIR数字滤波器的设计方法285.3 时域仿真条件295.4 频域仿真的条件30第六章IIR数字滤波器的设计336.1 脉冲响应不变法336.2 双线性变换法356.2.1变换原理356.2.2逼近情况37第七章MATLAB环境下IIR数字滤波器的设计和仿真427.1 脉冲响应不变法427.2 双线性变换法44第八章结论47参考文献48致谢49第一章绪论数字滤波器（Digital Filter，简称DF）是数字信号处理的重要基础，对信号的检测、过滤和参数估计等处理的过程中，是使用最为广泛的一种线性系统。数字滤波器的处理对象是经过
8、由采样器件将模拟信号转换而得到的数字信号。数字滤波器是完成信号滤波处理的功能，用有限精度算法实现离散时间非线性时变系统。数字滤波器的输入是一组（由模拟信号取样和量化）的数字量，其输出是经过数字变换的另一组数字量。其本身既可以是用数字硬件装配而成的一台用于完成的给定运算的专门计算机，也可以将所需的运算编成程序，通过计算机来执行。早在40年代末期，就有人讨论过他的可能性，在50年代也有人在研究生班讨论过数字滤波的问题。直到60年代中期，才开始形成关于数字滤波器的一整套完整的正规理论。在这一时期，提出了各种各样的数字滤波器结构，有的以运算误差最小为特点，有的则以运算速度高见长，而有的则二者兼而有之，
9、出现了数字滤波器的各种逼近方法和实现方法，对递归和非递归两类滤波器作了全面的比较，统一了数字滤波器的基本概念和理论。数字滤波器的一个重要发展是对有限冲激响应(FIR)和无限冲激响应(IIR)关系的认识转化。在初期，一般认为IIR滤波器比FIR滤波器具有更高的运算效率，因而明显地趋向于前者，但当人们提出用快速傅利叶变换(FFT)实现卷积运算的概念之后，才就促使人们对高性能FIR滤波器的设计方法和数字滤波器的频域设计方法进行了大量的研究，从而出现了数字滤波器设计中频域方法与时域方法并驾齐驱的局面。然而，这些均属数字滤波器的早期研究，早期的数字滤波器尽管在语音、声纳、地震和医学的信号处理中曾经发挥过
10、作用，但由于当时计算机主机的价格很昂贵，严重阻碍了专用数字滤波器的发展。自60年代起由于计算机技术、集成工艺和材料工业的发展，滤波器发展上了一个新台阶，并且朝着低功耗、高精度、小体积、多功能、稳定可靠和价廉方向努力，其中小体积、多功能、高精度、稳定可靠成为70年代以后的主攻方向。此后数字信号处理开始与大规模和超大规模集成电路技术、微处理器技术、高速数字算术单元、双极性高密度半导体存储器、电荷转移器件等新技术、新工艺结合了起来，并且引进了计算机辅助设计方法，它是数字滤波器的设计仅仅是对相应模拟滤波器的逼近。一般说来，通过对模拟滤波器函数的变换来设计数字滤波器，很难达到逼近任意频率响应或冲击响应，
11、而采用计算机辅助设计则有可能实现频域与时域的最佳逼近，或频域时域联合最佳逼近。这样，数字滤波器的分析与设计其内容也更加丰富起来：各种新的数字处理系统，也都能用专用数字硬件加以实现。数字信号处理理论与技术的发展，主要是由于电子计算机与大规模集成电路的大量生产和广泛应用，替代了原来的模拟信号处理中的线性滤波和频谱分析所应用的模拟计算机和分离元件L、C、R线性网络，高度发挥了计算技术和数字技术相结合的特色和优越性。特别是微处理器和微型计算机技术日新月异的发展，将更有利于电子仪器与电子技术应用系统朝着数字化、小型化、自动化以及多功能化等方向发展，促使他们成为富有智能化的电子系统。现在，包括数字滤波在内
12、的数字信号处理技术正以惊人的速度向纵深和高级的方向发展，据估计这种趋势还要持续一个较长的时期，未来的发展可能会比过去的进程更为激动人心，必将引起某些领域的飞跃性转折。滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件或软件。如果滤波器的输入、输出都是离散时间信号，则该滤波器的冲激响应也必然离散，这样的滤波器定义为数字滤波器。数字滤波器是提取有用信息非常重要、非常灵活的方法，是现代信号处理的重要内容。因而在数字通信、语音图象处理、谱分析、模式识别、自动控制等领域得到了广泛的应用。相对于模拟滤波器，数字滤波器没有漂移，能够处理低频信号，频率响应特性可做成非常接近于理想的特性，且精度可以达到很高，容易集成等，这
13、些优势决定了数字滤波器的应用将会越来越广泛。同时DSP (Digital Signal Processor)处理器的出现和FPGA(Field Programmable Gate Array)的迅速发展也促进了数字滤波器的发展，并为数字滤波器的硬件实现提供了更多的选择。相对于模拟滤波器数字滤波器具有以下显著的优点：(1)精度高模拟电路中元件的精度很难达到10.3以上，而数字系统17位字长就可以达到10.5精度。因此在一些精度要求很高的滤波系统中，就必须采用数字滤波器来实现。(2)灵活性大数字滤波器的性能主要取决于乘法器的各系数，而这些系数是存放在系统存储器中的，只要改变存储器存放的系数，就可以
14、得到不同的系统，这些都比改变模拟滤波器系统的特性要容易和方便的多，因而具有很大的灵活性。(3)可靠性高因为数字系统只有两个电平信号“0”和“1”，受噪声及环境条件的影响小， 而模拟滤波器各个参数都有一定的温度系数，易受温度、振动、电磁感应等影响。第二章数字滤波器的介绍2.1 数字滤波器的定义数字滤波器一词出现在60年代中期。由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展，数字滤波器已可用计算机软件实现，也可用大规模集成数字硬件实时实现。数字滤波器是一个离散时间系统（按预定的算法，将输入离散时间信号转换为所要求的输出离散时间信号的特定功能装置）。应用数字滤波器处理模拟信号时，首先须对输入模拟信号进行限
15、带、抽样和模数转换。为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换、平滑。数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大、可程控改变特性或复用、便于集成等突出优点。随着数字技术的发展，用数字技术实现滤波器的功能越来越受到人们的重视，在语言信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。2.2 滤波器的分类滤波器是一种选频装置，它对某一个或几个频率的范围内的电信号给以很小的衰减，使这部分信号顺利的通过；对其他的频带内的电信号则给以很大的衰减，从而尽可能的阻止这部分信号通过。通过滤波器时信号完全通过的频带叫做通带，经过滤波器的信号不能通过的频带叫做阻带，位于通带和阻带
16、之间的叫做过渡带。1. 滤波器通带和阻带的范围不同可以分为:低通滤波器(LPF),高通滤波器(HPF)、带通滤波器(BPF)、带阻滤波器(BEF)1 。(1)低通滤波器(LPF) 它的通带是由零延伸至某一规定的上限频率f1，阻带由f2延伸至无限大，且f2f1，允许信号中的低频或直流分量通过，抑制高频分量或干扰和噪声。(2)高通滤波器(HPF) 它的频率特性与低通相反；阻带位于低频范围内，通带则由f1延伸到无限大，允许信号中的高频分量通过，抑制低频或直流分量。 (3)带通滤波器(BPF) 它的通带限定在两个有限的频率f1与f2之间，通带的两侧是阻带，允许一定频段的信号通过，抑制低于或高于该频段的
17、信号、干扰和噪声。 (4)带阻滤波器(BPF) 它的阻带限定在两个有限的频率f1与f2之间，阻带的两侧是通带，允许该频段以外的信号通过，抑制此频段内的信号。2. 滤波器按所采用的元器件又分为无源和有源滤波器两种。 (1)无源滤波器 仅由无源元件(R、L 和C)组成的滤波器，它是利用电容和电感元件的电抗随频率的变化而变化的原理构成的。这类滤波器的优点是：电路比较简单，不需要直流电源供电，可靠性高；缺点是：通带内的信号有能量损耗，负载效应比较明显，使用电感元件时容易引起电磁感应，当电感L较大时滤波器的体积和重量都比较大，在低频域不适用。 (2)有源滤波器 由无源元件(一般用R和C)和有源器件(如集
18、成运算放大器)组成。这类滤波器的优点是：通带内的信号不仅没有能量损耗，而且还可以放大，负载效应不明显，多级相联时相互影响很小，利用级联的简单方法很容易构成高阶滤波器，并且滤波器的体积小、重量轻、不需要磁屏蔽(由于不使用电感元件）；缺点是：通带范围受有源器件(如集成运算放大器)的带宽限制，需要直流电源供电，可靠性不如无源滤波器高，在高压、高频、大功率的场合不适用。这里重点介绍数字滤波器属于有源滤波器。3. 滤波器还可分为以下三种：模拟滤波器、采样滤波器和数字滤波器。(1)模拟滤波器 可以是由RLC构成的无源滤波器，也可以是加上运放的有源滤波 器，是连续时间系统；(2)采样滤波器 由电阻、电容、电
19、荷转移器件、运放等组成，属于离散时间系统，幅度连续；(3)数字滤波器 由加法器、乘法器、存储延迟单元、时钟脉冲发生器和逻辑单元等数字电路构成，精度高，稳定性好，不存在阻抗匹配问题，可以时分复用。4. 数字滤波器按照有反馈环节可以分为以下两种类型。(1)递归型 有反馈环节输出不仅与当前输入有关，也与过去的输出有关。(2)非递归型 没有反馈环节。5. 按照单位脉冲响应H(n)是有限长或无限长可分为以下两种。(1)无限长脉冲响应数字滤波器(infinite impulse response filter IIR)。(2)有限长脉冲响应数字滤波器(finite impulse response fil
20、ter FIR)。2.3 数字滤波器的优点数字滤波器的优点如下2：(1)由于数字滤波器处理数字信号，故抗干扰能力很强，不怕电磁效应，不存在阻抗匹配问题。一定字长情况下，由比模拟滤波器更高的精度，再增加字长可以提高精度。(2)数字滤波器的性能取决于系数值，所以不会发生元件老化引起误差，也不会因环境变化而漂移。(3)数字滤波器可以工作在模拟的滤波器无法实现的线性相位滤波，在非时实处理也可以实现非因果滤波。(4)数字滤波器可以实现模拟滤波器无法工作的极低频率，因为数字滤波器带宽可做的很大。(5)数字滤波器的性能可以通过编程加以调节，即同一滤波器不必要更换元件，只要改动系数就可以使滤波器的性能发生变化
21、，可以用软件实现。(6)数字滤波器可分时工作，即在宏观上同时几个几十个不同的信号进行滤波。第三章数字滤波器的基本概念这里所讲的数字滤波器都是一个离散的LTI系统模型，如图3.1所示。图3.1 LTI系统模型Fig.3.1 LTI system modelx(n)、y(n)分别是系统的输入输出序列h(n)是系统本身的特性(转移算子)系统对于输入的离散序列x(n)总有对应的输出y(n)。x(n)是离散的信号，每个x(n)可能有不同的幅值，有了前后不同幅值的变化，就可以引出离散信号的频率这一性质。数字滤波器就是对不同频率的数字信号从频域进行信号分离的时序电路或器件或一段程序。根据滤波器的功能，可以将
22、它们分为：(1)低通滤波器(LPF)(2)高通滤波器(HPF)(3)带通滤波器(BPF)(4)带阻滤波器(BEF) 图3.2.1 理想低通 图3.2.2 理想高通 图3.2.3 理想带通 图3.2.4 理想带阻图3.2 理想频谱响应Fig.3.2 Ideal spectral response3.1 系统的描述模拟系统通常用微分方程来描述，离散系统则用差分方程来描述。差分方程可分为非递归型和递归型两大类3:(1)非递归型:输出对输入无反馈，输出值仅仅取决于输入值。 (3.1)若系统是线性、非移变、因果的，则有 (为常数) (3.2) 若又有iN时，=0,则 (为常数)(2)递归型:输出对输入有
23、反馈，输出取决于输入和反馈 (3.3)若系统是线性、非移变、因果的，则有 ( 、为常数) (3.4)3.2 系统的传递函数对IIR数字滤波器的差分方程的一般形式 ( 、为常数) (3.5)两边同时进行双边z变换得： (3.6)得IIR数字滤波器的传递函数： (3.7)3.3 数字滤波器的基本结构IIR滤波器的系统函数为： (3.8)其中是滤波器的系数。假如，如果，这时滤波器的阶数为N。IIR滤波器的差分方程式： (3.9)特点是信号流图中含有反馈支路，即含有环路。其脉冲响应是无限长的。除了没有线性相位结构外，实现IIR滤波器的三种结构依次为：1.直接形式在这种形式中，差分方程式按方程直接实现。
24、这种滤波器可分为两个部分，滑动平均部分和递归部分（或分子分和母部分）。根据两部分运算的先后，有两种实现形式，即I形式和直接II形式结构。2.级联形式分别把等式中的系统函数的分子分母因式分解成二阶子系统。每个二阶子系统都是以直接形式实现的，整个系统函数由分子分母双二阶环节的级联形式实现。3.并联形式把系统函数用部分分式展开，合并共轭项，使之成二阶系统的和。每一个子系统用直接形式实现，整个系统函数以子系统的并联网络实现。3.3.1直接形式4用延迟元件、倍率器和加法器，以直接形式实现差分方程的结构成为直接结构。设M=N=2，那么差分方程为： (3.10)这种信号流图叫做直线I形式结构。直接I形式结构
25、线实现有理函数分子部分，后再实现其分母部分，然后再级联起来。分子部分是抽头延迟线，后面是分母部分，为反馈抽头延长线。先处理分母，后处理分子部分。此时，两个延迟线并排，因此可拿掉其中的一个延迟线。这种缩减方式构成了另一种标准的结构，叫做直线II形式结构，只需要两个延时元件。实现方式如图3.3所示，图3.3 二阶IIR滤波器直接型结构Fig.3.3 Second-order IIR filter directly structure3.3.2级联形式5在这种形式中，系统函数写成实系数二阶子系统的乘积形式。首先把分子、分母多项式的根解出，然后把每一对共轭复根或任意两个实根组合在一起，得到二阶子系统。
26、假设N为偶数，则： (3.11)其中K等于为实数，他们表示二阶子系统的系数。二阶子系统为： k=1，2，K (3.12)称作第k个双二阶环节(biquad)。输入是第(k-1)个双二阶环节的输出，同时第k个上二阶环节的输出为第(k+1)个双二阶环节的输入。每一个双二阶环节可用直接II形式结构实现。整个滤波器由双二阶环节的级联形式实现： (3.13)因而整个级联系统的传递函数为各个传递函数的连乘 (3.14)即 (3.15)假设N=4，则给出四阶II滤波器的级联形式结构，如图3.4所示。 图3.4 N=4时的级联形式结构Fig.3.4 N = 4 When the cascade form st
27、ructure3.3.3并联形式6在这种形式中，系统函数H(z)用部分分式展开为二阶子系统的和的形式。 (3.16)其中：K等于为实数，它们是二阶子系统的系数；等式右端的第二项称为直接项，它们在时存在。K个二阶子系统的通式为 k = 1，2，K (3.17)叫做第k阶有理双二阶环节。而它们的输出之和就是滤波器的总输出，如式中所示。 使M=N=4，此时存在直接项，其值为常数，此四阶IIR滤波器的并联形式的结构如图3.5所示。图3.5 N=M=4时的并联结构Fig.3.5 When the N = M = 4 of parallel structure第四章模拟滤波器特性4.1 模拟滤波器的介绍滤
28、波器是一种能使有用信号顺利通过而同时对无用频率信号进行抑制（或衰减）的电子装置。工程上常用它来做信号处理、数据传送和抑制干扰等。以往主要采用无源元件R、L和C组成模拟滤波器，六十年代以来，集成运放获得了迅速地发展，由它和R、C组成的源滤波器，具有不用电感、体积小、重量轻等优点。此外，由于集成运放的开环电压增益和输入阻抗均很高，而输出阻抗又很低，而且，由其构成的有源滤波器还具且一定的电压放大和缓冲作用。因此，基于放大器和R、C构成的有源滤波器应用日益广泛。随着微电子学的发展，人们已经可以把一些电阻和电容与运放集成在一块芯片上构成通用有源滤波器（Universal Active Filter,UA
29、F）。这种芯片集成度高，片内集成了设计滤波器所需的电阻和电容，在应用中只需极少数外部器件就可以很方便地构成一个源滤波器。BB（Burr-Brown）公司的UAF42就是这一类通用有源滤波器的代表。它可广泛应用于高通、低通和带通滤波器设计中。它采用典型的状态可调（state-variable）模拟结构，内部集成了一个反向放大器和两个积分器。该积器包括1000F（5%）的电容。因此较好的解决了有源波器设计中获得低损耗（low-loss）电容的问题。 模拟滤波器可以分为无源和有源滤波器7。 (1)无源滤波器 这种电路主要有无源元件R、L和C组成。 (2)有源滤波器 集成运放和R、C组成，具有不用电感
30、、体积小、重量轻等优点。无源滤波器集成运放的开环电压增益和输入阻抗均很高，输出电阻小，构成有源滤波电路后还具有一定的电压放大和缓冲作用。但集成运放带宽有限，所以目前的有源滤波电路的工作频率难以做得很高。 有源滤波自身就是谐波源。其依靠电力电子装置，在检测到系统谐波的同时产生一组和系统幅值相等，相位相反的谐波向量，这样可以抵消掉系统谐波，使其成为正弦波形。有源滤波除了滤除谐波外，同时还可以动态补偿无功功率。其优点是反映动作迅速，滤除谐波可达到95以上，补偿无功细致。缺点为价格高，容量小。由于目前国际上大容量硅阀技术还不成熟，所以当前常见的有源滤波容量不超过600kvar。其运行可靠性也不及无源。
31、 一般无源滤波指通过电感和电容的匹配对某次谐波并联低阻（调谐滤波）状态,给某次谐波电流构成一个低阻态通路。这样谐波电流就不会流入系统。无源滤波的优点为成本低，运行稳定，技术相对成熟，容量大。缺点为谐波滤除率一般只有80，对基波的无功补偿也是一定的。 目前在容量大且要求补偿细致的地方一般使用有源加无源混合型，即无源进行大容量的滤波补偿，有源进行微调。原理上讲，有源滤波器可以达到很高的Q值，但是过高的Q值对于有源滤波器来说是不够稳定的。有源滤波器的特性曲线不够好，有可能是你使用的运放带宽不够。从原理上，无论有源无源，实现出来的特性应该是一致的。主要还是一个制作问题。无源RC滤波器当然不能等同于有源
32、RC滤波器，有源RC和无源LC可以实现出Bottworth函数，而用无源RC实现这个函数是很不理想的，它的最低衰耗值极高。所以一般不用无源RC函数作滤波器逼近函数。 不仅如此，而且经过计算，无源低通二阶滤波器的品质因数非常的低，最高能达到0.5，但是这个还不是所有的频率都能够达到的。有源滤波器工作原理是：用电流互感器采集直流线路上的电流，经A/D采样，将所得的电流信号进行谐波分离算法的处理，得到谐波参考信号，作为PWM的调制信号，与三角波相比，从而得到开关信号，用此开关信号去控制IGBT单相桥，根据PWM技术的原理，将上下桥臂的开关信号反接，就可得到与线上谐波信号大小相等、方向相反的谐波电流，
33、将线上的谐波电流抵消掉。这是前馈控制部分。再将有源滤波器接入点后的线上电流的谐波分量反馈回来，作为调节器的输入，调整前馈控制的误差。为了从模拟滤波器设计IIR数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟原型滤波器。设计“模拟原型”滤波器有多种方法，如模拟低通逼近有巴特沃斯（Butterworth）型或切比雪夫（Chebyshev）型。低通滤波器是最基本的，至于高通、带通、带阻等滤波器可以用频率变换的方法由低通滤波器变换得到。设计模拟滤波器是根据一组规范来设计模拟系统函数，使其逼近某个理想滤波器特性。例如，逼近图中所示理想的低通滤波器的幅度特性，是根据幅度平方函数来逼近的。也可根据其它指标来逼近
34、。如：相位响应特性或群延迟响应特性，如图4.1所示。图4.1 理想低通滤波器的特性Fig.4.1 Ideal low-pass filter characteristics由幅度平方函数，当为实数时，有 (4.1)现在由已知的求，思路是将中的全部换为，得到的函数中有多组零极点。选取让因果稳定的零极点，构成。4.2 根据幅度平方函数确定系统函数模拟滤波器幅度响应常采用“幅度平方函数”表示。 （4.2）式中是模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数。是其稳态响应，又称为滤波器的频率响应。是滤波器的稳态振幅特性。从模拟滤波器变换为数字滤波器是从开始的，为此必须由已知的求得。这就要将(3-2)式与s平面
35、的解释联系起来。设有一临界频率（极点或零点）位于，则必有一个相应的临界频率落在的位置，即当的临界频率是落在位置时，则相应的临界频率必落在的位置。应该指出，纯虚数的临界频率必然是二阶的。图4.2 S平面的零极点分布图Fig.4.2 S-plane pole-zero maps 在s平面上，上述临界频率的特性如图4.2所示。所得到的对称形式称为象限对称。图中在轴上零点处所表示的数代表零点的阶次是二阶的。任何实际的滤波器都是稳定的，因此极点必落在s平面的左半平面。所以落于s左半平面的极点都属于，落于s右半平面的极点都属于。零点的分布与滤波器的相位特性有关。如要求最小相位特性，则应选s平面左半平面的零
36、点为的零点；若对相位有特殊要求，则可以以各种不同的组合来分配左半平面和右半平面的零点。综上所述，可归纳出由确定的方法是：(1)根据(4.2)式，代入或到，得到一个s平面的函数；(2)求出第一步中所得s函数的所有零极点，将左半平面的极点分配给，右半平面的极点分配给，如要求最小相位特性，则应选s平面左半平面的零点为的零点；若对相位没有特殊要求，则可以各种不同的组合来分配左半平面和右半平面的零点。(3)根据具体情况，对比与的低频或高频特性就可以确定出增益常数k。例4.1 根据以下幅度平方函数确定滤波器的系统函数。 (4.3)解：(1)根据(4.3)式，代入到，得到一个s平面的函数； (4.4)(2)
37、求出、中所有的零极点，将左半平面极点分配给，极点为：，零点为：（二阶）选s=-6,s=-7及一对虚轴零点为的极点和零点，即 (4.5)(3)根据低频特性确定出增益常数。 (4.6) (4.7)代入(4.7)式得，即 (4.8)4.3 巴特沃斯(Butterworth)低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为 (4.9)其中C为一常数参数，N为滤波器阶数，为归一化低通截止频率,。式中N为整数，是滤波器的阶次。巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N阶低通滤波器在处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图
38、4.3所示。滤波器的特性完全由其阶数N决定。当N增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由(4.9)式决定了在处的幅度函数总是衰减3dB，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。滤波器的振幅特性对参数N的依赖关系如图4.3所示。图4.3 巴特沃斯低通滤波器的振幅特性Fig.4.3 Butterworth low-pass filter of amplitude characteristics设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为，归一化传递函数为，其中得： (4.10)由于 (4.11)所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。4
39、.3.1常用设计巴特沃斯低通滤波器指标：通带截止频率；：通带衰减，单位：dB；：阻带起始频率；：阻带衰减，单位：dB。巴特沃斯低通滤波器指标关系图如图4.4所示。图4.4 巴特沃斯低通滤波器指标Fig.4.4 Butterworth low-pass filter indicator说明：(1)衰减在这里以分贝(dB)为单位；即 (4.12)(2)当时，为通常意义上的截止频率。(3)在滤波器设计中常选用归一化的频率，即 (4.13)4.3.2巴特沃斯低通滤波器设计实质根据设计指标要求，确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C及滤波器的阶数N；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通
40、滤波器的传递函数H(s)。(1)将实际频率归一化得，。再根据已知的，幅度平方函数 (4.14)(2)求C和N由 (4.15)并带入 ，得 (4.16) 因为，所以 (4.17)由 (4.18)两边取对数得： (4.19)其中这样可以求出C和N。注意：当时，即C=1，此时巴特沃斯滤波器只剩下一个参数N。(3)确定巴特沃斯滤波器的传递函数H(p)。由于 (4.20)由 ，解得极点为： (4.21)将p左半平面的极点赋予即 (4.22)其中为了便于设计，工程上已将当时，各阶的巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查阅，该表如表4.17所示。在表4.1中的函数被称为归一化巴特沃斯原型低通滤波器系统函数
41、。表4.1 归一化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表Table 4.1 Normalized Butterworth low-pass filter system function table阶次归一化系统函数12345(4)去掉归一化影响上面设计中采用归一化的频率即，而实际中截止频率为，所以要进行如下的变量代换： (4.23)即 (4.24)综上，归纳出设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下：(1)计算归一化频率，。(2)根据设计要求按照和其中计算巴特沃斯滤波器的参数C和阶次N；注意当时 C=1。(3)利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数H(p)；(4)令H(p)中的得到截止频率为的巴特沃斯低通滤波器的系统函数。例4.2 已知滤波器的3dB截止频率为50Hz，试求一个二阶巴特沃斯低通
